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2.1 有理数的加减与减法 同步讲义
知识点梳理01：有理数加法法则
同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和
异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差
互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则
一个数与0相加 仍得这个数
知识点梳理02：有理数加法运算律
1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：．
2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：．
知识点梳理03：有理数减法法则
1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ．
2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算．
3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号．
知识点梳理04：有理数加减混合运算
1. 有理数加减混合运算
（1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算．
（2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．
2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24．
3. 有理数加减混合运算的一般步骤
方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法
（1）减法变加法: （1）省略括号
（2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合
（3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算
考点1：有理数加法运算
【典例精讲】（24-25七年级上·河北衡水·阶段练习）阅读下列内容，并完成相关问题：
嘉嘉说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算”然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；
；；
；．
琪琪看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”．
聪明的你也明白了吗？
(1)归纳（加乘）运算的运算法则：同号得________、异号得_________、并把_________相加．
特别地，0和任何数进行（加乘)运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的__________；
(2)计算：．
【答案】(1)正；负；绝对值；绝对值
(2)
【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）根据所给的算式进行分析即可；
（2）根据所给的运算法则进行运算即可．
【规范解答】（1）解：由题意可得：（加乘）运算的运算法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值；
故答案为：正；负；绝对值；绝对值．
（2）解：
．
【变式训练】（24-25七年级上·河南安阳·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为 ．
【答案】3
【思路引导】本题考查了数轴上的有理数的特点，有理数的加法运算．找出和两点之间的整数，然后计算它们的和，即可解题．
【规范解答】解：数轴上在和之间的所有整数为，，，，，，
则所有整数的和为，
故答案为：3．
考点2：有理数加法中的符号问题
【典例精讲】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，数轴上的点A、分别对应实数、，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【思路引导】本题考查数轴，有理数的加减运算，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．先根据a、b两点在数轴上的位置确定出a，b，符号及大小，再根据有理数的加减运算法则逐项进行解答即可．
【规范解答】解：由数轴可知，，，
，
、，，
，故本选项不符合题意；
、，
，故本选项不符合题意；
、，
，故本选项符合题意；
、，
，故本选项不符合题意；
故选：．
【变式训练】（2023·贵州贵阳·一模）点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B表示的数分别为a，b，且满足，则下列选项中原点位置正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【思路引导】根据数轴可得，分两种情况进行讨论：当a、b同号时，当a、b异号时．
【规范解答】解：根据数轴可得，
当a、b同号时：
∵，
∴，故A正确，符合题意；C、D不正确，不符合题意；
当a、b异号时：
∵，，
∴，故B不正确，不符合题意；
故选：A．
【考点剖析】本题主要考查了根据数轴比较大小，有理数的加法法则，解题的关键是掌握用数轴上的点表示的数，右边>左边；同号两数相加，取它们相同的符号，异号两数相加，取绝对值较大数的符号．
考点3：有理数加法在生活中的应用
【典例精讲】（24-25七年级上·广东·阶段练习）某校七年级利用劳动实践课开展创意点心制作比赛活动．小龙制作了一盒精美点心（共计6枚），现在他把6枚点心质量称重后统计列表如下（单位：克）．
第n枚 1 2 3 4 5 6
质量 68.4 71.3 70.7 68.6 69.1 72
(1)为了简化运算，小龙依据比赛的标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），则比赛的标准质量为________克，请你把表格补充完整；
第n枚 1 2 3 4 5 6
质量
(2)按照比赛说明上标记，一盒点心的总质量合格标准为克，那么，小龙制作的这盒点心的实际总质量是合格的，你知道为什么吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)70，1.3，，2；
(2)见解析．
【思路引导】本题考查了正数与负数、有理数的运算；正确列出算式并掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据第3枚的质量及与标准质量的差求出标准质量的克数，再依次求出其他枚与标准质量的差即可；
（2）计算点心的总质量，判断是否在克的范围内，即可求解．
【规范解答】（1）解：由题意可得标准质量为（克），
则第枚的质量为；
第4枚的质量为；
第6枚的质量为．
（2），，所以一盒点心的总质量合格标准为克．
克．
因为，所以这盒点心的总质量是合格的．
【变式训练】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：”．
(1)这段文字表示这袋面粉的重量在________和________之间．
(2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下：
袋号 1 2 3 4 5
质量 803 798 800 794 805
请你结合（1）和上表中的数据，以为标准，超出标准记为正，不足的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋．
【答案】(1)795，805
(2)袋分别标记为：，，，，，1．
【思路引导】本题考查正负数在实际质量误差问题中的应用．解题关键是理解“”所表示的合格质量范围，通过计算各袋面粉与标准质量的差值并用正负数表示，进而判断是否合格．
（1）理解“”在“”中的含义，即表示在基础上可上下浮动，分别通过计算下限，计算上限，从而确定面粉重量范围．
（2）以为标准，用每袋面粉实际质量减去得到差值，差值为正记为“” 、为负记为“” ，表示出各袋质量情况；再依据第一问得出的合格范围，判断超出此范围的袋数．
【规范解答】（1）(克)
(克)
答：这段文字表示这袋面粉的重量在和之间．
故答案为：795；805．
（2）1号袋：，1号袋面粉的质量是，1号袋面粉合格．
2号袋：，2号袋面粉的质量是，2号袋面粉合格．
3号袋：，3号袋面粉的质量是，3号袋面粉合格．
4号袋：，4号袋面粉的质量是，4号袋面粉不合格．
5号袋：，5号袋面粉的质量是，5号袋面粉合格．
所以，这5袋面粉中不合格的有1袋．
故答案为：1．
考点4：有理数加法运算律
【典例精讲】（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）计算：
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题考查了有理数加减中的简便运算，掌握有理数的加减运算法则是解题关键．
（1）利用有理数加法的交换律计算即可得；
（2）先去括号、将分数化成小数，再利用有理数加法的交换律与结合律计算即可得．
【规范解答】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【变式训练】（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）下面是小强同学计算的过程，请阅读并完成相应任务．
解：
，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
(1)第一步的依据是 （填运算律），第二步的依据是 （填运算律）
(2)第 步开始出现错误．
(3)写出正确的解答过程．
【答案】(1)加法交换律，加法的结合律；
(2)三；
(3)详见解析
【思路引导】（）根据材料提示的计算方法，可得第一步运用是的加法交换律，第二步是加法的结合律；
（）根据有理数的减法运算可得第三步出错了；
（）根据有理数的加减运算即可求解；
本题主要考查了有理数的加减运算法则，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【规范解答】（1）解：根据材料提示的运算方法可得，第一步运用是的加法交换律，第二步是加法的结合律，
故答案为：加法交换律，加法的结合律；
（2）解：第二步中，，第三步中为，
∴第三步开始出错，
故答案为：三；
（3）解：
，
，
，
．
考点5：有理数的减法运算
【典例精讲】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）规定：，，例如，．
（1） ；
（2）的最小值是 ．
【答案】 4 1
【思路引导】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键：
（1）根据新运算的法则，求出，再进行减法运算即可；
（2）根据新运算的法则，求出，再根据绝对值的意义，进行求解即可．
【规范解答】解：（1）；
故答案为：4；
（2），
由绝对值的意义，可知：表示数轴上表示数的点到数的距离之和，
∴当在之间（包括两个端点）时，的值最小为：；
故答案为：1．
【变式训练】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）阅读下列材料，回答问题．
经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：

(1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离．
(2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．
【答案】(1)，
(2)，
(3)整数x有，，0，1，2．
【思路引导】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识，掌握两点间的距离公式，是解题的关键．
（1）根据两点间的距离公式，进行作答即可；
（2）根据两点间的距离公式，进行作答即可；
（3）根据两点间的距离，由可得到x在到2之间，即可得出结论．
【规范解答】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离；
（2）解：表示数轴上有理数x所对应的点到3所对应的点之间的距离；
表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离；
（3）解：表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4，
∵到2之间的距离为4，
∴x在到2之间，
∴这样的整数x有，，0，1，2．
考点6：有理数减法的实际应用
【典例精讲】（24-25七年级上·重庆·开学考试）甲从A地出发，先后经过B、C两地，最终到达M地；然后从M地原路返回至A地．甲在从A地去往M地的路上一开始匀速行驶，在BC两地之间某处，甲提速了，并且以后一直保持着这个速度直至返回到A地．已知在从A地去M地的过程中，A地到B地、B地到C地、C地到M地都用时12分钟；返程的路上，从C地到B地用时10分钟．如果甲再次以最开始的速度出发，在相同的地点加速，但这回加速，请问，他从A地出发到M地再返回A地需要多少分钟？
【答案】54分钟
【思路引导】本题考查行程问题，理解题意是解题的关键．
设加速点为D，列比例式有，段往返时间差2分钟，，
段原速行驶6分钟，加速行驶4分钟，段加速行驶6分钟，则
则加速后，去时
返回时即可解答．
【规范解答】解：如图，设加速点为D，列比例式有，段往返时间差2分钟，
，
∴段原速行驶6分钟，加速行驶4分钟，段加速行驶6分钟，则
，
∴．
则加速后，去时
返回时
∴（分钟）．
答：他从A地出发到M地再返回A地需要54分钟．
【变式训练】（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化
注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低．
(1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米．
(2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表．
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化
(3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？
【答案】(1)五；39
(2)见解析
(3)米，下降了，下降了0.8米
【思路引导】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键：
（1）找到表格中数据的最大数据，进行判断和求解即可；
（2）根据题意，列出算式，填表即可；
（3）利用周一的实际水位减去变化量求出上一星期日的水位，求出图（2）表格中数据的和，进行判断即可．
【规范解答】（1）解：由表格可知，该水库这星期水位最高的一天是星期五，这一天的实际水位是米
（2），，，
填表如下：
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化
（3）上一星期日的水位为（米）．
（米），
所以与上一星期日相比，这一星期日该水库水位是下降了，下降了0.8米．
考点7：有理数的加减混合运算
【典例精讲】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【思路引导】此题考查有理数加减法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键：
（1）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加法即可；
（2）先去括号，再计算同分母分数，最后计算加减法．
【规范解答】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【变式训练】（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)15；
(2)；
(3)；
(4)．
【思路引导】本题考查了有理数加减混合运算，绝对值，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键．
（1）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可；
（2）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可；
（3）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可；
（4）先把减法运算变为加法运算，再根据有理数的加法法则计算即可．
【规范解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
考点8：有理数加减中的简便运算
【典例精讲】（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题考查有理数加减混合运算，掌握算理是解题关键．
（1）先转化为加法运算，按照先同号相加进行计算；
（2）能通分的分数先相加，再进行计算．
【规范解答】（1）解：
；
（2）
．
【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·开学考试）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程：
运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1 ； 例2 ．
请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【思路引导】本题考出来简便运算，解题的关键是∶
（1）仿照例1求解即可；
（2）仿照例2求解即可．
【规范解答】（1）解：
；
（2）解：
．
考点9：有理数加减混合运算的应用
【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）．
（单位：元）
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
(1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
(2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【答案】(1)本周内最高价是每股元，最低价是每股元
(2)赚了元
【思路引导】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键．
（1）根据正数和负数的实际意义求得每天的实际股价，从而得出答案；
（2）结合（1）中所求及已知条件列式计算即可．
【规范解答】（1）解：星期一的股价：元，
星期二的股价：元，
星期三的股价：元，
星期四的股价：元，
星期五的股价：元，
则本周内最高价是每股元，最低价是每股元；
（2）
元，
即他的收益情况为赚了元．
【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）社会热点情境国潮国风 随着国潮国风的兴起，无论是古镇身着汉服的翩翩少年，还是热衷于非遗文创、国粹国货的青年，都充分彰显了中华优秀传统文化与时俱进的光彩与魅力．下面是某文创店一周的销售盈亏情况．（盈利为正，亏损为负，单位：元）
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
若该周销量总计元，表中的周六的盈亏数据不小心用墨水污染了，看不清楚，请你算出周六的盈亏数，并说明该周是盈还是亏？盈亏多少元？（注：盈余为正，亏损为负）
【答案】星期六盈利了元，该周是盈利，盈利元．
【思路引导】本题考查了有理数的加减运算的实际应用，正负数的实际应用，利用有理数的加减运算可求出周六的盈亏数，再根据正负数的意义可判断该周是盈亏情况，理解题意是解题的关键．
【规范解答】解：∵，
∴星期六盈利了元，
∵因为该周销量总计元，
∴该周是盈利，盈利元．
考点10：省略加法和括号的形式
【典例精讲】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）写成省略加号的和的形式为 ．
【答案】
【思路引导】利用有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号省略即可
【规范解答】解：∵
∴写成省略加号的和的形式为，
故答案为：．
【考点剖析】本题主要考查了有理数加减混合运算中的符号化简，熟练掌握有理数减法的法则，符号化简法则，是解题的关键．
【变式训练】（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成省略加号的和的形式，并把它读出来．
【答案】；读作“、负、负、、负1的和”，也可读作“减减加减1”
【思路引导】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数加减混合运算中，先把加减法统一成加法后，再写成省略加号和括号的和的形式，再用两种方式读出即可．
【规范解答】解：
读作“、负、负、、负1的和”，也可读作“减减加减1”．
考点11：根据点在数轴的位置判断式子的正负
【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，求的值．
【答案】1
【思路引导】本题考查数轴与有理数，化简绝对值，有理数的运算，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，化简绝对值后，进行计算即可．
【规范解答】解：由图可得，
∴．
【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，且a与b互为相反数：
(1)判断正负：a______0，_______0，______0；
(2)已知，求的值．
【答案】(1)＞；＜；＜
(2)8
【思路引导】本题考查了数轴，绝对值，相反数，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）根据数轴可得，然后利用有理数的减法进行计算，即可解答；
（2）根据相反数的意义可得，可知，然后把字母的值代入式子中进行计算即可解答．
【规范解答】（1）解：由图可得,
∴，，．
故答案为：＞；＜；＜；
（2）∵，，
∴，
∵a与b互为相反数，
∴，
∴
∵且，
∴，
∴，
答：的值为8．
考点12：数轴上的翻折
【典例精讲】（24-25七年级上·福建福州·期中）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，8，若以点C为折点，将此数轴对折，此时A，B两点相距2个单位，则点C表示的数是 ．
【答案】0或2
【思路引导】本题考查有理数与数轴，分对折后点在点的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可．
【规范解答】解：①当对折后点在点的左侧时，此时点表示的数为：，
∴点表示的数为：；
②当对折后点在点的右侧时，此时点表示的数为：，
∴点表示的数为：；
故答案为：0或2．
【变式训练】（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，使0表示的点与2表示的点重合，则8表示的点与数 表示的点重合．
【答案】
【思路引导】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到对称中心是解决问题的关键．
根据已知条件可确定对称点于是得到结论．
【规范解答】解：∵0表示的点与2表示的点重合，
折叠点为，
∴8表示的点与数表示的点重合．
故答案为：．
1．（2025·甘肃平凉·中考真题）计算（ ）
A． B． C．-3 D．3
【答案】D
【思路引导】本题考查有理数的加法运算．根据异号两数相加的法则，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，进行计算即可．
【规范解答】解：；
故选 ：D．
2．（2025·甘肃·中考真题）（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【思路引导】本题考查有理数的加法，绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此计算即可．熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【规范解答】解：，
故选：D．
3．（2023·青海·中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】C
【思路引导】本题考查了有理数的加法法则．根据绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算即可．
【规范解答】解：．
故选：C．
4．（2023·山东日照·中考真题）计算：的结果是（　　）
A．5 B．1 C．-1 D．-5
【答案】A
【思路引导】把减法化为加法，即可求解 。
【规范解答】解：=，
故选A．
【考点剖析】本题主要考查有理数的减法运算，掌握有理数的减法法则是关键．
5．（2021·山东滨州·中考真题）在数轴上，点A表示-2．若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（ ）
A．-6 B．-4 C．2 D．4
【答案】C
【思路引导】根据数轴的特点，可知从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数为-2+4，然后计算即可．
【规范解答】解：由题意可得，
点B表示的数为-2+4=2，
故选：C．
【考点剖析】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，点向左平移表示的数值变小，向右平移表示的数值变大．
基础夯实
1．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）将写成省略括号的和的形式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【规范解答】本题考查了有理数加减运算中去括号的知识，属于基础题，注意掌握括号前面是正号则括号可以直接去掉，括号前面是负号则括号里面的各项要变号．
【解答】解：，
故选：B．
2．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度后到达终点，则终点表示的数是（ ）
A． B．2 C．8 D．
【答案】A
【思路引导】本题考查有理数的加减运算，根据数轴上的点的移动，左减右加，列出算式，计算即可．
【规范解答】解：终点表示的数是：．
故选A．
3．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）若，，且，则（ ）
A． B．7 C．1 D．1或7
【答案】D
【思路引导】此题考查了绝对值，有理数的大小比较，有理数的加法，熟练掌握知识点是解本题的关键．
先求出，再，可得或，分别计算，即可解答．
【规范解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴或，
∴当时，，
当时，．
∴的值为1或7．
故选D．
4．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）一次数学检测，小明考了75分，老师把它记作分，小丽的成绩被老师记作分，小丽考了( )分；琳琳考了100分，应记作( )分．
【答案】 58
【思路引导】本题考查了有理数减法的应用，正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．根据正负数来表示具有意义相反的两种量：本次检测以60分为标准，超过部分记为正，不足的部分记为负，据此解答即可．
【规范解答】解：小明考了75分，老师把它记作分，则分为记作0，
小丽的成绩被老师记作分，小丽考了分；
琳琳考了100分，应记作分，
故答案为：58，．
5．（24-25七年级上·广东广州·期末）规定图形表示运算，图形表示运算，则 ．
【答案】
【思路引导】本题是新定义运算，主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是弄清基本图象如何转化成常见运算的形式．
根据题意列式求解即可．
【规范解答】解：根据题意得：
．
故答案为：2．
6．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【规范解答】本题主要考查的是正方体相对面上的数字．
根据正方体的展开图中相对面不存在公共点可找出5对面的数字，从而可根据相反数的定义求得x的值，进一步求得y的值，最后代入计算即可．
【解答】解：根据展开图可知：5与x是对面，3与y是对面，
相对面上的数互为相反数，
，，
故答案为：
7．（24-25七年级上·吉林·期末）一只小虫在数轴上的位置先向右爬行3个单位长度，再向左爬行7个单位长度，问爬行后所表示的数为 ．
【答案】
【思路引导】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，向右爬行就加上爬行的距离，向左爬行就减去爬行的距离，据此列式求解即可．
【规范解答】解：，
∴爬行后所表示的数为，
故答案为：．
8．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【思路引导】此题考查了有理数的减法运算，解题的关键是掌握有理数的减法运算法则．
（1）根据有理数的减法运算法则求解即可；
（2）根据有理数的减法运算法则求解即可；
（3）根据有理数的减法运算法则求解即可；
（4）根据有理数的减法运算法则求解即可．
【规范解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
9．（25-26七年级上·全国·课后作业）巡道员沿一条东西向的铁路进行巡视维护，从驻地出发先向东走了，又向东走了，然后折返向西走了，此时他在驻地的什么方向？与驻地的距离是多少千米？
【答案】在驻地的西边，与驻地的距离是千米
【思路引导】本题考查了有理数加法的应用，解题的关键是规定向东走为正，向西走为负．
根据题意可以设出正方向，然后根据题目中的数据进行计算，看最后的结果即可解答本题．
【规范解答】解：用正负数表示具有相反意义的量，
设向东走为正，向西走为负，
，
此时他在驻地向西千米，
故答案为：在驻地的西边，与驻地的距离是千米．
10．（25-26七年级上·全国·课后作业）红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜黄队，比分为；蓝队胜黄队，比分为；红队负蓝队，比分为．如果进球数记为正，失球数记为负，那么三队的净胜球数各是多少？
【答案】红队净胜球数为1个，蓝队净胜球数为3个，黄队净胜球数为个
【思路引导】本题考查了有理数的加减混合运算的实际应用．解题的关键是理解题意．
根据题意，分别计算出各队的总进球数与总失球数，二者相减即可得到净胜球数，即可解答．
【规范解答】解：根据题意得：红队净胜球数为；
蓝队净胜球数为；
黄队净胜球数为；
答：红队净胜球数为1个，蓝队净胜球数为3个，黄队净胜球数为个．
培优拔高
11．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，所有相对面的数字之和相等，则a的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．
【答案】A
【思路引导】本题考查了正方体相对两个面上的数字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
先求出相对面的数字之和，再判断出与a相对，然后求解即可．
【规范解答】解：∵所有相对面的数字之和相等，1与2相对，与4相对，与a相对，
，解得：．
故选：A．
12．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（ ）个
A． B． C． D．
【答案】B
【思路引导】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确．
【规范解答】解：根据题意可得：，故正确；
根据题意可得：，故正确；
当时，有， 不成立，故错误；
当时，有， 不成立，故错误；
当时，，若，则的值可以是，故正确，
综上所述，正确的结论共有个．
故选：B ．
13．（18-19七年级上·河南驻马店·期中）计算等于（ ）
A． B．1 C．0 D．4
【答案】A
【思路引导】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算即可．
【规范解答】解：
；
故选A．
14．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如图是小明妈妈支付宝的连续四笔交易记录，已知在此之前小明妈妈支付宝账户的余额为1470元，则四笔交易后余额为（ ）
A．1535元 B．1525元 C．1515元 D．1505元
【答案】A
【思路引导】本题考查正数与负数；理解正数与负数在实际问题的中的意义，用支付宝的1470分别与支出和收入部分求和即可．
【规范解答】解：元，
故选：A．
15．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）纸上画有一数轴，将纸对折后，表示与1的两个点恰好重合，则此时与表示的点重合的点所表示的数是 ．
【答案】3
【思路引导】本题考查数轴上两点间的距离，根据表示与1的两个点恰好重合，求出对称点表示的数，再根据互相重合的点到对称点的距离相等，求解即可．
【规范解答】解：由题意，得：对称点表示的数为，
∴与表示的点重合的点表示的数为；
故答案为：3．
16．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）已知[x]表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则 ．
【答案】
【思路引导】本题考查了新定义，有理数的加减混合运算，根据题意，理解的定义并求出值，然后根据有理数的加减运算法则计算即可．
【规范解答】解：根据题意，可得：
．
故答案为：．
17．（2025·北京延庆·模拟预测）甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目．
①甲在项目连续工作天能开发模块 个；
②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装 套系统．
【答案】 196
【思路引导】①由题意列出算式即可；
②由题意得甲在项目连续工作天最多能开发模块个，甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，每6天为一个循环，每6天组装套系统，最后两天分别计算开发两种不同系统，再列式计算即可．
【规范解答】解：①由题意可得：甲在项目连续工作天能开发模块个；
②一个科技系统需个模块和个模块，
天两模块同时开发出数量最多，
甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，
甲在项目连续工作天最多能开发模块个，乙在项目连续工作天最多能开发模块个，
∴每6天为一个循环，每6天组装套系统，
∵，
①每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个，
∴天最多能组装模块套系统．
②每一组先安排21套系统，再安排24套系统，最后两天甲开发模块个，乙开发模块个，
天最多能组装模块套系统．
∵
∴一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装196套系统．
故答案为：①；②．
【考点剖析】本题考查的知识点是有理数混合运算，解题关键是根据题意列出算式解答．
18．（24-25七年级上·甘肃天水·阶段练习）计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【思路引导】本题考查有理数的加减混合运算，正确计算是解题的关键；
（1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可；
（2）根据有理数的加减混合运算法则计算即可；
（3）根据有理数的加减简便运算计算即可；
（4）根据有理数的加减简便运算计算即可．
【规范解答】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）先阅读第（1）题的计算过程，再根据第（1）题的解题方法完成第（2）题．
（1）计算：
解：
．
上面这种解题方法叫作拆项法．
（2）计算：．
【答案】
【思路引导】本题考查了有理数的加法，读懂阅读材料，熟练掌握有理数的加法法则、掌握拆项法进行解题是关键． 认真观察（1）的解法，利用此方法求出（2）中各小题的结果即可．
【规范解答】解：
原式
．
20．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等．
(1)根据“洛书”中表达的意思，______，______；
(2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______；
(3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______．
【答案】(1)9，3
(2)6，5，4
(3)；或
【思路引导】本题考查的是有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力．
（1）第3行上的数字和等于，因此，；
（2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得；
（3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或．
【规范解答】（1）解：（1）第3行上的数字和等于，
因此，,
故答案为：9，3；
（2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15，
因此，，，
故答案为：6，5，4；
（3）解：根据题意，，解得；
将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得；
因此或，
故答案为：；或．中小学教育资源及组卷应用平台
2.1 有理数的加减与减法 同步讲义
知识点梳理01：有理数加法法则
同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和
异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差
互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则
一个数与0相加 仍得这个数
知识点梳理02：有理数加法运算律
1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：．
2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：．
知识点梳理03：有理数减法法则
1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ．
2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算．
3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号．
知识点梳理04：有理数加减混合运算
1. 有理数加减混合运算
（1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算．
（2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．
2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24．
3. 有理数加减混合运算的一般步骤
方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法
（1）减法变加法: （1）省略括号
（2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合
（3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算
考点1：有理数加法运算
【典例精讲】（24-25七年级上·河北衡水·阶段练习）阅读下列内容，并完成相关问题：
嘉嘉说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算”然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；
；；
；．
琪琪看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”．
聪明的你也明白了吗？
(1)归纳（加乘）运算的运算法则：同号得________、异号得_________、并把_________相加．
特别地，0和任何数进行（加乘)运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的__________；
(2)计算：．
【变式训练】（24-25七年级上·河南安阳·期中）数轴上在和之间的所有整数的和为 ．
考点2：有理数加法中的符号问题
【典例精讲】（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，数轴上的点A、分别对应实数、，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】（2023·贵州贵阳·一模）点A，B在数轴上的位置如图所示，若点A，B表示的数分别为a，b，且满足，则下列选项中原点位置正确的是（ ）

A． B．
C． D．
考点3：有理数加法在生活中的应用
【典例精讲】（24-25七年级上·广东·阶段练习）某校七年级利用劳动实践课开展创意点心制作比赛活动．小龙制作了一盒精美点心（共计6枚），现在他把6枚点心质量称重后统计列表如下（单位：克）．
第n枚 1 2 3 4 5 6
质量 68.4 71.3 70.7 68.6 69.1 72
(1)为了简化运算，小龙依据比赛的标准质量，他把超出部分记为正，不足部分记为负，列出下表（数据不完整），则比赛的标准质量为________克，请你把表格补充完整；
第n枚 1 2 3 4 5 6
质量
(2)按照比赛说明上标记，一盒点心的总质量合格标准为克，那么，小龙制作的这盒点心的实际总质量是合格的，你知道为什么吗？请通过计算说明理由．
【变式训练】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）妈妈在超市买了一袋面粉，发现包装袋上有这样一段字样：“净重：”．
(1)这段文字表示这袋面粉的重量在________和________之间．
(2)在一次检测中，检验员从一个包装箱中任取了5袋有上述字样的面粉，记录劈如下：
袋号 1 2 3 4 5
质量 803 798 800 794 805
请你结合（1）和上表中的数据，以为标准，超出标准记为正，不足的记为负，用正、负数表示出这5袋面粉的质量，并判断这5袋面粉中不合格的有________袋．
考点4：有理数加法运算律
【典例精讲】（24-25七年级上·福建厦门·阶段练习）计算：
； (2)
【变式训练】（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）下面是小强同学计算的过程，请阅读并完成相应任务．
解：
，第一步
，第二步
，第三步
，第四步
(1)第一步的依据是 （填运算律），第二步的依据是 （填运算律）
(2)第 步开始出现错误．
(3)写出正确的解答过程．
考点5：有理数的减法运算
【典例精讲】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）规定：，，例如，．
（1） ；
（2）的最小值是 ．
【变式训练】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）阅读下列材料，回答问题．
经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究：

(1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离．
(2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离．
(3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．
考点6：有理数减法的实际应用
【典例精讲】（24-25七年级上·重庆·开学考试）甲从A地出发，先后经过B、C两地，最终到达M地；然后从M地原路返回至A地．甲在从A地去往M地的路上一开始匀速行驶，在BC两地之间某处，甲提速了，并且以后一直保持着这个速度直至返回到A地．已知在从A地去M地的过程中，A地到B地、B地到C地、C地到M地都用时12分钟；返程的路上，从C地到B地用时10分钟．如果甲再次以最开始的速度出发，在相同的地点加速，但这回加速，请问，他从A地出发到M地再返回A地需要多少分钟？
【变式训练】（24-25八年级下·四川广安·阶段练习）下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况：
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化
注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低．
(1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米．
(2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表．
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化
(3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？
考点7：有理数的加减混合运算
【典例精讲】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算：
；
．
【变式训练】（24-25七年级上·内蒙古包头·阶段练习）计算：
； (2)；
； (4)．
考点8：有理数加减中的简便运算
【典例精讲】（24-25七年级上·内蒙古乌海·阶段练习）计算
(1) (2)
【变式训练】（24-25七年级上·河北保定·开学考试）李老师在黑板板书了两道例题的解题过程：
运用“被减数、减数同时增加或减小相同的数，它们的差不变”的性质，可以使一些运算过程变得简便． 例1 ； 例2 ．
请你参考黑板中老师的讲解，用上述运算性质简便计算：
(1)
(2)
考点9：有理数加减混合运算的应用
【典例精讲】（24-25七年级上·广东广州·期中）旺哥在上周五买进某公司股票1000股，每股60元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（涨跌是与前一个交易日来比较；正数表示上涨，负数表示下跌）．
（单位：元）
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
(1)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
(2)已知张先生买进股票时付了该股票总价值的千分之的手续费，卖出时需付的成交手续费和交易税共千分之2.5，如果旺哥在星期五收盘时将全部股票卖出，他的收益情况如何？
【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）社会热点情境国潮国风 随着国潮国风的兴起，无论是古镇身着汉服的翩翩少年，还是热衷于非遗文创、国粹国货的青年，都充分彰显了中华优秀传统文化与时俱进的光彩与魅力．下面是某文创店一周的销售盈亏情况．（盈利为正，亏损为负，单位：元）
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
若该周销量总计元，表中的周六的盈亏数据不小心用墨水污染了，看不清楚，请你算出周六的盈亏数，并说明该周是盈还是亏？盈亏多少元？（注：盈余为正，亏损为负）
考点10：省略加法和括号的形式
【典例精讲】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）写成省略加号的和的形式为 ．
【变式训练】（24-25七年级上·全国·课后作业）把写成省略加号的和的形式，并把它读出来．
考点11：根据点在数轴的位置判断式子的正负
【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃平凉·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，求的值．
【变式训练】（24-25七年级上·福建莆田·阶段练习）已知有理数a，b，c对应的点在数轴上的位置如图所示，且a与b互为相反数：
(1)判断正负：a______0，_______0，______0；
(2)已知，求的值．
考点12：数轴上的翻折
【典例精讲】（24-25七年级上·福建福州·期中）在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，8，若以点C为折点，将此数轴对折，此时A，B两点相距2个单位，则点C表示的数是 ．
【变式训练】（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面，使0表示的点与2表示的点重合，则8表示的点与数 表示的点重合．
1．（2025·甘肃平凉·中考真题）计算（ ）
A． B． C．-3 D．3
2．（2025·甘肃·中考真题）（ ）
A． B． C． D．3
3．（2023·青海·中考真题）计算的结果等于（ ）
A． B．5 C． D．1
4．（2023·山东日照·中考真题）计算：的结果是（　　）
A．5 B．1 C．-1 D．-5
5．（2021·山东滨州·中考真题）在数轴上，点A表示-2．若从点A出发，沿数轴的正方向移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是（ ）
A．-6 B．-4 C．2 D．4
基础夯实
1．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）将写成省略括号的和的形式是（　　）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度后到达终点，则终点表示的数是（ ）
A． B．2 C．8 D．
3．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）若，，且，则（ ）
A． B．7 C．1 D．1或7
4．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）一次数学检测，小明考了75分，老师把它记作分，小丽的成绩被老师记作分，小丽考了( )分；琳琳考了100分，应记作( )分．
5．（24-25七年级上·广东广州·期末）规定图形表示运算，图形表示运算，则 ．
6．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则的值为 ．
7．（24-25七年级上·吉林·期末）一只小虫在数轴上的位置先向右爬行3个单位长度，再向左爬行7个单位长度，问爬行后所表示的数为 ．
8．（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：
(1)； (2)；
； (4)．
9．（25-26七年级上·全国·课后作业）巡道员沿一条东西向的铁路进行巡视维护，从驻地出发先向东走了，又向东走了，然后折返向西走了，此时他在驻地的什么方向？与驻地的距离是多少千米？
10．（25-26七年级上·全国·课后作业）红、黄、蓝三支足球队进行比赛，比赛结果是：红队胜黄队，比分为；蓝队胜黄队，比分为；红队负蓝队，比分为．如果进球数记为正，失球数记为负，那么三队的净胜球数各是多少？
培优拔高
11．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图是一个正方体的表面展开图，所有相对面的数字之和相等，则a的值是（ ）
A．5 B．1 C．3 D．
12．（24-25七年级上·广东广州·期中）定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（ ）个
A． B． C． D．
13．（18-19七年级上·河南驻马店·期中）计算等于（ ）
A． B．1 C．0 D．4
14．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如图是小明妈妈支付宝的连续四笔交易记录，已知在此之前小明妈妈支付宝账户的余额为1470元，则四笔交易后余额为（ ）
A．1535元 B．1525元 C．1515元 D．1505元
15．（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）纸上画有一数轴，将纸对折后，表示与1的两个点恰好重合，则此时与表示的点重合的点所表示的数是 ．
16．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）已知[x]表示不超过x的最大整数．如：．现定义：，如，则 ．
17．（2025·北京延庆·模拟预测）甲、乙两人参与两个科技项目：（人工智能算法开发）和（物联网设备开发）．在项目中，甲第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；乙第一天能开发个模块，之后每多连续工作一天，开发数量（最少个）比前一天减少个；在项目中，甲每天固定开发个模块，乙每天固定开发个模块．两人每日需选择不同项目工作，且在某一项目连续工作少于天时不可切换项目．
①甲在项目连续工作天能开发模块 个；
②一个科技系统需个模块和个模块，则天最多能组装 套系统．
18．（24-25七年级上·甘肃天水·阶段练习）计算
(1) (2)
(3) (4)
19．（24-25七年级上·全国·随堂练习）先阅读第（1）题的计算过程，再根据第（1）题的解题方法完成第（2）题．
（1）计算：
解：
．
上面这种解题方法叫作拆项法．
（2）计算：．
20．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等．
(1)根据“洛书”中表达的意思，______，______；
(2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______；
(3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______．

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