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14.3　角的平分线
14.3.1　角的平分线的性质
1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角的平分线的性质定理.
2.能运用角的平分线的性质解决简单的几何问题.
重点：能用角的平分线的性质解决几何问题.
难点：探究并掌握角的平分线的性质定理.
如图所示的是一个平分角的仪器的示意图，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？
其依据是“SSS”，两全等三角形的对应角相等.
探究点一　用尺规作角的平分线
【例1】如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OP（不要求写作法，但要保留作图痕迹）.
【解析】（1）以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点P；（3）作射线OP.射线OP即为所求.
【解】如图所示，OP即为所求.
【方法总结】（1）作法中“以适当长为半径”，要求美观，不能太大或太小，“大于MN的长为半径作弧”是因为小于或等于MN的长为半径时作出的两弧不能形成交点；（2）两弧的交点应在角的内部找，因为要作的是角的平分线；（3）作“角平分线OP”不能叙述为“连接OP”，角平分线是射线，而不是线段.
探究点二　角的平分线的性质
【例2】如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠CAB，BC＝16cm，CM：MB＝3：5.求点M到AB的距离.
【解析】过点M作MD⊥AB于点D，先求出CM，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DM＝CM.
【解】如图，过点M作MD⊥AB于点D.
∵BC＝16cm，CM：MB＝3：5，
∴CM＝×16＝6（cm）.
∵∠C＝90°，AM平分∠CAB，
∴DM＝CM＝6cm，
即点M到AB的距离为6cm.
【方法总结】利用角平分线的性质解答问题时，辅助线的作法：若已知角的平分线和过角平分线上的一点向已知角的一边所作的垂线，往往要过这点作已知角另一边的垂线，利用两垂线段相等求解相关问题.
1.如图，下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法，在用尺规作角平分线的过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　）
作法：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点D，E；
②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于一点C；
③作射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线.
A.ASA B.SAS C.SSS D.AAS第1题图　　　第2题图
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线.若CD＝3，则△ABD的面积为　　　　　　.
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC.求证：BD＝DF.
第1课时　角的平分线的性质
1.用尺规作角的平分线：
2.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
本节课学习了尺规作图作已知角的平分线，角平分线的性质.
　　本节课通过平分角的仪器引入新课，师生共同来探究角平分线的作法，通过具体的实际操作一起探究角平分线的性质.利用所学知识解决问题，同时充分利用教具和多媒体，增强学生的直观观念.对于利用角平分线的性质解决线段相等或角相等问题，常作的辅助线是过角平分线上的一点向角的两边作垂线，但在应用时，学生还是不习惯，多数学生还是用三角形全等来解决问题，这就需要循序渐进地设计一些典型题目进行巩固.
答案
课堂训练
1.C　2.15
3.证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE.
在△DCF和△DEB中，
∴△DCF≌△DEB（SAS），
∴BD＝DF.

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