资源简介

13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
1.会用不同的方法证明三角形的内角和定理.
2.能应用三角形内角和定理解决一些简单的问题.
3.了解直角三角形的两个锐角互余，并会判断一个三角形是否是直角三角形.
4.通过探索三角形的内角和定理培养学生合作探究的能力.
重点：（1）三角形内角和定理的推导及应用；
（2）理解直角三角形的两个锐角互余的含义.
难点：（1）三角形内角和定理的推导、验证过程；
（2）会利用直角三角形的两个锐角互余来判断一个三角形是直角三角形.
　　一天三类三角形分别讲述了自己对三角形内角和定理的理解，你能给他们评判一下吗？
探究点一　探索并证明三角形内角和定理
【例1】如图，△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C.求证：△ABC的内角和为180°.
　　【解析】利用平行线的性质可将∠A，∠B，∠C结合在一起，再结合平角为180°即可证明∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
【解】如图，延长BC至点D，过点C作CE∥AB.
∵AB∥CE，
∴∠A＝∠1，∠B＝∠2.
又∵∠ACB＋∠1＋∠2＝180°，
∴∠ACB＋∠A＋∠B＝180°，
即△ABC的内角和为180°.
探究点二　三角形内角和定理的实际应用
【例2】如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西65°方向.求从C岛看A，B两岛的视角∠ACB的度数.
【解析】根据两直线平行，同旁内角互补和三角形内角和定理求出∠ACB的度数.
【解】如图，连接AB.
∵两正北方向平行，
∴∠CAB＋∠CBA＝180°－45°－65°＝70°，
∴∠ACB＝180°－70°＝110°.
探究点三　直角三角形的性质与判定的运用
【例3】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，CF平分∠ACB.
（1）求∠ACE的度数.
（2）若CD⊥AB于点D，∠CDF＝75°，求证：△CFD是直角三角形.
【解析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，求出∠ACE的度数；（2）根据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，求出∠DCF的度数，进而得出∠CFD的度数.
【解】（1）∵在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°－30°－60°＝90°.
又∵CF平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°.
（2）证明：∵CD⊥AB，∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°－60°＝30°.
又∵∠BCE＝∠ACE＝45°，
∴∠DCF＝∠BCE－∠BCD＝15°.
又∵∠CDF＝75°，
∴∠CFD＝180°－75°－15°＝90°，
∴△CFD是直角三角形.
1.如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝65°，将三角形的一角折叠，使点C落在△ABC内点C'处.若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A.40° B.45°
C.50° D.60°第1题图　　第2题图
2.如图，将三角尺ABC和三角尺DEF（∠A＝∠E＝90°，∠C＝60°，∠F＝45°）摆放在一起，使得点A，D，B，E在同一条直线上，BC，DF交于点M，那么∠CMF的度数等于　　　　　　.
3.如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE与CD相交于点O，∠A＝60°，∠ABE＝15°，∠ACD＝25°.求∠BEC和∠COE的度数.
13.3.1　三角形的内角
1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°.
2.验证三角形内角和定理.
3.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
在△ABC中，∵∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
4.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
在△ABC中，∵∠A＋∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形.
本节课学习了三角形内角和定理及证明、三角形内角和定理的应用、直角三角形的性质与判定.
　　本节课在学习了三角形有关概念的基础上来学习三角形的内角和定理.先让学生动手操作，通过拼图说出“三角形的内角和等于180°”成立的理由，由浅入深、循序渐进地引导学生观察、猜测、实验，逐步培养学生的逻辑推理能力.引导学生通过作平行线把三角形的三个角转化成一个平角，潜移默化地体现了数学上的“转化思想”.在教学过程中逐步设疑，让学生思考还可以用什么方法证明，培养了学生的学习兴趣.
答案
课堂训练
1.D　2.105°
3.解：在△ABE中，
∵∠A＝60°，∠ABE＝15°，
∴∠AEB＝180°－∠A－∠ABE＝105°，
∴∠BEC＝180°－∠AEB＝75°，
∴∠COE＝180°－∠BEC－∠ACD＝180°－75°－25°＝80°.

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