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12.2　一次函数
1.掌握一次函数和正比例函数的概念；理解一次函数与正比例函数之间的关系.
2.掌握正比例函数和一次函数的图象及性质，并能解决有关的问题.
3.理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系，能够将它们之间关系的问题相互转化并加以解决.
1.对一次函数的图象和性质的理解.
2.一次函数的应用.
1.在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.
2.对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每一对对应值作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象.画函数图象的方法一般由列表、描点、连线三部分组成.
3.在函数关系式中，以自变量的值代入求得的值叫作函数值.
知识点一　一次函数的定义
若两个变量x，y之间的关系式可以表示成y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x是自变量）.
特别提示：函数是一次函数必须符合下列两个条件：（1）两个变量x，y的次数是1；（2）必须是关于两个变量的整式.
【例1】当m＝　　　　时，函数y＝（m＋3）x2m＋1＋4x－5（x≠0）是一次函数.
【解析】因为函数中的项（m＋3）x2m＋1既可以是一次项，也可以是常数项，所以应分三种情况讨论：①当m＋3＝0，即m＝－3时，y＝4x－5；②当2m＋1＝1且m＋3＋4≠0，即m＝0时，y＝7x－5；③当2m＋1＝0，即m＝－时，y＝4x－.因此，当m＝－3或0或－时，函数y＝（m＋3）x2m＋1＋4x－5（x≠0）是一次函数.
【解】－3或0或－
【迷津指点】在解此类题时，一定要全面分析问题，不要漏解.
知识点二　正比例函数的定义
对于一次函数y＝kx＋b，当b＝0，即y＝kx（k为常数，且k≠0）时，我们称y是x的正比例函数.
特别提示：一次函数与正比例函数的关系
需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b＝0，且k≠0.因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数.
【例2】下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A.y＝－2x B.y＝－2x＋1
C.y＝－2x2 D.y＝－
【解析】
A √ 符合正比例函数的一般形式
B × b＝1≠0，所以它不是正比例函数
C × x的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数
D × 含有自变量x的代数式不是整式，所以它不是正比例函数
　　【答案】A
【迷津指点】要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y＝kx＋b（k≠0）的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y＝kx（k≠0）的形式.
知识点三　根据条件列一次函数关系式
列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为，首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式.
特别提示：列函数关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量.
【例3】甲、乙两地相距30km，某人从甲地以每小时4km的速度走了th到达丙地，并继续向乙地走.
（1）试分别确定甲、丙两地距离s1（单位：km）及丙、乙两地距离s2（单位：km）与时间t（单位：h）之间的函数关系式；
（2）它们是什么函数？
【解析】路程＝速度×时间，s2＝30－s1.
【解】（1）s1＝4t，s2＝30－4t.
（2）两个函数都是一次函数，且s1＝4t还是正比例函数.
【迷津指点】此类题目把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题.
知识点四　一次函数的图象和性质
1.正比例函数的图象和性质
（1）正比例函数的图象：一般地，正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.在画正比例函数y＝kx的图象时，一般是经过点（0，0）和（1，k）作一条直线.
（2）正比例函数y＝kx的性质：当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左往右上升，即y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左往右下降，即y随x的增大而减小.｜k｜越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快.
2.一次函数的图象和性质
（1）一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是一条直线.由于两点确定一条直线，因此画一次函数的图象，只要描出图象上的两个点[通常求出与x轴的交点和与y轴的交点（0，b）]，过这两点作一条直线就行了.我们常常把这条直线叫作直线y＝kx＋b.
（2）一次函数中的常量k，b（k≠0）：直线y＝kx＋b（k≠0）与y轴的交点是（0，b），当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；当b＜0时，直线与y轴的负半轴相交；当b＝0时，直线经过原点，此时一次函数即为正比例函数.一次函数y＝kx＋b中的k，决定了直线的倾斜程度，k的绝对值越大，则直线越靠近y轴，反之，越靠近x轴.
（3）一次函数y＝kx＋b（k≠0）的性质：当k＞0时，直线y＝kx＋b从左向右上升，函数y的值随自变量x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx＋b从左向右下降，函数y的值随自变量x的增大而减小.｜k｜越大，y随x的增大而增大（或减小）的速度越快.
【例4－1】已知三条直线y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x的位置关系如图所示，则k1，k2，k3的大小关系是（　　）
A.k1＞k2＞k3
B.k1＞k3＞k2
C.k3＞k2＞k1
D.k2＞k1＞k3
【解析】由图象可知，k1＞0，k2＜0，k3＜0，且｜k3｜＞｜k2｜，所以k1＞k2＞k3.
【答案】A
【例4－2】画出一次函数y＝－3x＋3的图象.
【解析】由于一次函数的图象是一条直线，因此只要过其图象的两点画出一条直线即可.
【解】列表：
x 0 1
y＝－3x＋3 3 0
　　描点、连线，如图.
【例4－3】若一次函数y＝（2m－6）x＋5中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是　　　　.
【解析】当我们知道函数的增减性后，就知道了k的取值范围.因为y随x的增大而减小，所以k就小于0，即2m－6＜0，解得m＜3，所以m的取值范围是m＜3.
【解】m＜3
【迷津指点】在一次函数解析式中，k确定函数的增减性，b确定函数图象与y轴的交点.
知识点五　k，b的符号与直线所过象限的关系
学习了一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0），我们知道一次函数图象经过哪些象限是由k，b的符号决定的.
一般分为四种情况：
（1）k＞0，b＞0时，图象过第一、二、三象限；
（2）k＞0，b＜0时，图象过第一、三、四象限；
（3）k＜0，b＞0时，图象过第一、二、四象限；
（4）k＜0，b＜0时，图象过第二、三、四象限.
特别提示：根据一次函数y＝kx＋b中k，b的符号可以确定图象所经过的象限；根据函数图象所经过的象限，可以确定k，b的符号.解决有关问题，应熟练把握k，b的符号与函数图象所经过象限的几个类型，并能灵活应用.
【例5－1】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b的图象与正比例函数y＝x图象的位置不可能是（　　）
A B
C D
【解析】若a＞0，b＞0，则直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，直线y＝x经过第一、三象限，故A选项不符合题意；若a＜0，b＜0，则直线y＝ax＋b经过第二、三、四象限，直线y＝x经过第一、三象限，故B选项不符合题意；若a＞0，b＜0，则直线y＝ax＋b经过第一、三、四象限，直线y＝x经过第二、四象限，故C选项不符合题意；若a＜0，b＞0，则直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，直线y＝x经过第二、四象限，故D选项符合题意.
【答案】D
【例5－2】如图所示的是一次函数y＝kx＋b的图象的大致位置，试分别确定k，b的正负号，并判断一次函数y＝（－k－1）x－b的图象所经过的象限.
【解析】由函数y＝kx＋b的图象可知，函数的图象经过第一、三、四象限，所以k＞0，b＜0，由此可得－k－1＜0，－b＞0，从而确定一次函数y＝（－k－1）x－b的图象经过第一、二、四象限.
【解】观察图象可得k＞0，b＜0，所以－k－1＜0，－b＞0，所以一次函数y＝（－k－1）x－b的图象经过第一、二、四象限.
知识点六　一次函数图象与坐标轴的交点
一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是直线，这条直线与x轴交于点，与y轴交于点（0，b）.考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：
（1）判定直线所经过的象限，一般给出函数关系式，判定直线经过哪几个象限或确定不经过哪个象限.
（2）求直线的解析式，一般先设出函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），把已知的两点的坐标分别代入，求出k，b的值即可.
（3）求两交点与坐标轴围成的三角形的面积，由于这个三角形是直角三角形，利用面积公式即可.
【例6】如图，已知直线y＝kx－3经过点M（－2，1），求此直线与x轴、y轴的交点坐标，并求出与坐标轴所围三角形的面积.
【解析】先将点M（－2，1）代入y＝kx－3，确定一次函数解析式，再分别令x＝0和y＝0，即可求出此直线与x轴、y轴的交点坐标.
【解】将点M（－2，1）代入y＝kx－3，得1＝－2k－3，解得k＝－2，所以y＝－2x－3.当x＝0时，y＝－3；当y＝0时，x＝－，所以此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为，（0，－3）.
故所围三角形的面积为××3＝.
【迷津指点】在平面直角坐标系中求图形的面积时，通常把轴上的边作为底，再利用点的坐标求得底上的高，然后利用面积公式求解.
知识点七　一次函数图象的平移
一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象可以看作由直线y＝kx平移｜b｜个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）.实际上就是指一次函数y＝kx＋b的图象沿y轴平移时，在b的位置上按照“上加下减”的规律进行.如：一次函数l1：y＝x＋2的图象可以看作是由正比例函数l：y＝x的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到的；一次函数l2：y＝x－2的图象可以看作是由正比例函数l：y＝x的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到的.
【例7】如图所示，将直线OA向上平移1单位长度，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是　　　　.
【解析】由图象可知，直线经过原点，所以设直线的解析式为y＝kx（k≠0）.因为直线经过点（2，4），所以直线的解析式为y＝2x.根据“上加下减”的原则，可知所求的一次函数解析式为y＝2x＋1.
【解】y＝2x＋1
【迷津指点】解决平移问题可以对性质进行直接运用，也可以找出平移后借助坐标系运用待定系数法求解.平移前后k的值不变，改变的是b的值.
知识点八　确定一次函数表达式
1.借助图象确定函数的表达式
先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y＝kx（k≠0）；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y＝kx＋b（k≠0）；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标.对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中，求出其中的k，b，即可确定其表达式.
2.确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件
（1）由于正比例函数y＝kx（k≠0）中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x，y的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式.
（2）一次函数y＝kx＋b（k≠0）有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值.
【例8】若一次函数y＝2x＋b（b为常数）的图象经过点（1，5），则b的值为　　　　.
【解析】通过待定系数法求出b的值.将点（1，5）代入y＝2x＋b，得5＝2＋b，解得b＝3.
【解】3
【迷津指点】本题考查一次函数表达式的求法的基本知识，难度较小.
知识点九　分段函数
自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.在解决问题时，要注意函数图象的分界点的对应值.
【例9】某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费的办法.居民应交水费y（单位：元）与用水量x（单位：t）的函数关系如图所示.
（1）分别写出当0≤x≤15和x＞15时，y与x的函数关系式.
（2）若某户居民某月用水21t，则应交水费多少元？
【解析】本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知，当0≤x≤15时，y是x的正比例函数；当x＞15时，y是x的一次函数.
【解】（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y＝kx.把x＝15，y＝27代入，得27＝15k，解得k＝＝，所以y＝x；当x＞15时，设y与x的函数关系式为y＝ax＋b.将x＝15，y＝27和x＝20，y＝39.5代入，得解得a＝2.5，b＝－10.5，所以y＝2.5x－10.5.故y＝
（2）当该户居民某月用水21t时，y＝2.5×21－10.5＝42（元），即应交水费42元.
知识点十　一次函数和一元一次方程的关系
当一次函数y＝kx＋b（k≠0）中的函数值为0时，可得0＝kx＋b，即kx＋b＝0，这在形式上变成了求关于x的一元一次方程.也就是说，当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；若从图象上来看，则可看作函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kx＋b＝0的解.由此可见，方程与函数是密不可分的.
【例10－1】一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解为（　　）
A.x＝2 B.y＝2
C.x＝－1 D.y＝－1
【解析】直接根据函数图象与x轴的交点坐标进行解答即可.因为一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点坐标为（－1，0），所以当kx＋b＝0时，x＝－1.
【答案】C
【迷津指点】利用方程思想和数形结合思想求解，本题考查的是利用一次函数图象求一元一次方程的解.
【例10－2】某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量试验，试验中汽车视为匀速行驶.已知油箱余油量y（单位：L）与行驶时间t（单位：h）的关系如表，与行驶路程x（单位：km）的关系如图.请你根据这些信息求A型汽车在试验中的速度.
行驶时间t/h 0 1 2 3
油箱余油量y/L 100 84 67 52
【解析】考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力.
【解】因为油箱余油量y与行驶路程x的关系图象是一条不过原点的直线，
所以可设关系式为y＝kx＋b（k≠0）.
由图象可知，y＝kx＋b经过两点（0，100）和（500，20），则有b＝100，20＝500k＋b.
把b＝100代入20＝500k＋b，得20＝500k＋100，解得k＝－，
所以直线的解析式为y＝－x＋100.
当y＝100时，x＝0；
当y＝84时，x＝100.
由图表可知，油箱余油量从100L到84L，行驶时间是1h，行驶路程是100km.
故A型汽车在试验中的速度为100km/h.
知识点十一　一次函数和不等式的完美结合关系
由于任何一元一次不等式都可以转化为类似ax＋b＞0或ax＋b＜0的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y＝ax＋b的值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数y＝ax＋b的值何时大（小）于0时，只要求出不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集即可.
【例11】已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点（1，4）.
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求关于x的不等式kx＋3≤6的解集.
【解析】本题考查求一次函数解析式以及解一元一次不等式，难度较小.（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）由（1）和一元一次不等式的解法求解.
【解】（1）把（1，4）代入一次函数的解析式y＝kx＋3中，得k＋3＝4，解得k＝1，所以这个一次函数的解析式为y＝x＋3.
（2）由（1），得x＋3≤6，所以x≤3.
【迷津指点】从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出，三者最终能用函数观点统一起来，并且达到一种完美的结合，这种结合，又常常在一些考题中得以体现.
【例1】下列函数：①y＝2x，②y＝，③y＝＋2x，④y＝＋1.其中一次函数的个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】①y＝2x是正比例函数，即是一次函数；②y＝，即y＝x＋是一次函数；③y＝＋2x，即y＝2x＋是一次函数；④y＝＋1中，由于x位于分母上，故不是整式，因此不是一次函数.故一次函数共有3个.
【答案】C
【迷津指点】判断函数是否是一次函数时，要从一次函数的一次项系数是非零实数以及自变量的指数是1两方面考虑.
【例2】若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝ax＋c的图象可能是（　　）
A　　　　B
C　　　　D
【解析】因为a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，所以a＜0，c＞0（b的正负情况不能确定），所以函数y＝ax＋c的图象经过第一、二、四象限.
【答案】A
【迷津指点】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，确定出a，c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点.
【例3】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（－2，4），B（4，2），直线y＝kx－2与线段AB有交点，则k的值不可能是（　　）
A.－5 B.－2
C.3 D.5
【解析】将A（－2，4）代入y＝kx－2，得k＝－3.将B（4，2）代入y＝kx－2，得k＝1.要使y＝kx－2与线段AB有交点，则k≥1或k≤－3，因此只有B不符合条件.
【答案】B
【迷津指点】解决这一类问题，应该先求出k的取值范围，进而寻找答案.求k的取值范围时要抓住两个端点求其范围的上限和下限，另外，排除法也可以是解决这一类问题的有效的手段.
【例4】一水库的水位在最近6天内持续上涨，下表记录了这6天的水位高度：
n/天 0 1 2 3 4 5 6
h/m 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15
　　（1）由记录表推出这6天中水位高度h（单位：m）随时间n（单位：天）变化的函数表达式，并画出函数的图象；
（2）据估计，这种上涨的势头还会持续2天，预测再过2天水位高度将达到多少米？
【解析】记录表已经通过7组数值反映了水位h与时间n之间的对应关系，分析这些数值，找出两个变量之间的一般规律，求出函数表达式，画出函数图象，进行水位预测.
【解】（1）由表中观察到开始水位高12m，以后每隔1天，水位升高0.5m，这样的变化规律可以表示为h＝12＋0.5n（0≤n≤6），它的函数图象如图.
（2）再过2天，即当n＝6＋2＝8时，水位的高度h＝12＋0.5×8＝16.故2天后，预计水位高度将达到16m.
【迷津指点】实际问题中的一次函数y＝kx＋b的图象还要受自变量取值范围的限制.
【例5】直线y＝2x＋b经过点（3，5），求关于x的不等式2x＋b≥0的解集.
【解析】先把点（3，5）代入直线y＝2x＋b，求出b的值，再根据2x＋b≥0即可得出x的取值范围.
【解】因为直线y＝2x＋b经过点（3，5），
所以5＝2×3＋b，解得b＝－1.
因为2x＋b≥0，
所以2x－1≥0，解得x≥，
即不等式2x＋b≥0的解集为x≥.
【例6】作出函数y＝0.5x＋1的图象，并利用图象解决问题.（1）当x＝－4，0，2时，求y的值；（2）当y＝－，1，3时，求x的值；（3）解方程0.5x＋1＝－，0.5x＋1＝1，0.5x＋1＝3；（4）结合（2）（3），你能得出什么结论？（5）若解方程0.5x＋1＝0呢？它有什么特殊的几何意义？
【解析】利用一次函数与相应的一元一次方程的关系解题.
【解】列表如下：
x 0 2
y＝0.5x＋1 1 2
　　描点、连线，得函数图象如图所示.
（1）由图象可知，当x＝－4，0，2时，相应的y值分别为－1，1，2.
（2）由图象可知，当y＝－，1，3时，相应的x值分别为－3，0，4.
（3）三个方程的解分别为x＝－3，x＝0，x＝4.
（4）当一次函数y＝0.5x＋1的函数值为－，1，3时，相应的自变量的值即为方程0.5x＋1＝－，0.5x＋1＝1，0.5x＋1＝3的解.
（5）当一次函数y＝0.5x＋1的函数值为0时，
相应的自变量的值即为方程0.5x＋1＝0的解，
故方程的解为x＝－2.
它的几何意义：直线y＝0.5x＋1与x轴交点的横坐标即为方程0.5x＋1＝0的解.
【例7】把函数y＝kx＋b（k≠0）的图象向下平移2个单位长度，则平移后的图象经过点（1，2）和（5，4）.求函数y＝kx＋b的表达式.
【解析】首先确定平移后的函数表达式，逆向思考得出平移前的函数表达式.或把已知两点向上平移2个单位长度，运用待定系数法直接确定函数y＝kx＋b的表达式.
【解】方法一：设平移后的函数表达式是y＝mx＋n（m≠0），
代入平移后经过两点的坐标，得
解得
因此平移后的函数表达式是y＝x＋.
把其图象向上平移2个单位长度得到直线y＝kx＋b，
因此系数k＝，b＝＋2＝，
所以函数y＝kx＋b的表达式为y＝x＋.
方法二：两点（1，2）和（5，4）同时向上平移2个单位长度得到对应点的坐标是（1，4），（5，6），
则直线y＝kx＋b经过这两个点.
将点（1，4），（5，6）代入y＝kx＋b，得方程组
解得
所以函数y＝kx＋b的表达式为y＝x＋.
【迷津指点】逆向思考是解决此类问题的关键，根据题目条件选择适当方法求解即可，还要注意待定系数法在确定函数表达式问题中的运用.
【例8】某市推出手机上网包月制，每月收取费用y（单位：元）与上网流量x（单位：GB）的函数关系图象如图所示，其中BA是线段，且AB∥x轴，AC是射线.
（1）当x≥30时，求y与x之间的函数表达式；
（2）若小李4月上网流量为20GB，他应付多少元的上网费用？
（3）若小李5月上网费用为75元，则他在该月的上网流量是多少？
【解析】本题考查分段函数的应用，利用分段函数的概念即可解答.
【解】（1）当x≥30时，设函数表达式为y＝kx＋b，
由题意，得
解得
所以当x≥30时，y与x之间的函数表达式为y＝3x－30.
（2）4月上网流量为20GB，应付60元的上网费用.
（3）由题意，得75＝3x－30，
解得x＝35，
所以他在该月的上网流量是35GB.
见课本课后练习.
　

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