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2.2 有理数的乘法与除法 同步讲义
知识点梳理01：有理数乘法法则
1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积．
2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0．
3. 有理数乘法法则也可以表示如下：
设a，b为正有理数，c为任意有理数，则
；
，；
，．
知识点梳理02：倒数的概念与求法
1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则．
2. 倒数的求法
类型 方法
真、假分数的倒数 将分子分母交换位置
非0整数的倒数 整数作分母，1作分子
小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数
对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行
带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置
知识点梳理03：有理数的乘法运算律
运算律 文字叙述 用字母表示
乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变
乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变
乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加
知识点梳理04：多个有理数相乘的符号法则
1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是
2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0．
知识点梳理05：多个有理数相乘的符号法则
1. 有理数除法法则
（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即．
（2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则．
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0．
2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用
（1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便．
（2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算．
知识点梳理06：多个有理数相乘的符号法则
有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果．
知识点梳理07：多个有理数相乘的符号法则
有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算．
考点1：两个有理数的乘法运算
【典例精讲】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·期中）观察下面的等式，…
(1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________；
(2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算：
①；
②直接写出结果：________；
(3)根据以上探索经验，计算：．
考点2：多个有理数的乘法运算
【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：
； (2)；
； (4)．
【变式训练】（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式
，
将以上三个等式两边分别相加得：
．
【探索规律】
（1）猜想并写出：______．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
______；
【迁移运用】
（3）．
考点3：有理数乘法的实际应用
【典例精讲】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）小车司机蔡师傅某天下午的营运全是在东西走向的公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，．
(1)蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？
(2)蔡师傅这天下午共行车多少千米？
(3)若每千米耗油，则这天下午蔡师傅用了多少升油？
【变式训练】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，李明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表所示．每天以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程/km 0
(1)李明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？
(2)已知新能源汽车每行驶耗电量为，每千瓦时电费为0.6元，则李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是多少元？
考点4：倒数
【典例精讲】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴上的点，，，分别表示，的倒数，0的相反数，．
(1)在如图所示的数轴上描出，，，四个点；
(2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？
【变式训练】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知四个有理数a、b、c、d在数轴上对应的点分别为A、B、C、D，a，b互为倒数，c，d互为相反数．
(1)根据已知条件回答：若，则 ；若，则 ；
(2)把下列各数在数轴上表示：，2，，0，．
(3)将（2）中各数按由小到大的顺序用“”连接起来．
考点5：有理数乘法运算律
【典例精讲】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）能简算的要简算．
(2)
(3) (4)
(5) (6)
【变式训练】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．
数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题．
斌斌的解法：原式的倒数为，所以．
(1)a的倒数为______；
(2)若a、b互为倒数，则______；
(3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：．
考点6：有理数的除法运算
【典例精讲】（23-24七年级上·江西上饶·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下：
解：原式…………第一步
…………第二步
…………第三步
…………第四步
根据小丽的计算过程，回答下列问题：
(1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律；
(2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了，因为 ；
(3)请你给出正确的解答过程．
【变式训练】．（24-25七年级上·河北承德·期中）如图，在一条直线上，从左到右依次有点A、B、C，其中．以这条直线为基础建立数轴，设点A、B、C所表示数的和是p．

(1)如果规定向右为正方向，以为单位长度建立数轴：
①若以B为原点O，则点C表示的数是______，点A表示的数为______；若以C为原点O，则点B表示的数是______，此时______；
②若改变原点O的位置，使原点O在点C的右边，且，求p的值；
③发现：观察p值的变化规律发现原点每向右移动，p值______（增大或减小）______；
(2)如果规定向右为正方向，若点A表示的数是，则点C表示的数是______，若折叠数轴，使点A与点C重合，则折点表示的数是______．
考点7：有理数除法的应用
【典例精讲】（24-25七年级上·山西长治·开学考试）中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片．由我国自主研发的“复兴号”高铁的速度比“和谐号”动车组的速度快，“和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米．“复兴号”与“和谐号”高铁每小时各行驶多少千米？
【变式训练】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛．现有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动调试设备、检测温度等．下表是某一段时间内机器人从工作岗位出发的行走记录（规定向东为正，向西为负，单位：）
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
(1)五次行走结束后机器人停在何处？
(2)若该机器人每千米耗电度，在这段行走过程中机器人共耗电多少度？
考点8：有理数乘除混合运算
【典例精讲】（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）阅读下列解题过程． 计算 ：
解：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步） ．
回答：
(1)上面解答过程有错误，是第 步，错误的原因是 ；
(2)请写出正确的解题过程．
【变式训练】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足．
(1)_________，_________；
(2)求图1中刻度“3厘米”所对应数轴上的数是多少？
(3)若刻度尺右端M的刻度为“厘米”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度为多少厘米？并说明理由．
考点9：有理数乘除中的简便运算
【典例精讲】（24-25七年级上·河北保定·开学考试）能简便计算的用简便方法计算．
(1) (2)
(3) (4)
【变式训练】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算题
(2)
(3) (4)
考点10：有理数四则混合运算
【典例精讲】（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算下面各题．（能简算的要简算．）
(2) (3)
【变式训练】（24-25七年级上·湖南永州·开学考试）计算下面各题，能简算的要简算
(2)
(3) (4)
考点11：有理数四则混合运算的实际应用
【典例精讲】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）章明同学上一周内晨跑的时长如表所示（单位：分钟，以分钟为基准，超过分钟的部分记为“”，不足分钟的部分记为“”）：
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
(1)他上一周内晨跑时间最长的一天比最短的一天多跑了几分钟？
(2)若他晨跑的平均速度为每分钟千米，这七天他共跑了多少千米？
【变式训练】．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）“滴滴”司机李师傅周日上午在南北方向的江门大道上营运，共连续运载十批乘客，若规定向北为正，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）
(1)将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的南面还是北面？距离出发地多少千米？
(2)若汽车每千米耗油升，则汽车共耗油多少升？
(3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午一共收入多少元？
考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负
【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中a与c互为相反数．
(1)填空：=______，=______；
(2)用“>”或“<”填空：______0，______0，______0；
(3)在数轴上标出，比较的大小（按从小到大的顺序排列）．
【变式训练】（23-24七年级上·广东揭阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示．
(1)试判断式子的符号；
(2)化简：．
考点13：数轴上的翻折
【典例精讲】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（ ）
A．我 B．爱 C．数 D．学
【变式训练】（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
(1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合；
(2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题：
①1表示的点与哪个数表示的点重合；
②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？
1．（2023·四川达州·中考真题）的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
2．（2023·北京·中考真题）实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·四川甘孜·中考真题）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）的倒数是（ ）
A． B．2022 C． D．
5．（2025·四川自贡·中考真题）若，则内的数字是（ ）
A． B．2 C．4 D．
基础夯实
1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）妮妮去文具店购买修正带，某品牌的修正带有两款，普通版20米长售价5.4元，加长版30米长售价7.5元，（ ）更优惠．
A．普通版 B．加长版 C．两者相同 D．不能比较
2．（24-25七年级上·广西梧州·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26七年级上·全国·课后作业）记盈利额为正数，用正数或负数填空：
（1）小商店平均每天盈利250元，一个月（按30天计算）的利润是 元；
（2）小商店一星期的利润是1400元，平均每天的利润是 元；
（3）小商店一星期共亏损840元，平均每天的利润是 元．
5．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（牛吃草变形应用）在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果他每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶后到达地面．从站台到地面有级( )台阶．
6．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）小强和小丽去迷宫游玩，他们发现了一个秘密机关，机关的门口是一些写着整数的数字按钮，此时传来一个机器人的声音：“按两个数，使积等于，两个数不分顺序．”则符合要求的按法共有 种．
7．（24-25七年级上·河南商丘·期末）的倒数与的相反数的和是 ．
8．（24-25七年级上·全国·课后作业）星期天，李老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行，到陈家峪，下午她又向西行，回到家中（学校、陈家峪、李老师家在同一直线上），若规定向东的方向为正方向．
(1)用有理数表示李老师两次所行的路程；
(2)如果汽车行驶耗油，计算这天汽车共耗油多少升？
9．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)； (2)； (3)．
10．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品经济）秋冬季节来临，我国很多地方出现了雾霾天气，口罩成为了热销品．下面是小商品批发市场口罩批发信息．张老板从批发市场共批发口罩12捆，前2天以每只4元的价格卖出全部口罩的，第3天又以每只3元的价格卖出余下所有的口罩．除去运输、人员工资等支出320元，张老板一共赚多少元？
口罩批发信息 1.10捆起批（每捆口罩50只） 2．每捆批发价100元 3．超过10捆，超过部分每捆优惠
培优拔高
11．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
12．（24-25七年级上·河北沧州·期末）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，把运算符号“”填入“□”中，使运算结果最大，应该填入的符号是（ ）
A．+ B． C．× D．÷
13．（24-25七年级上·陕西咸阳·开学考试）开学前，甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙购买同种规格的文件夹．买来后，甲、乙分别比丙多拿了5、7个文件夹，最后结算时，甲付给丙8元，乙应付给丙（ ）元
A．24 B．11.2 C．14 D．17.5
14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知有理数，，，满足，那么（ ）
A． B．
C． D．
15．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（相遇问题）从A地到B地，甲车需要行驶10小时，乙车需要行驶8小时．现在两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时甲车离两地中点还有30千米．A、B两地相距( )千米．
16．（24-25七年级上·全国·随堂练习）游泳池蓄水时，水位上升了，排水时，下降了．如果用“+”表示水位上升，用“－”表示水位下降，那么蓄水时，上升了，记作 ，平均每小时变化量列式计算为 ；排水时，下降了，记作 ，平均每小时变化量列式计算为 ．
17．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向而行，甲车每小时行驶85千米，经过7小时两车相遇，相遇时甲车比乙车多行驶了70千米，则乙车的速度为每小时 千米．
18．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)； (2)．
19．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）台风“山竹”于9月16日登陆沿海地带某市，为了了解路况该市某巡警开车在一条东西走向的人民南路上巡逻，他开始从岗亭出发，结束时停留在A处，规定向东走为正，本次巡逻行驶记录如下：．（单位：千米）
(1)结束时A处在岗亭何方，距岗亭多远
(2)若汽车每行驶1千米耗油0.8升，那么该汽车本次巡逻共耗油多少升
20．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值．
(1)如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与表示的数互为相反数：
①______；
②比较、、的大小________（用“”连接）；
(2)数轴上的点满足，求；
(3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，是否存在某一时刻，使得此刻？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由；
(4)数轴上的点表示有理数，已知且为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案．中小学教育资源及组卷应用平台
2.2 有理数的乘法与除法 同步讲义
知识点梳理01：有理数乘法法则
1. 正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数；负数乘负数，积为正数．积的绝对值等于各乘数的绝对值的积．
2. 两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0．
3. 有理数乘法法则也可以表示如下：
设a，b为正有理数，c为任意有理数，则
；
，；
，．
知识点梳理02：倒数的概念与求法
1. 倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数．即若a与b互为倒数，则．
2. 倒数的求法
类型 方法
真、假分数的倒数 将分子分母交换位置
非0整数的倒数 整数作分母，1作分子
小数的倒数 对于可以除尽的数的倒数，可以用1除以这个数求倒数
对于除不尽的数，转换为分数，再按照真、假分数求倒数的方法来进行
带分数的倒数 先把带分数化为假分数，然后将分子分母调换位置
知识点梳理03：有理数的乘法运算律
运算律 文字叙述 用字母表示
乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置,积不变
乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变
乘法分配率 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加
知识点梳理04：多个有理数相乘的符号法则
1. 几个不为0的数相乘，负的乘数的个数是
2. 几个数相乘，如果其中有乘数为0，那么积为0．
知识点梳理05：多个有理数相乘的符号法则
1. 有理数除法法则
（1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．即．
（2）两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商．若 ，则；若,则．
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0．
2. 有理数除法的两个法则要根据具体情况灵活选用
（1）对于除法的两个法则，在计算时可根据具体情况选用，一般在不能整除的情况下选用法则（1）比较简便，在能整除的情况下，选用法则（2）比较简便．
（2）如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选用法则（1)进行计算．
知识点梳理06：多个有理数相乘的符号法则
有理数的乘除混合运算通常是先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则，确定积的符号，最后求出结果．
知识点梳理07：多个有理数相乘的符号法则
有理数的四则运算：先算乘除，后算加减，有括号先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号），同级运算，按照从左往右的顺序进行计算．
考点1：两个有理数的乘法运算
【典例精讲】（24-25七年级上·河北秦皇岛·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【思路引导】此题考查有理数的计算法则，熟练掌握有理数加法、减法、乘法、除法法则是解题的关键，根据有理数的计算法则分别计算并判断．
【规范解答】解：A.，故原计算错误；
B.，故原计算错误；
C.，故原计算错误；
D.，故原计算正确；
故选：D．
【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·期中）观察下面的等式，…
(1)以此规律，第5个式子是________________；第n个式子是________________；
(2)把这四个等式两边分别相加，得，类比此方法，计算：
①；
②直接写出结果：________；
(3)根据以上探索经验，计算：．
【答案】(1)；
(2)①；②
(3)
【思路引导】本题考查的是裂项相消的计算技巧的应用，有理数的四则混合运算，理解题意是解本题的关键；
（1）观察已知等式再归纳即可解答；
（2）①结合（1）中规律把已知等式变形即可计算结果；②结合①的过程进行计算即可得结果；
（3）把运算先化为具有（2）中运算式的特点，再根据以上规律将原式变形即可计算．
【规范解答】（1）解：∵，
归纳可得：第5个式子是；第n个式子是；
故答案为：；
（2）解：①
；
②
，
故答案为：；
（3）解：
）
．
考点2：多个有理数的乘法运算
【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)11
(4)
【思路引导】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）将小数化为分数，再计算乘法 ；
（2）根据乘法交换律计算；
（3）根据乘法分配律计算；
（4）根据乘法分配律计算．
【规范解答】（1）解：；
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【变式训练】（24-25六年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式
，
将以上三个等式两边分别相加得：
．
【探索规律】
（1）猜想并写出：______．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
______；
【迁移运用】
（3）．
【答案】（1） （2） （3）
【思路引导】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键．
（1）根据题干所给方法求解即可；
（2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解；
（3）根据（1）中所给结论可进行求解．
【规范解答】（1）解：∵，
∴．
故答案为：．
（2）解：∵
；
（3）解：
．
考点3：有理数乘法的实际应用
【典例精讲】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）小车司机蔡师傅某天下午的营运全是在东西走向的公路上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）如下：，，，，，，，，，．
(1)蔡师傅这天最后到达目的地时，距离下午出车时的出发地多远？
(2)蔡师傅这天下午共行车多少千米？
(3)若每千米耗油，则这天下午蔡师傅用了多少升油？
【答案】(1)距离出发地以东32千米
(2)共行车72千米
(3)用了7.2升油
【思路引导】本题考查了正负数的意义、有理数的加减的应用、有理数的乘法的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）把所有行车记录的里程相加，再根据正数和负数的意义解答；
（2）求出所有行车里程的绝对值的和；
（3）将（2）中的结果乘以0.1即可．
【规范解答】（1）解：把，，，，，，，，，相加，得
（千米）．
答：距离下午出车时的出发地以东32千米．
（2）解：
（千米），
答：这天下午共行车72千米．
（3）解：（升）．
答：这天下午蔡师傅用了7.2升油．
【变式训练】（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）最近几年时间，我国的新能源汽车产销量大幅增加，李明家新换了一辆新能源汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程如下表所示．每天以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“0”．
第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天
路程/km 0
(1)李明家的新能源汽车这7天一共行驶了多少千米？
(2)已知新能源汽车每行驶耗电量为，每千瓦时电费为0.6元，则李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是多少元？
【答案】(1)
(2)36.72元
【思路引导】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键：
（1）用每天标准的路程乘以天数再与表格中的数据求和，计算即可；
（2）求出总耗电量，再乘以单价，进行求解即可．
【规范解答】（1）解：（km）．
答：李明家的新能源汽车这7天一共行驶了．
（2）（元）．
答：李明家的新能源汽车这7天的行驶所用电费是36.72元．
考点4：倒数
【典例精讲】（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）数轴上的点，，，分别表示，的倒数，0的相反数，．
(1)在如图所示的数轴上描出，，，四个点；
(2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？
【答案】(1)见解析
(2)B、C两点间的距离是，A、D两点间的距离是7
【思路引导】本题考查了有理数与数轴，倒数，相反数．
（1）先分别根据绝对值、倒数、相反数的概念得出点，，，表示的数，再根据数轴上数的特点，在数轴上表示数即可；
（2）根据两点间距离的求法直接求解即可．
【规范解答】（1）解：，，
的倒数为，0的相反数为0，
∴点，，，分别表示，，0，4，
∴点，，，四个点在数轴上表示如下：
（2）解：∵，
∴B、C两点间的距离是，
∵，
∴A、D两点间的距离是7．
【变式训练】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知四个有理数a、b、c、d在数轴上对应的点分别为A、B、C、D，a，b互为倒数，c，d互为相反数．
(1)根据已知条件回答：若，则 ；若，则 ；
(2)把下列各数在数轴上表示：，2，，0，．
(3)将（2）中各数按由小到大的顺序用“”连接起来．
【答案】(1)，
(2)见解析
(3)
【思路引导】此题主要考查了有理数大小比较，相反数，绝对值，倒数以及数轴．
（1）分别根据倒数和相反数的定义解答即可；
（2）根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数；
（3）根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可．
【规范解答】（1）解：a，b互为倒数，若，则，
c，d互为相反数，若，则，
故答案为：，；
（2）解：，，
如图所示：
（3）解：由（2）得，．
考点5：有理数乘法运算律
【典例精讲】（23-24七年级上·四川成都·开学考试）能简算的要简算．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）将原式化成，然后，即可求出结果；
（2）利用乘法分配律进行简便运算即可；
（3）利用乘法结合律进行简便计算即可；
（4）先将带分数化为假分数，然后把除号化为乘号，再利用乘法结合律进行计算即可；
（5）先将带分数化为假分数，再把除号化为乘号；
（6）将原式化成，再进行简便运算即可．
【规范解答】（1）解：
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【变式训练】（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）我们知道，与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．
数学老师布置了一道思考题“计算：，斌斌同学仔细思考了一番，用了一种不同的方法解决了这个问题．
斌斌的解法：原式的倒数为，所以．
(1)a的倒数为______；
(2)若a、b互为倒数，则______；
(3)请你运用斌斌的解法解答问题，计算：．
【答案】(1)；
(2)1；
(3)．
【思路引导】本题主要考查了倒数的定义和运用，有理数的四则混合运算等知识．
（1）利用倒数的定义即可得出答案；
（2）利用倒数的定义即可得出答案；
（3）求出原式的倒数，即可确定出原式的值．
【规范解答】（1）解：a的倒数为：
（2）解：若a、b互为倒数，则
（3）解：的倒数为：
∴
考点6：有理数的除法运算
【典例精讲】（23-24七年级上·江西上饶·期中）小丽同学做一道计算题的解题过程如下：
解：原式…………第一步
…………第二步
…………第三步
…………第四步
根据小丽的计算过程，回答下列问题：
(1)小丽在进行第一步时，运用了乘法的______律；
(2)她在计算中出现了错误，其中你认为在第______步开始出错了，因为 ；
(3)请你给出正确的解答过程．
【答案】(1)分配；
(2)二，除法没有分配律
(3)见解析．
【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化”．
（1）根据乘法分配律可得答案；
（2）除法没有分配律，据此可得答案；
（3）先利用乘法分配律展开，然后计算括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减即可．
【规范解答】（1）解：小丽在进行计算第一步时运用了乘法分配律，
故答案为：分配；
（2）解：她在第二步出错了，因为除法没有分配律，
故答案为：二；除法没有分配律；
（3）解：
．
【变式训练】．（24-25七年级上·河北承德·期中）如图，在一条直线上，从左到右依次有点A、B、C，其中．以这条直线为基础建立数轴，设点A、B、C所表示数的和是p．

(1)如果规定向右为正方向，以为单位长度建立数轴：
①若以B为原点O，则点C表示的数是______，点A表示的数为______；若以C为原点O，则点B表示的数是______，此时______；
②若改变原点O的位置，使原点O在点C的右边，且，求p的值；
③发现：观察p值的变化规律发现原点每向右移动，p值______（增大或减小）______；
(2)如果规定向右为正方向，若点A表示的数是，则点C表示的数是______，若折叠数轴，使点A与点C重合，则折点表示的数是______．
【答案】(1)①2，，，；②；③减小，3；
(2)5；2．
【思路引导】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，有理数的加减除法运算．根据数轴上两点之间的距离正确求出数轴上的点是解题的关键．
（1）①由题意知，，若以为原点，根据点表示的数是，点表示的数为，计算求解即可；若以为原点，根据点表示的数是，点表示的数为，此时，计算求解即可；
②由题意，根据点表示的数是，点表示的数是，点表示的数为，，计算求解即可；
③发现：当原点每向右移动1时，，则点表示的数是，点表示的数是，点表示的数为，即，由，进行作答即可；
（2）若点表示的数是，则点表示的数是，若折叠数轴，使点与点重合，则折点表示的数是，计算求解即可．
【规范解答】（1）解：①若以B为原点O，则点C表示的数是 2，点A表示的数为；
若以C为原点O，则点B表示的数是，此时；
②∵原点O在点C的右边，且，
∴点C表示的数是，
点B表示的数是，
点A表示的数是，
∴
．
③当原点向右移动1时，，
∴点表示的数是，点表示的数是，点表示的数为，
∴，
∵，
∴原点每向右移动1，值减小3，
∴p值的变化规律：原点每向右移动，每个数减少1，则p值减小．
（2）解：∵点A表示的数是，
∴点C表示的数是．
若折叠数轴，使点A与点C重合，
∴．
∴折点表示的数是 2．
考点7：有理数除法的应用
【典例精讲】（24-25七年级上·山西长治·开学考试）中国铁路的发展见证了新中国的沧桑巨变，高铁已成为中国的一张名片．由我国自主研发的“复兴号”高铁的速度比“和谐号”动车组的速度快，“和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米．“复兴号”与“和谐号”高铁每小时各行驶多少千米？
【答案】“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米．
【思路引导】本题考查有理数的混合运算，关键是列出代数式．“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米．先根据和谐号”动车组每小时比“复兴号”高铁少行100千米求出“和谐号”的速度，再求“复兴号”的速度．
【规范解答】解：“和谐号”的速度为：（千米/小时）
“复兴号”的速度为：（千米/小时）．
答：“和谐号”动车每小时行驶250千米，“复兴号”动车每小时行驶350千米．
【变式训练】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）随着科技的进步，机器人的种类日益繁多，应用场景更加广泛．现有一机器人在一条东西走向的流水线上来回走动调试设备、检测温度等．下表是某一段时间内机器人从工作岗位出发的行走记录（规定向东为正，向西为负，单位：）
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
(1)五次行走结束后机器人停在何处？
(2)若该机器人每千米耗电度，在这段行走过程中机器人共耗电多少度？
【答案】(1)的西面 2 米处
(2)一共耗电度
【思路引导】本题主要考查了正负数的意义，有理数加减法的应用及有理数乘除法的应用．
（1）将表格中所给的有理数相加，即可解答；
（2）将表格中所给数据的绝对值相加再即可解决问题．
【规范解答】（1）解：，
答：的西面 2 米处；
（2）解：，
（度）．
答： 一共耗电 0.00296 度．
考点8：有理数乘除混合运算
【典例精讲】（24-25七年级上·江西宜春·阶段练习）阅读下列解题过程． 计算 ：
解：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步） ．
回答：
(1)上面解答过程有错误，是第 步，错误的原因是 ；
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②④，②的错误原因是同级运算没从左至右运算；④的错误原因是两个负数相除结果为正
(2)见解析
【思路引导】本题考查有理数的乘除法混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
（1）根据有理数的乘除法混合运算法则，分步查找错误即可；
（2）根据有理数的乘除法混合运算法则进行计算即可得出结果．
【规范解答】（1）解：②乘法和除法的混合运算，同级运算没从左至右运算，计算步骤不能颠倒，④负数和负数相除结果为正数，因此②④错误，
故答案为：②④；②的错误原因是同级运算没从左至右运算；④的错误原因是两个负数相除结果为正
（2）解：原式
．
【变式训练】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图1，M，N为一把不完整刻度尺有刻度一侧的两端，现将其紧贴数轴摆放，已知刻度尺上“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，且a，b两数满足．
(1)_________，_________；
(2)求图1中刻度“3厘米”所对应数轴上的数是多少？
(3)若刻度尺右端M的刻度为“厘米”，将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，请确定这把刻度尺有刻度一侧的长度为多少厘米？并说明理由．
【答案】(1)；2
(2)
(3)4厘米，理由见解析
【思路引导】本题考查了数轴与刻度尺，绝对值的非负性质，有理数运算的应用等知识．
（1）利用绝对值和平方的非负性质，即可得出a和b的值；
（2）先根据题意求出a，b两点之间的距离以及对应刻度尺上的距离，进而得出3厘米对应的数；
（3）设N表示的数为：n，先求出n的值，再求出M表示的数，从而求得出上的表示的单位长长，然后由“厘米”，“1厘米”两个刻度分别对应着数轴上表示数a，b的两点，可求得数轴上一个单位长度表示的实际长度，进而可求出刻度尺有刻度一侧的长度．
【规范解答】（1）解：，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
∴a，b两数之间的距离为，对应刻度尺上的距离为：厘米，
刻度“3厘米”所对应数轴上的数是；
（3）解：这把刻度尺有刻度一侧的长度为厘米，理由如下，
设移动前N表示的数为：n，
∵将刻度尺沿数轴向右移动6个单位长度，此时，刻度尺的左端点N恰好与数轴上表示数1的点重合，
，
∵，a对应的刻度为2.5厘米，b对应的刻度为1厘米，
∴数轴上一个单位长度表示的实际长度为：（厘米），
∵移动前M的刻度为“厘米”，b表示的数对应的刻度为“1厘米”
∴移动前M表示的数为：，
∴在数轴上表示的单位长度为（个单位长度），
∴这把刻度尺有刻度一侧的长度为：（厘米），
答：这把刻度尺有刻度一侧的长度为厘米．
考点9：有理数乘除中的简便运算
【典例精讲】（24-25七年级上·河北保定·开学考试）能简便计算的用简便方法计算．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)100
(4)
【思路引导】本题考查了简便计算，解题的关键是掌握相关运算律．
（1）把2024写成，然后根据乘法的分配律计算即可；
（2）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可；
（3）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可；
（4）根据加法的交换律和结合律，并逆用乘法的分配律计算即可．
【规范解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
（4）解∶
．
【变式训练】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）计算题
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序．
（1）根据有理数的加减法可以解答本题；
（2）根据有理数的加减法可以解答本题；
（3）先确定运算结果的符号，将带分数转化成假分数，根据有理数的乘除法可以解答本题；
（4）根据乘法分配律计算．
【规范解答】（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
考点10：有理数四则混合运算
【典例精讲】（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）计算下面各题．（能简算的要简算．）
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
（1）先算除法，再算加减即可；
（2）利用乘法分配律进行计算即可；
（3）先把除法变成乘法，再利用乘法分配律进行计算即可．
【规范解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【变式训练】（24-25七年级上·湖南永州·开学考试）计算下面各题，能简算的要简算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【思路引导】本题考查了运算定律与简便运算，四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律进行简便计算．
（1）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法；
（2）将原式变形为，再根据乘法分配律逆运算法则进行计算；
（3）将原式变形为，再根据乘法分配律逆运算法则进行计算，最后计算减法即可；
（4）将原式变形为，再根据乘法分配律逆运算法则进行计算．
【规范解答】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
考点11：有理数四则混合运算的实际应用
【典例精讲】（24-25七年级上·陕西咸阳·期末）章明同学上一周内晨跑的时长如表所示（单位：分钟，以分钟为基准，超过分钟的部分记为“”，不足分钟的部分记为“”）：
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
(1)他上一周内晨跑时间最长的一天比最短的一天多跑了几分钟？
(2)若他晨跑的平均速度为每分钟千米，这七天他共跑了多少千米？
【答案】(1)分钟
(2)千米
【思路引导】（）用记录值的最大值减去记录值的最小值即可求解；
（）列式求出七天共跑的时长，再乘以平均速度即可求解；
本题考查了有理数减法的实际应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出算式是解题的关键．
【规范解答】（1）解：分钟，
答：他上一周内晨跑时间最长的一天比最短的一天多跑了分钟；
（2）解：分钟，
千米，
答：这七天他共跑了千米．
【变式训练】．（24-25七年级上·广东江门·阶段练习）“滴滴”司机李师傅周日上午在南北方向的江门大道上营运，共连续运载十批乘客，若规定向北为正，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）
(1)将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的南面还是北面？距离出发地多少千米？
(2)若汽车每千米耗油升，则汽车共耗油多少升？
(3)若“滴滴”的收费标准为：起步价11元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元．则李师傅在上午一共收入多少元？
【答案】(1)将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在第一批乘客出发地的北面，距离出发地是5千米．
(2)升
(3)元
【思路引导】本题考查了正数和负数在实际问题中的应用、有理数四则混合运算的应用等知识点，明确正负数的含义及题中的数量关系是解题的关键．
（1）把记录的数字相加即可得到结果，结果为正则在北面，结果为负则在南面，据此即可解答；
（2）把记录的数字的绝对值相加，再乘以，即可得答案；
（3）先计算起步费总额，再将超过3千米部分的路程相加，所得的和乘以2，将起步费加上超过3千米部分的费用，即可得答案．
【规范解答】（1）解：∵，
∴将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在第一批乘客出发地的北面，距离出发地是5千米．
（2）解：
千米，
∴升，
答：汽车共耗油升．
（3）解：∵共营运十批乘客，
∴起步费为：（元），
超过3千米部分的收费总额为：（元），
∴（元），
答：李师傅在上午一共收入元．
考点12：根据点在数轴的位置判断式子的正负
【典例精讲】（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，其中a与c互为相反数．
(1)填空：=______，=______；
(2)用“>”或“<”填空：______0，______0，______0；
(3)在数轴上标出，比较的大小（按从小到大的顺序排列）．
【答案】(1)0，
(2)
(3)在数轴上表示见解析，
【思路引导】本题考查数轴、绝对值，掌握数轴上数的特点和有理数的运算法则是解题的关键．
（1）根据相反数的定义及有理数的除法计算即可；
（2）根据数轴上数的特点和有理数的运算法则判断并计算即可；
（3）先在数轴上标出，根据数轴上的数比较大小即可．
【规范解答】（1）解：、互为相反数，则，
，
．
故答案为：0，；
（2）解：，且，
，，，
故答案为：，，；
（3）解：在数轴上标出如图所示：
．
【变式训练】（23-24七年级上·广东揭阳·期中）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示．
(1)试判断式子的符号；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】（1）由a，b，c三个数在数轴上的位置得出，，得出，，即可得出结果；
（2）由绝对值的意义求出各个绝对值，再合并即可．
【规范解答】（1）根据a，b，c三个数在数轴上的位置得：
，，
∴，，
∴；
（2）
．
【考点剖析】本题考查了数轴和有理数的关系、绝对值的意义、整式的加减；熟练掌握数轴和有理数的关系、绝对值的意义，并能进行推理计算是解决问题的关键．
考点13：数轴上的翻折
【典例精讲】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（ ）
A．我 B．爱 C．数 D．学
【答案】C
【思路引导】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键．
根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字．
【规范解答】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，
，
所以数字对应“数”，
故选：C．
【变式训练】（2025·河北秦皇岛·一模）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
(1)若2表示的点与表示的点重合，则表示的点与哪个数表示的点重合；
(2)若表示的点与2表示的点重合，回答以下问题：
①1表示的点与哪个数表示的点重合；
②若数轴上、两点之间的距离为5（在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数是多少？
【答案】(1)3
(2)①，②、两点表示的数分别是、．
【思路引导】
本题考查了数轴，主要利用了数轴的对称性，读懂题目信息，分别求出对称中心是解题的关键．
（1）先根据数轴判断出对称中心，然后解答即可；
（2）先根据数轴判断出对称中心，①根据对称中心列式求解即可；
②求出的一半，再根据对称中心分别列式计算即可得解．
【规范解答】（1）
解：（1）表示的点与表示的点重合，
对称中心为0，
表示的点与数3表示的点重合；
（2）表示的点与2表示的点重合，
对称中心为，
① ，
表示的点与数表示的点重合；
②，两点之间的距离为5，
的一半为，
在的左侧，
点表示，
点表示．
、两点表示的数分别是、．
1．（2023·四川达州·中考真题）的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
【答案】C
【思路引导】本题考查的是倒数的含义，熟记倒数的定义是解本题的关键．
乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义可得答案．
【规范解答】解：的倒数是．
故选：C．
2．（2023·北京·中考真题）实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】根据在数轴上的位置，结合有理数的乘法、加法，绝对值的意义可得答案．
【规范解答】解：由题意得：，
由题意可得，，所以A错误，
由，则，所以B错误，
由，则，即 所以C正确，
∵，，∴所以D错误，
故选择：C．
【考点剖析】本题考查有理数的大小比较，有理数的加法与乘法结果的符号的确定，绝对值的大小，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2023·四川甘孜·中考真题）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【思路引导】本题考查了倒数的概念，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【规范解答】解：的倒数是．
故选：D．
4．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）的倒数是（ ）
A． B．2022 C． D．
【答案】C
【思路引导】本题考查的是倒数，解答本题的关键是熟练掌握倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数．
根据倒数的定义依次分析即可得到结果．
【规范解答】解：，
的倒数是，
故答案为：C．
5．（2025·四川自贡·中考真题）若，则内的数字是（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【思路引导】本题考查的是有理数的乘法运算，根据可得答案.
【规范解答】解：∵，
∴则内的数字是，
故选：A
基础夯实
1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品问题）妮妮去文具店购买修正带，某品牌的修正带有两款，普通版20米长售价5.4元，加长版30米长售价7.5元，（ ）更优惠．
A．普通版 B．加长版 C．两者相同 D．不能比较
【答案】B
【思路引导】本题主要考查了小数除法的实际应用以及小数大小的比较，明确单价、数量和总价之间的关系是解答本题的关键．根据总价数量单价，分别求出两款修正带每米的钱数，再进行比较即可判定．
【规范解答】解：普通版修正带每米的钱数为：
（元），
加长版修正带每米的钱数为：
（元），
，
所以，加长版更优惠．
故选：B．
2．（24-25七年级上·广西梧州·阶段练习）有理数在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【思路引导】本题考查了数轴，有理数的乘除法，掌握两个数相除（除数不能为零，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键．
根据数轴可以判断，再结合有理数的加减乘除法则从而可以解答本题．
【规范解答】解：因为
A、因为，所以，故A符合题意；
B、因为，所以B不符合题意；
C、因为，所以，故C不符合题意；
D、因为，所以，故D不符合题意.
故选：A.
3．（24-25七年级上·河北邢台·期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【思路引导】本题考查了有理数的加法，乘法，乘法和除法混合运算，乘法分配律，根据相关运算法则计算判断即可．
【规范解答】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、
，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
4．（25-26七年级上·全国·课后作业）记盈利额为正数，用正数或负数填空：
（1）小商店平均每天盈利250元，一个月（按30天计算）的利润是 元；
（2）小商店一星期的利润是1400元，平均每天的利润是 元；
（3）小商店一星期共亏损840元，平均每天的利润是 元．
【答案】 7500 200
【思路引导】本题主要考查了用有理数的乘除法解决实际问题，弄清题意是解决此类题目的关键．
利用有理数的乘除法解决实际问题，弄清题意，列出式子求解即可．
【规范解答】解：（1）因为一个月有30天，每天盈利250元，则一个月的利润是：（元），
故答案为：7500；
（2）因为一星期有7天，小商店一星期的利润是1400元，则平均每天的利润是：（元），
故答案为：200；
（3）因为一星期有7天，小商店一星期共亏损840元，即小商店一星期的利润是元，
则平均每天的利润是：（元），
故答案为：．
故答案为：7500，200，．
5．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（牛吃草变形应用）在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果他每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶后到达地面．从站台到地面有级( )台阶．
【答案】60
【思路引导】把自动扶梯问题转化为牛吃草问题，先根据两种迈台阶情况算出时间，再通过台阶数差和时间差求扶梯速度，最后求总台阶数 ．
本题主要考查牛吃草问题的变形应用，熟练掌握将实际问题转化为牛吃草模型，通过计算时间、速度来求解总量是解题的关键．
【规范解答】解：∵ 每秒迈1级，走20级，所用时间为秒；每秒迈2级，走30级，所用时间为秒，
∴扶梯速度 级/秒，
∴当每秒迈1级时，扶梯走了级，总台阶数为级，
故答案为： ．
6．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）小强和小丽去迷宫游玩，他们发现了一个秘密机关，机关的门口是一些写着整数的数字按钮，此时传来一个机器人的声音：“按两个数，使积等于，两个数不分顺序．”则符合要求的按法共有 种．
【答案】6
【思路引导】根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘可分解出积为的因数，进而解题即可．
【规范解答】解：∵，；，；，．
∴符合要求的按法共有6种．
故答案为：6
【考点剖析】本题主要考查了有理数乘法法则的实际运用，根据题意找出相关因数是关键．
7．（24-25七年级上·河南商丘·期末）的倒数与的相反数的和是 ．
【答案】0
【思路引导】本题主要考查倒数及相反数的求法，可根据倒数及相反数的求法，求得的倒数及的相反数再求和即可．
【规范解答】解：的倒数为，的相反数为，
而，
故答案为：0．
8．（24-25七年级上·全国·课后作业）星期天，李老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行，到陈家峪，下午她又向西行，回到家中（学校、陈家峪、李老师家在同一直线上），若规定向东的方向为正方向．
(1)用有理数表示李老师两次所行的路程；
(2)如果汽车行驶耗油，计算这天汽车共耗油多少升？
【答案】(1)第一次所行的路程为，第二次所行的路程为；
(2)
【思路引导】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）向东的方向为正方向，那么向东走用正数表示，向西走用负数表示，据此求解即可；
（2）求出总路程，再乘以每千米的油耗即可得到答案．
【规范解答】（1）解：∵李老师先向东行到达陈家峪，再向西行，回到家中，且向东的方向为正方向，
∴第一次所行的路程为，第二次所行的路程为；
（2）解：
，
答：这天汽车共耗油．
9．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)11
(2)
(3)0
【思路引导】本题考查了有理数的乘法和加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘法，再计算加法；
（2）根据有理数乘法运算法则计算即可；
（3）根据有理数乘法运算法则计算即可．
【规范解答】（1）解：原式．
（2）解：原式．
（3）解：原式．
10．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（商品经济）秋冬季节来临，我国很多地方出现了雾霾天气，口罩成为了热销品．下面是小商品批发市场口罩批发信息．张老板从批发市场共批发口罩12捆，前2天以每只4元的价格卖出全部口罩的，第3天又以每只3元的价格卖出余下所有的口罩．除去运输、人员工资等支出320元，张老板一共赚多少元？
口罩批发信息 1.10捆起批（每捆口罩50只） 2．每捆批发价100元 3．超过10捆，超过部分每捆优惠
【答案】张老板一共赚了元．
【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，根据利润总销售额总成本求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【规范解答】解：（元），
（只），
（元），
（元），
答：张老板一共赚了元．
培优拔高
11．（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ）
①；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【思路引导】此题考查了数轴，及有理数运算法则，弄清数轴上点表示数的特征是解本题的关键．
根据数轴上点的位置得出两个数的大小关系、正负情况、绝对值大小情况，再依据有理数的乘法法则、加法法则、去绝对值法则、除法法则判断即可求解．
【规范解答】解：根据数轴上点的位置得：，
，，，
即①②④正确，③错误，
∴结论中正确的个数是3．
故选：C．
12．（24-25七年级上·河北沧州·期末）有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，把运算符号“”填入“□”中，使运算结果最大，应该填入的符号是（ ）
A．+ B． C．× D．÷
【答案】B
【思路引导】本题考查了数轴，有理数的四则运算，根据数轴得到，再根据有理数的四则运算法则判断即可．
【规范解答】解：由数轴可得，
∴，，，，
∴使运算结果最大，应该填入的符号是，
故选：B．
13．（24-25七年级上·陕西咸阳·开学考试）开学前，甲、乙、丙三人拿出同样多的钱，合伙购买同种规格的文件夹．买来后，甲、乙分别比丙多拿了5、7个文件夹，最后结算时，甲付给丙8元，乙应付给丙（ ）元
A．24 B．11.2 C．14 D．17.5
【答案】A
【思路引导】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，由条件可知三个人出了同样的钱买所有商品，所以三人在丙拿的件数以外还有5件商品的钱是丙付的，甲多拿了丙1件，乙多拿了丙的3件，所以必须还丙的钱，按比例可推出结果．
【规范解答】解：，甲多拿了丙1件，乙多拿了丙3件．
∴一件是8元．
(元)．
所以，乙付给丙24元．
故选：A．
14．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知有理数，，，满足，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【思路引导】本题考查有理数的除法和有理数的大小比较．根据已知条件可得，，，，．再依次对各选项进行分析判断即可．解题的关键是掌握：四个正数比较大小，分子相同，分母越大，则分数越小．
【规范解答】解：∵有理数，，，满足，
∴，，，，
∵，
∴，故选项A符合题意，选项B不符合题意；
∵，，，，
∴，，
，，
∵，
∴，故选项C、D不符合题意．
故选：A．
15．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（相遇问题）从A地到B地，甲车需要行驶10小时，乙车需要行驶8小时．现在两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时甲车离两地中点还有30千米．A、B两地相距( )千米．
【答案】540
【思路引导】此题主要考查了相遇应用题，根据题意，甲车比乙车慢，相遇时甲车未到中点，乙车已过中点，可知乙车比甲车多行驶的路程为 千米，再计算出两车行驶的路程差占总路程的分率，用60千米除以这个分率即可求得总路程．
【规范解答】解：
千米，
答：A、B两地相距540千米．
故答案为：540．
16．（24-25七年级上·全国·随堂练习）游泳池蓄水时，水位上升了，排水时，下降了．如果用“+”表示水位上升，用“－”表示水位下降，那么蓄水时，上升了，记作 ，平均每小时变化量列式计算为 ；排水时，下降了，记作 ，平均每小时变化量列式计算为 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了正数和负数的意义．有理数的除法，根据题意分析得出变化量，再结合正负数的意义是解题的关键．
根据“+”表示水位上升，用“－”表示水位下降，即可表示出蓄水和排水，根据“平均变化量总变化量时间”，可得平均变化量；
【规范解答】本题考查正负数的表示及平均变化量的计算，根据正负数的定义表示水位变化，再用变化量除以时间得到平均变化量．
因为用“”表示水位上升，蓄水时上升了，
所以记作 ．
平均每小时变化量列式计算为．
用“”表示水位下降，排水时下降了，
所以记作．
同理，平均每小时变化量列式计算为．
故答案为：；；； ．
17．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向而行，甲车每小时行驶85千米，经过7小时两车相遇，相遇时甲车比乙车多行驶了70千米，则乙车的速度为每小时 千米．
【答案】
【思路引导】本题考查相遇问题，经过个小时两车相遇，相遇时甲车比乙车多行驶了千米可求出甲车每小时比乙车多行驶度多少千米，由此即可求出乙车的速度．
【规范解答】解：(千米/小时)，
(千米/小时)，
故答案为：．
18．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】该题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握相关运算法则．
（1）根据乘法分配律解答即可；
（2）利用有理数混合运算法则解答即可；
【规范解答】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．
19．（24-25七年级上·湖南湘西·阶段练习）台风“山竹”于9月16日登陆沿海地带某市，为了了解路况该市某巡警开车在一条东西走向的人民南路上巡逻，他开始从岗亭出发，结束时停留在A处，规定向东走为正，本次巡逻行驶记录如下：．（单位：千米）
(1)结束时A处在岗亭何方，距岗亭多远
(2)若汽车每行驶1千米耗油0.8升，那么该汽车本次巡逻共耗油多少升
【答案】(1)结束时A处在岗亭东方11千米处
(2)本次巡逻共耗油29.6升
【思路引导】本题主要考查了有理数加减混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．
（1）根据题意列式计算即可；
（2）先求出汽车通过的路程，然后再求出耗油量即可．
【规范解答】（1）解：（千米）
答：A处在岗亭东方，距岗亭11千米．
（2）解：（千米），
（升），
答：该汽车本次巡逻共耗油升．
20．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）在数轴上，把原点记作点，表示数1的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点，点重合），将与的长度之比称为点的特征值，记作【】，即，例如：当点在上且时，点的特征值．
(1)如图，点，，为数轴上三个点，点表示的数是，点与表示的数互为相反数：
①______；
②比较、、的大小________（用“”连接）；
(2)数轴上的点满足，求；
(3)若数轴上有一点，初始位置表示的数是，现在点以每秒2个单位的速度沿着数轴向右运动，是否存在某一时刻，使得此刻？若存在请求出的值，若不存在，请说明理由；
(4)数轴上的点表示有理数，已知且为整数，则所有满足条件的的倒数之和是多少？请直接写出答案．
【答案】(1)；【】【】【】
(2)或
(3)或
(4)198
【思路引导】本题考查了新定义、数轴上的点、相反数以及有理数的计算，解题的关键在于理解题意．
（1）根据相反数的性质和新定义计算即可；
（2）根据新定义计算即可；
（3）用代数式表示运动的长度，代入求值即可；
（4）根据新定义，用不同的【】求出的值，找到规律，计算即可．
【规范解答】（1）解：①表示的数是，与互为相反数
表示的数是
【】
②同理，
【】
由图可知：
【】
【】【】【】；
（2）解：
或
【】或【】；
（3）解：存在，当或时，【】
点以每秒个单位的速度沿着数轴向右运动
运动的距离为：
【】
或
解得：或；
（4）解：【】
【】
【】且【】为整数
【】为：
且为的整数倍
，
当【】时，或（舍）
此时：
当【】时，或
此时：或
当【】时，或
此时：或
以此类推，所有满足条件的的倒数之和为：.

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