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第12章　　　函数与一次函数
12.1　函数
1.了解常量与变量的意义.
2.理解函数的概念和函数的三种表示方法.
3.会确定自变量的取值范围，会求函数值.
4.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.
掌握函数概念，判断两个变量间的关系；了解函数的表示方法.
1.平面直角坐标系：两条互相垂直且原点重合的数轴，就构成了平面直角坐标系.
2.平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应.
3.分式的分母不为零；平方根的被开方数为非负数.
知识点一　变量与常量的含义
1.变量：在某一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.如圆的面积公式S＝πr2中的S和r是变量.
2.常量：在某一个变化过程中，有些量的数值是始终不变的，我们称它们为常量.如圆的面积公式S＝πr2中的π是常量.
特别提示：（1）变量与常量是相对的，前提条件是“在某一个变化过程中”.一个量在某一变化过程中是常量，而在另一变化过程中，它可能是变量，也可能是常量.如在s＝vt中，当s一定时，v，t是变量，s是常量；当t一定时，s，v是变量，而t是常量；当v一定时，s，t是变量，v是常量.
（2）指出一个变化过程中的常量时，应连同前面的运算符号.如若长方形的一边长y与邻边长x之间的关系是y＝12－x，则式子中的常量是12和－1，这里的负号不能漏掉.
（3）我们经常用字母表示变量，此时要注意变量的单位.在讨论它们的关系时还要考虑变量的实际意义，如时间、长度、质量不能是负数，人数必须是非负整数等.
【例1】（1）设圆柱的底面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h的表达式是V＝πR2h.在这个式子中，常量和变量分别是什么？
（2）设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径R的表达式是V＝πR2h.在这个式子中，常量和变量分别是什么？
【解析】常量和变量往往是相对的，都是相对于某个变化过程而言的，并非一成不变.
【解】（1）常量是π和R，变量是V和h.
（2）常量是π和h，变量是V和R.
【迷津指点】在不同的变化过程中，变量与常量是可以相互转换的.
知识点二　函数概念
1.一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
特别提示：（1）函数是一个变量相对于另一个变量而言的，如对于两个变量x与y，可以说y是x的函数，不能说y是函数.
（2）函数的顺序性：变量在等式中的位置发生变化，函数与自变量所指代的变量（未知数）就发生了变化.如y＝x＋3表示y是x的函数，而变化后的等式x＝2y－6，则表示x是y的函数.
2.确定函数与自变量的方法
在某一个变化过程中处于主导地位的变量即是自变量，随之变化且对应值唯一确定的变量即是该自变量的函数.如购买某种商品的总价y与件数x的关系中，由于商品件数处于主导地位，因此其是自变量，而商品总价是自变量的函数.
特别提示：（1）函数形式上是方程，但它实质上是一种数学表示，是对有某种对应关系的两个变量的描述.
（2）自变量的取值必须使所列函数表达式或所给实际问题有意义.
【例2】在图中表示y是x的函数的有（　　）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】根据函数的概念进行判断.第一个图象，对于每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；第二个图象，对于每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；第三个图象，对于给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；第四个图象，对于给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象.综上所述，表示y是x的函数的有2个.
【答案】B
【迷津指点】函数的概念反映在图象上简单的判断方法：垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点.
知识点三　函数的三种表示形式
1.函数是从数量关系的角度反映变化规律的数学模型，函数的三种表示形式为列表法、解析法、图象法.
（1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫作列表法.例如在已知线段上取一些点（与原线段的端点不重合），计算所有标出的点构造线段的条数，得出下表：
在已知线段上添加的点的 个数n（不含端点） 1 2 3 4 5 …
线段的条数 3 6 10 15 21 …
根据表格，可以看出线段条数与添加的点的个数的关系.
（2）解析法：用数学式子表示函数关系的方法叫作解析法，其中的数学式子叫作函数表达式（或函数解析式）.例如：若正方形的面积用S表示，正方形的边长用a表示，则正方形的面积公式为S＝a2；若周长用C表示，则周长公式为C＝4a，正方形的边长a是自变量.
（3）图象法：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象.用图象来表示两个变量间的函数关系的方法，叫作图象法.如图所示的是某市某一天气温变化情况的曲线，该图反映了气温T（单位：℃）随时间t（单位：h）变化的情况，时间t是自变量.
特别提示：（1）函数的三种表示方法可以互相转化，在应用中要根据具体情况选择适当的方法.
（2）并不是所有的函数都可以用这三种方法表示出来.如气温和时间的函数关系，只可用列表法和图象法表示，而不能用解析法表示.
2.函数三种表示方法的优缺点
（1）解析法简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的相依关系，但求对应值时，往往要经过比较复杂的计算，而且在实际问题中，有的函数关系不一定能用表达式表示出来.
（2）列表法一目了然，表格中已有的自变量的每一个值，不需要计算就可以直接观察出与它对应的函数值，使用起来很方便.但列表法有局限性，因为列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的规律.
（3）图象法形象直观，通过函数的图象，可以直观、形象地把函数关系表示出来，研究函数的一些性质（函数图象是研究函数性质的有力工具）.但是由图象观察只能得到近似的数量关系，有时图象只能表示变量间整个变化过程的一部分，而不是整体.
在解决问题时，我们常常综合地运用这三种表示方法来深入地探究函数的性质.
【例3】某工厂现在年产值是15万元，计划从今年起每年增加2万元.
（1）写出年产值y（单位：万元）与年数x之间的函数解析式；
（2）画出函数图象；
（3）求5年后的年产值.
【解析】根据题意写出函数的解析式，再用描点法画出函数图象.第（3）问可直接把值代入解析式求解.
【解】（1）函数解析式为y＝15＋2x（x≥0）.
（2）列表：
x 0 1 2 3 4 5 6 …
y＝15＋2x 15 17 19 21 23 25 27 …
　　描点、连线，得出函数图象如图所示.
（3）当x＝5时，y＝15＋2×5＝25，
所以5年后的年产值是25万元.
【迷津指点】函数的三种表示方法往往不是独立的.各种表示方法之间既相互联系，又相互补充.各自从不同的方面反映函数的特点.
知识点四　自变量取值范围的确定
1.使函数有意义的自变量的取值的全体叫作函数自变量的取值范围.
2.确定自变量取值范围应从两个方面考虑：一是必须使含有自变量的代数式有意义；二是使实际问题有意义.
不同类型的函数表达式中自变量取值范围的求法
类型 特点 举例 取值范围
整式型 等号右边是整式 y＝2x2＋3x－1 全体实数
分式型 等号右边的自变量在分母的位置上 y＝ 使分母不为0的实数
根式型 等号右边是开偶次方的式子 y＝ 使根号下的式子的值是大于或等于0的实数
综合型 使各部分都有意义的实数的公共部分
　　【例4】函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）
A.x≥－1 B.x＞2
C.x＞－1且x≠2 D.x≥－1且x≠2
【解析】由题意，得所以x≥－1且x≠2.
【答案】D
【迷津指点】求函数自变量的取值范围时，要注意：①在中，a≥0；②在中，a≠0.
知识点五　函数值
1.在函数表达式中，以自变量的值代入求得的值叫作函数值.
特别提示：（1）函数反映了两个变量之间的关系，而函数值是一个数值.
（2）一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要明确是自变量为多少时的函数值.
（3）函数值的计算与有理数的运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减.如果有括号，先计算括号里面的.
（4）当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的.但当函数值确定时，对应的自变量的值可以是多个.如在y＝4－x2中，当x＝2时，y＝0；而当y＝0时，x＝±2.
2.求函数值的方法：
（1）若函数用解析法表示，只需把自变量的值代入函数表达式，就能得到相应的函数值.
（2）若函数用列表法表示，函数值可以通过查表得到.
（3）若函数用图象法表示，对给出的自变量的值x0，只要过点（x0，0）作一条直线垂直于x轴，这条直线与图象的交点P（x0，y0）的纵坐标就是当x＝x0时的函数值，即y＝y0.
【例5】如果两个变量x，y之间的函数关系如图所示，那么函数值y的取值范围是（　　）
A.－3≤y≤3
B.0≤y≤2
C.1≤y≤3
D.0≤y≤3
【解析】本题考查函数的图象，难度中等偏下.解答本题的关键是会观察图象，找到y的最高点及最低点.因为图象的最高点是（－2，3），所以y的最大值是3.因为图象的最低点是（1，0），所以y的最小值是0，所以函数值y的取值范围是0≤y≤3.
【答案】D
知识点六　确定函数表达式
确定实际问题中的函数表达式，需要根据题干中的信息得到函数值与自变量的对应关系，观察得出变化的规律，用含自变量的式子表示函数.注意：在实际问题中求函数表达式时，需特别注意自变量的取值范围.
【例6】写出下列问题中的函数表达式，并确定自变量的取值范围.
（1）一支蜡烛长15cm，点燃后，每分钟缩短1cm.求剩余的蜡烛长y（单位：cm）与点燃时间x（单位：min）之间的函数表达式.
（2）某水池的容积为300L，求水的流量Q（单位：L/min）与注满全池需要的时间t（单位：min）之间的函数表达式.
【解析】本题考查确定函数表达式，关键在于确定自变量的取值范围.
【解】（1）y＝15－x（0≤x≤15）.
（2）Q＝（t＞0）.
知识点七　由函数表达式画函数图象的一般步骤
1.列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.
2.描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中数值对应的各点.
3.连线：按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线依次连接起来.
特别提示：（1）列表时要根据自变量的取值范围取值，从小到大或自中间向两边选取，取值要有代表性，尽量使画出的函数图象能反映出函数的全貌.
（2）描点时要以表中每对对应值为坐标，点描得越多，图象越准确.
（3）连线时要用光滑的曲线将所描的点依次连接起来.
【例7】画出函数y＝2x＋1的图象.
【解析】根据函数图象的画法步骤，通过列表、描点、连线，画出相应的函数图象.
【解】列表：
x … －1 0 1 2 …
y … －1 1 3 5 …
　　描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点；
连线：用平滑的曲线把这些点连接起来，得到函数y＝2x＋1的图象，如图所示.
【迷津指点】列表时所选的对应值应选取一些特殊值，如整数值等，方便描点.点描得越多，图象越准确.
知识点八　从函数的图象中获取信息
利用函数图象信息解决问题的方法：（1）理解函数图象表示的意义；（2）找特殊点；（3）找点与点之间线段的变化规律.
【例8】五一劳动节假期期间，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间.设他从山脚出发后所用时间为t（单位：min），所走的路程为s（单位：m），s与t之间的函数关系如图所示.下列说法错误的是（　　）
A.小明中途休息用了20min
B.小明休息前爬山的平均速度为70m/min
C.小明在上述过程中所走的路程为6600m
D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
【解析】由图象可知，在40min到60min之间，所走路程为0，所以休息了60－40＝20（min），故A选项说法正确；在休息前行进了2800m，所以平均速度为2800÷40＝70（m/min），故B选项说法正确；由图象可得小明爬山所走的路程为3800m，故C选项说法错误；休息后用100－60＝40（min）行进了3800－2800＝1000（m），所以平均速度为1000÷40＝25（m/min），即休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故D选项说法正确.
【答案】C
【迷津指点】本题考查了函数的图象，读函数的图象时首先要理解横、纵坐标表示的含义，从图象中获取必要的信息是解决问题的关键.
【例1】已知三角形的一边的长是12，这条边上的高是h，则三角形的面积S＝×12·h，即S＝6h.在这个式子中，常量和变量分别是什么？
【解析】根据常量和变量的定义分析.由于三角形的面积是边长与该边上的高的长度的乘积的一半.已知边长，因此可以得出常量是边长的一半，变量是高和面积.
【解】常量是6，变量是h和S.
【迷津指点】判断一个量是常量还是变量的方法：看在这个量所在的变化过程中，该量的值是否发生改变（或者说是否会取不同的数值），其中在变化过程中不变的量是常量，可以取不同数值的量是变量.
【例2】下列表达式中，不是函数的是（　　）
A.y＝ B.y＝－x2＋2x
C.y＝9（x≥0） D.y＝±x2
【解析】对于A，B，由于y＝，y＝－x2＋2x中自变量的取值范围是全体实数，任意给出一个x值，变量y总有唯一确定的值与之对应，因此它们是函数关系；对于C，y＝9中自变量取非负数，任意给出x的一个非负数值，y总有唯一确定的值与之对应，因此它也是函数关系；对于D，y＝±x2中自变量的取值范围是全体实数，给出x＝1，得出y的值是±1，有两个值，因此y不是x的函数.
【答案】D
【迷津指点】判断函数时，应注意结合函数概念判断.一般情况下，当等式左边未知数外面添加绝对值符号，或右边某一未知数的代数式外面含符号“±”时，相关的式子不是函数关系.例如｜y｜＝x2＋121，y＝±x2等.说明一个式子不是函数关系，举一反例即可，即给出自变量的一个值，所得函数值的个数不是1即可.
【例3】填写如图所示的乘法表，然后把所有填24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y与x之间的函数表达式.
【解析】根据题意，在图中将横向、纵向表示的数字的乘积是24的方格涂黑.由于两个变量的乘积是24，因此得出xy＝24，改写为用x表示y的形式即可得出函数表达式.
【解】用（x，y）表示符合题意的格子的位置，则共有（2，12），（3，8），（4，6），（6，4），（8，3），（12，2）六个格子，如图所示.由于两个数字相乘的积是24，因此得xy＝24.用含x的代数式表示y，得函数表达式是y＝.
【迷津指点】求实际问题中的函数表达式的方法：结合实际问题的意义，根据题目中的等量关系，用一个未知数的代数式表示另一个未知数，即可得出实际问题中的函数表达式.
【例4】下列函数中，自变量的取值范围是全体实数的是（　　）
A.y＝ B.y＝
C.y＝ D.y＝
【解析】因为B中的分母是常数2，所以分母不等于0.又因为分子是整式，所以自变量的取值范围是一切实数.而A，C，D三项中，自变量的取值范围都是有限制的：A中x的值不等于2；C中x的取值应使x2－2≥0；D中分母x2－1应不等于0，且分子位置上的x的取值应当是非负数.
【答案】B
【迷津指点】如果含有自变量的代数式含有分母或开平方运算，那么应对分母或根号内的式子的取值进行限制.
【例5】当x＝3时，求下列函数的函数值：
（1）y＝2x－5；（2）y＝－3x2；（3）y＝；（4）y＝.
【解析】对于给定自变量的值，求函数值时，一定要使函数有意义.本例题中当x＝3时，都在四个函数自变量允许的取值范围之内，故函数值都存在.在（1）式中，代入自变量的值，其运算顺序是先算乘法，后算减法；在（2）式中，代入自变量的值，应先算乘方，后算乘法.
【解】（1）当x＝3时，
y＝2×3－5＝1.
（2）当x＝3时，
y＝－3×32＝－27.
（3）当x＝3时，
y＝＝1.
（4）当x＝3时，
y＝＝0.
【迷津指点】在代入x的值后，按照指定的运算顺序计算，但要注意当结果中有根式时，一定要化成最简根式，有些题目还有可能要求保留有效数字，只要按照题目要求保留即可.
【例6】某水果店销售一批苹果，其质量x（单位：kg）与售价y（单位：元）之间的关系如下表：
x/kg 0.5 1 1.5 2 …
y/元 1.2＋0.5 2.4＋0.5 3.6＋0.5 4.8＋0.5 …
　　（1）写出售价y与质量x之间的函数表达式；
（2）计算当x＝3.5时，y的值；
（3）如果某顾客购买该种苹果花费了16.1元，那么该顾客购买该种苹果多少千克？
【解析】（1）根据表格信息，可以发现每一个函数值都由两部分构成，一是0.5，二是随苹果质量的变化而成比例变化的另一个数据.由于苹果质量变化时，售价减去0.5后的数据与质量的比值不变，是2.4，因此可以得出函数表达式；（2）把自变量的值代入函数表达式求值即可；（3）已知函数值计算自变量的对应值，只要代入函数值，解关于自变量的方程即可.
【解】（1）函数表达式是y＝2.4x＋0.5.
（2）当x＝3.5时，y的值是y＝2.4x＋0.5＝2.4×3.5＋0.5＝8.9.
（3）把函数值y＝16.1代入函数表达式y＝2.4x＋0.5，得方程2.4x＋0.5＝16.1，解得x＝6.5.故该顾客购买该种苹果6.5kg.
【迷津指点】此类问题要结合表格信息，注意函数值与自变量的对应关系，观察得出变化的规律，即可得出函数表达式.
【例7】一辆汽车由A地驶向相距240km的B地，它的平均速度为30km/h.
（1）求汽车距B地的路程s（单位：km）与行驶时间t（单位：h）之间的函数表达式.
（2）画出这个函数的图象.
（3）判断点（6，60）是否在该函数图象上.
【解析】（1）根据题干信息就可以得到路程s与行驶时间t之间的函数关系；（2）根据函数图象的画法步骤，画出相应的函数图象；（3）将t＝6代入函数表达式，即可判断点（6，60）是否在该函数图象上.
【解】（1）由题意，得s＝240－30t（0≤t≤8）.
（2）列表如下：
t/h 0 2 4 6 8
s/km 240 180 120 60 0
　　函数图象如图所示.
（3）当t＝6时，s＝240－30×6＝60，所以点（6，60）在该函数图象上.
【例8】一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3min时，再打开出水管排水，8min时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完.在整个过程中，容器中的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示，则图中a的值为　　　　.
【解析】根据图象可知，进水管进水速度为＝10（L/min）；同时打开进水管和出水管，容器中的水量每分钟减少＝2（L），所以出水管排水速度为10＋2＝12（L/min），所以关闭进水管后排空需要＝（min），所以a＝8＋＝.
【解】
见课本课后练习.
　　

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