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13.3.2　三角形的外角
1.理解并掌握三角形的外角的概念.
2.能够在复杂的图形中找出外角.
3.掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和.
4.会利用外角的性质解决问题.
重点：三角形的外角及其性质.
难点：运用三角形外角的性质进行有关计算时能准确地表达推理的过程和方法.
两只猎豹在如图所示的A处发现有一只野牛离群独自在O处觅食后，打算用迂回的方式，由一只先从A处前进到C处，然后到B处截住野牛返回牛群的去路，另一只则直接在A处扑向野牛.已知∠A＝40°，∠ABC＝70°，猎豹从C处要转多少度角才能直达B处？
由三角形内角和易得∠ACB＝180°－∠A－∠CBA＝70°，∴∠BCD＝180°－∠BCA＝110°.故猎豹从C处要转110°才能直达B处.
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
探究点一　三角形外角的概念
【例1】如图，∠1，∠2，∠3中是△ABC的外角的是（　　）
A.∠1，∠2 B.∠2，∠3
C.∠1，∠3 D.∠1，∠2，∠3
【解析】由三角形外角的定义可知，属于△ABC外角的有∠1，∠3.
【答案】C
【方法总结】判断三角形的外角的方法：从位置上，外角和相邻的内角是邻补角；从数量关系上，三角形的外角与相邻内角之和是180°.
探究点二　三角形外角性质的应用
【例2】如图，已知∠A＝50°，∠ABD＝35°，∠ACB＝70°，且CE平分∠ACB，求∠DEC的度数.
【解析】先根据∠A＝50°，∠ACB＝70°得出∠ABC的度数，再由∠ABD＝35°得出∠CBD的度数，由CE平分∠ACB得出∠BCE的度数，根据∠DEC＝∠BCE＋∠CBD即可求出.
【解】在△ABC中，∵∠A＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠ABC＝60°.
∵∠ABD＝35°，
∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝25°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACB＝35°.
∵∠DEC为△CBE的外角，
∴∠DEC＝∠BCE＋∠CBD＝60°.
【方法总结】利用三角形的外角的性质求角的度数的方法有①内外角结合：三角形的内外角可相互转化；②邻补角结合：外角和相邻的内角和为180°；③对顶角结合：两对顶角相等，但位置不同，可以转化为外角的位置.
探究点三　三角形内角和定理与外角的性质的综合应用
【例3】已知如图所示的是一个五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
【解析】根据三角形外角的性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C.根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证.
【解】∵∠EFG，∠EGF分别是△BDF，△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C.
又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
【方法总结】解决此类问题的关键是根据图形的特点利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决.
1.如图，下列说法中错误的是（　　）
A.∠1不是△ABC的外角
B.∠ACD是△ABC的外角
C.∠ACD＞∠A＋∠B
D.∠B＜∠1＋∠2
2.在一个三角形中，如果一个外角是其相邻内角的4倍，那么这个外角的度数为（　　）
A.36°　　　B.45°　　　C.135°　　　D.144°
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝34°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
（1）求∠CBE的度数.
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数.
13.3.2　三角形的外角
1.三角形外角的概念.
2.外角具备的条件：①角的顶点是三角形的顶点；②角的一边是三角形的一边，另一边是三角形一边的延长线.
3.三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
本节课学习了三角形外角的概念和性质及用外角的性质求角的度数.
　　本节课的知识内容很突出，要让学生了解三角形的外角及其性质.在教学过程中，可以放手让学生探索.同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力.
答案
课堂训练
1.C　2.D
3.解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝34°，
∴∠CBD＝124°.
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝62°.
（2）∵∠ECB＝90°，∠CBE＝62°，∴∠CEB＝28°.
∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝28°.

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