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11.2　图形在坐标系中的平移
能在平面直角坐标系中用坐标的方法探究图形的变换，掌握图形在平移过程中各点坐标的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质上就是点坐标的对应变换.
1.掌握用坐标系的变化规律来描述平移的过程.
2.根据图形的平移过程，探索、归纳出坐标的变化规律.
1.确定平移的要素：（1）方向；（2）距离.
2.一个图形和它经过平移后所得的图形中，两组对应点连接的线段平行（或在同一条直线上）且相等.
3.平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.
知识点一　平面直角坐标系中点的平移
在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右或左平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上或下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）.反之也成立.
特别提示：平移的方向与坐标轴“正”方向相同，对应的坐标相应的“加”上一个正数；平移的方向与坐标轴“负”方向相同，对应的坐标相应的“减”去一个正数.
【例1】点A（－1，4）和点B（－5，1）在平面直角坐标系中的位置如图.
将点A，B分别向右平移5个单位长度，得到点A1，B1，并画出四边形AA1B1B.
【解析】把A，B两点向右平移时，横坐标增加5个单位长度，纵坐标不变.
【解】如图.
【迷津指点】本题考查坐标平面内点的平移与坐标变化的关系.牢记：沿水平方向平移，纵坐标不变；沿竖直方向平移，横坐标不变.
知识点二　平面直角坐标系中图形的平移
在平面直角坐标系内，图形的平移变换与坐标的变化规律如下：图形上任意一点（x，y）沿x轴向右（或向左）平移a个单位长度，同时沿y轴向上（或向下）平移b个单位长度，得到的对应点的坐标为（x±a，y±b）.
特别提示：（1）图形是由无数个点组成的，所以图形的变化实质上是由点的平移决定，图形的平移通常转化为图形中特殊点的平移解决.
（2）平移前后图形的特征：①平移前后的两个图形的大小、形状完全相同；②平移后图形的每个点都平移了相同距离.
【例2－1】如图，在平面直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案平移以后得到的.左边的图案中左右两只眼睛的坐标分别是（－4，2），（－2，2），右边的图案中左眼的坐标是（3，4），则右边的图案中右眼的坐标是　　　　.
【解析】图形的平移，其大小不变，图形上的点的坐标发生了变化，因此位置发生了变化.由左边的图案中左右两只眼睛的坐标分别是（－4，2），（－2，2），不难发现左右两只眼睛之间相距2个单位长度.平移后的右边的图案中左眼的坐标是（3，4），则右边的图案中右眼的坐标的纵坐标同左眼的坐标的纵坐标，横坐标为3＋2＝5，即右边的图案中右眼的坐标是（5，4）.
【解】（5，4）
【迷津指点】根据图形上点的横坐标、纵坐标的变化，得出图形平移的方式；同样，根据图形的平移变换，得出图形上点的坐标的变化.
【例2－2】三角形ABC三个顶点的坐标分别是A（4，3），B（3，1），C（1，2）.
（1）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，依次连接A1，B1，C1各点，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
（2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2，B2，C2，依次连接A2，B2，C2各点，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，画出三角形ABC，A（4，3），B（3，1），C（1，2）.按题目要求，分别画出（1）（2）两种情况的图形.
【解】（1）所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1是由三角形ABC沿x轴负方向平移6个单位长度得到的.
（2）三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，它是由三角形ABC沿y轴负方向平移5个单位长度得到的.
【迷津指点】图形的坐标变化，使得图形的位置发生变化，但形状和大小没有变化，横坐标减去6，纵坐标不变，图形整体沿x轴的负方向发生了平移，平移的距离为6个单位长度；纵坐标减去5，横坐标不变，图形整体沿y轴的负方向发生了平移，平移的距离为5个单位长度，既要考虑移动方向，又要考虑移动距离.
【例1】在平面直角坐标系中，将点P（－2，1）向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P'的坐标是（　　）
A.（2，4） B.（1，5）
C.（1，－3） D.（－5，5）
【解析】根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加，即可求出点P'的坐标.因为点P（－2，1）向右平移3个单位长度，所以点P'的横坐标为－2＋3＝1，又向上平移4个单位长度，所以点P'的纵坐标为1＋4＝5，所以点P'的坐标为（1，5）.
【答案】B
【迷津指点】熟记平移中点的变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”是解题的关键.
【例2】四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（1，－2），B（5，－4），C（4，－1），D（3，－1）.将四边形ABCD先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，画出平移后四边形A'B'C'D'并写出各顶点的坐标.
【解析】根据图形平移与坐标变化的规律，第一次向左平移3个单位长度后各顶点的纵坐标不变，横坐标减3；再向上平移4个单位长度后，在前一次平移的基础上，横坐标不变，纵坐标加4.
【解】如图所示.A'（－2，2），B'（2，0），C'（1，3），D'（0，3）.
【迷津指点】图形在坐标平面内平移时，各顶点坐标的变化遵循“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”的规律.
【例3】已知两点A（－1，3），B（2，－3），现将线段AB平移至A1B1.如果A1（a，1），B1（5，－b），那么ab的值是（　　）
A.16 B.25 C.32 D.49
【解析】根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，即可得出a，b的值.根据点A（－1，3）平移后对应点A1的坐标为（a，1）可知，线段AB向下平移了2个单位长度.根据点B（2，－3）平移后对应点B1的坐标为（5，－b）可知，线段AB向右平移了3个单位长度，所以a＝2，b＝5，所以ab＝25＝32.
【答案】C
【迷津指点】本题主要考查了点的平移规律与图形的平移，关键是掌握平移规律：左右移，纵不变，横减加；上下移，横不变，纵加减.
【例4】在纸上建立适当的平面直角坐标系，根据点的坐标描出下列各点：（0，0），（5，3），（3，0），（5，1），（5，－1），（4，－2）.然后按照（0，0）→（5，3）→（3，0）→（5，1）→（5，－1）→（3，0）→（4，－2）→（0，0）的顺序用线段把各点连接起来.
（1）看看你得到的图案像什么；
（2）如果把这些点的横坐标都加上1，纵坐标都减去2.再按照原来的顺序将得到的各点用线段连接起来，这个图案与原图案在大小、形状、位置上有什么变化？
【解析】在纸上建立适当的平面直角坐标系，描出点的坐标.
【解】（1）如图①，得到的图案像一条小鱼.
图①　　图②
（2）如果把这些点的横坐标都加上1，纵坐标都减去2，再按原来的顺序连接，仍得到一条小鱼，这条小鱼的大小、形状与原来的完全一样.它的位置可以看作是将原来的小鱼先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，如图②.
见课本课后练习相应章节的练习部分.
　　

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