资源简介

14.2　三角形全等的判定
14.2.5　斜边、直角边
1.探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”.
2.会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等.
重点：理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法.
难点：灵活应用五种方法（SSS，SAS，ASA，AAS，HL）来判定直角三角形全等.
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
你能帮他想个办法吗？
探究点一　“HL”判定方法
类型一　利用“斜边、直角边”判定直角三角形全等
【例1】下列可以判定两个直角三角形全等的条件是（　　）
A.斜边相等
B.面积相等
C.两对锐角对应相等
D.一直角边和斜边分别相等
【解析】一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等，故选项D正确.
【答案】D
类型二　直角三角形全等的判定
【例2】如图，已知CD＝AB，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，且DE＝BF.试说明：
（1）CE＝AF.
（2）AB∥CD.
【解析】（1）由CD＝AB，DE⊥AC，BF⊥AC，且DE＝BF，利用“HL”，易证得Rt△CDE≌Rt△ABF，即可得CE＝AF；（2）由Rt△CDE≌Rt△ABF，可得∠A＝∠C，即可判定AB∥CD.
【解】（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠CED＝∠AFB＝90°.
在Rt△CDE和Rt△ABF中，
∴Rt△CDE≌Rt△ABF（HL），
∴CE＝AF.
（2）由（1）得Rt△CDE≌Rt△ABF，
∴∠A＝∠C，
∴AB∥CD.
【方法总结】“HL”判定方法只适用于直角三角形，所以在应用“HL”时，“直角三角形”是前提条件.
探究点二　“HL”判定方法在实际问题中的应用
【例3】如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯BC的高AC与右边滑梯EF水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠B和∠F有什么关系？
【解析】在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，利用“HL”可判定两个三角形全等，根据全等找对应角相等，根据直角三角形两锐角互余的关系，确定∠B与∠F的数量关系.
【解】在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠B＝∠DEF.
又∵∠DEF＋∠F＝90°，∴∠B＋∠F＝90°，
即两滑梯的倾斜角∠B与∠F互余.
探究点三　综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等
【例4】如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
【解析】由BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC可知∠1＝∠2.然后根据“AAS”证明△AOD≌△AOE，根据“ASA”证明△BOD≌△COE，即可证明OB＝OC.
【解】∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.
∵AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2.
在△AOD和△AOE，
∴△AOD≌△AOE（AAS），
∴OD＝OE.
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE（ASA），∴OB＝OC.
1.如图，已知AB⊥CD，垂足为B，BC＝BE.若直接应用“HL”判定△ABC≌△DBE，则需要添加的一个条件是　　　　　　.第1题图　　　第2题图
2.如图，AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC于点F，∠B＝90°，DE＝DC.求证：BE＝CF.
第5课时　斜边、直角边
1.直角三角形判定方法：“斜边、直角边”或“HL”.
2.符号语言：在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'（HL）.
3.直角三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，HL.
本节课学习了判定两个直角三角形全等的方法“HL”及其应用.
　　本节课从问题情景出发，自然地过渡到探索直角三角形全等的条件，随着探究活动的一步步展开，出现了在直角三角形中有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，从而激发学生的探究欲望.通过动手操作，在合作交流和比较中发现问题，在反思中发现新知，并通过例题和练习强化新知.本课的难点是五种判定方法的灵活运用，因此一定要精选练习，巩固所学的五种判定方法的知识.
答案
课堂训练
1.AC＝DE
2.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠FAD.
在△ABD和△AFD中，
∴△ABD≌△AFD（AAS），
∴BD＝FD.
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴BE＝CF.

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