资源简介

14.3　角的平分线
14.3.2　角的平分线的判定
1.理解角平分线的判定定理.
2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.
3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
重点：会用角平分线的判定定理解答问题.
难点：理解角平分线的判定定理.
我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，那么角的内部到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
探究点一　角平分线的判定定理
【例1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，ED⊥AB于点D，DE＝CE，则∠CBE＝　　　　　　.
【解析】∵∠C＝90°，ED⊥AB于点D，DE＝CE，
∴BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE＝∠ABC＝×（90°－40°）＝25°.
【解】25°
【方法总结】在有关角的平分线的问题中，由角的平分线的性质可得到线段相等，而欲证明某个点在角的平分线上或某条直线是角的平分线所在直线时，只要证明该点或直线上的任意一点到角的两边的距离相等即可.
探究点二　角平分线的性质与判定的综合应用
【例2】如图，在△ABC中，BP，CP是△ABC的外角平分线.求证：点P必在∠A的平分线上.
【解析】过点P作PF⊥AD，PG⊥BC，PH⊥AE，垂足分别为F，G，H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF＝PG＝PH，再根据角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明.
【解】如图，过点P作PF⊥AD，PG⊥BC，PH⊥AE垂足分别为F，G，H.
∵BP，CP是△ABC的外角平分线，
∴PF＝PG，PG＝PH，∴PF＝PH，
∴点P必在∠A的平分线上（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）.
探究点三　几何命题的证明
【例3】求证：任意一个三角形的两条角平分线的交点在第三条角平分线上.
【解析】写出文字证明题的题设和结论，写成已知、求证并画出图形，再证明.
【解】已知：如图所示，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：AP平分∠BAC.
证明：如图，过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E，F，D.
∵BM是∠ABC的平分线且点P在BM上，
∴PD＝PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）.同理PF＝PE，
∴PD＝PF，
∴AP平分∠BAC（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）.
【方法总结】利用角平分线的性质定理和判定定理解答问题时，常作的辅助线是过角平分线上的一点作角两边的垂线.
1.如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB＝30°，则∠AOB＝　　　　　　.
2.如图，已知∠ADC＋∠ABC＝180°，DC＝BC.求证：点C在∠DAB的平分线上.
第2课时　角的平分线的判定
1.角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
2.角的平分线的判定.
本节课学习了角平分线的判定定理及用角平分线的性质定理和判定定理解答问题.
　　本节课学习了角平分线的判定定理，由于上节课学习了角平分线的性质定理，在理解上有了一定的基础.通过教材思考和学生自己证明定理，更容易理解“角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上”，而且能够熟练地作出辅助线并应用到实际问题中.
答案
课堂训练
1.60°
2.证明：如图，过点C作CE⊥AD于点E，CF⊥AB于点F.
∵∠ADC＋∠EDC＝180°，∠ADC＋∠ABC＝180°，
∴∠EDC＝∠ABC.
在△CDE和△CBF中，
∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，
∴点C在∠DAB的平分线上.

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