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15.3　等腰三角形
15.3.1　等腰三角形
15.3.1.1　等腰三角形的性质
1.理解并掌握等腰三角形的性质.
2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决相关问题.
重点：掌握等腰三角形的性质.
难点：运用等腰三角形的性质解决相关问题.
仔细观察下列图片，你能找出它们的共同特点吗？
探究点一　等腰三角形
类型一　等腰三角形的定义
【例1】一个等腰三角形的一边长为6cm，另一边长为10cm，则这个等腰三角形的周长为　　　　　　.
【解析】若6cm为等腰三角形的腰长，则10cm为底边的长，此时等腰三角形的周长＝6＋6＋10＝22（cm）；
若10cm为等腰三角形的腰长，则6cm为底边的长，此时等腰三角形的周长＝10＋6＋10＝26（cm）.
综上，等腰三角形的周长为22cm或26cm.
【解】22cm或26cm
【方法总结】由等腰三角形的定义可知，等腰三角形的两腰相等.因为题中没有说明哪一条边是腰，所以分两种情况讨论.求出三边后，需要利用三角形的两边之和大于第三边判定是否能构成三角形.
类型二　等腰三角形的性质1
【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在线段BC上，AD＝BD.在△ADC中，AC＝DC，求△ABC各角的度数.
【解析】因为△ADC为等腰三角形，可运用“等边对等角”得∠DAC＝∠ADC.由AB＝AC，AD＝BD可得∠C＝∠B＝∠BAD，再用三角形的外角得∠ADC＝∠B＋∠BAD，再在△ABC中运用三角形内角和等于180°即可得解.
【解】∵AC＝DC，
∴∠DAC＝∠ADC.
又∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠C＝∠B＝∠BAD.
设∠B＝x，则∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2x，
∴∠DAC＝∠ADC＝2x，∠BAC＝∠DAC＋∠BAD＝3x，
于是在△ABC中，有∠B＋∠C＋∠BAC＝x＋x＋3x＝180°，
解得x＝36°，
∴在△ABC中，∠BAC＝3×36°＝108°，∠B＝∠C＝36°.
【方法总结】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，再根据等腰三角形的边的关系，转化为角的关系，求出角的度数.
类型三　等腰三角形的性质2
【例3】已知在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC的中点，∠BAC＝110°，求∠B和∠BAD的大小.
【解析】先根据等腰三角形的性质“等边对等角”求出∠B的度数；再根据题目中给出的已知条件，利用“三线合一”即可得出∠BAD的度数.
【解】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝（180°－∠BAC）÷2＝35°.
∵D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝55°.
故∠B为35°，∠BAD为55°.
【方法总结】利用等腰三角形的性质“等边对等角”和“三线合一”求出角的度数.
探究点二　等腰三角形性质的应用
【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，DE⊥AB.
（1）求证：∠BAC＝2∠EDB.
（2）若AC＝6，DE＝2，求△ABC的面积.
【解析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”的性质以及余角的性质即可求解；（2）根据三角形面积公式，以及中点的性质即可求解.
【解】（1）证明：∵AB＝AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，
∴∠B＋∠EDB＝90°，
∴∠EDB＝∠BAD＝∠BAC，
即∠BAC＝2∠EDB.
（2）∵AB＝AC＝6，DE＝2，
∴S△ABD＝×6×2＝6.
∵D为BC边的中点，
∴S△ADC＝S△ADB＝6，
∴S△ABC＝12.
【方法总结】利用等腰三角形的“三线合一”的性质以及余角的性质证明角之间的关系.
1.等腰三角形的一个角是30°，则这个等腰三角形的底角为（　　）
A.75°　　B.30°　　C.75°或30°　　D.不能确定
2.如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上.
（1）求证：BE＝CE.
（2）如图②，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°.求证：AE＝2BD.
第1课时　等腰三角形的性质
1.等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫作等腰三角形.
2.等腰三角形性质：
性质1：“等边对等角”；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线相互重合（简写成“三线合一”）.
3.等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（底边上的高线、顶角的平分线）所在的直线是它的对称轴.
本节课学习了等腰三角形的定义及两个性质：“等边对等角”和“三线合一”.
　　本节课的学习任务比较重要，有等腰三角形性质的推导、性质的应用，所以要充分地发挥学生主观能动性，让学生自己去发现、去联想.学生通过自己动手实验得到等腰三角形性质的内容，可以使他们比较好地掌握知识、提高学习数学的兴趣，达到事半功倍之效.在整个教学过程中，利用多媒体教学手段，使学生在实验中通过提出问题、解决问题的途径，而不知不觉地进入学习氛围，让学生由被动学习转变为主动学习.在性质的应用中，要注意“三线合一”是指哪“三线”.
答案
课堂训练
1.C
2.证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝CE.
（2）∵∠BAC＝45°，BF⊥AC，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝BF.
∵BF⊥AC，
∴∠CBF＋∠C＝90°.
由（1）得AD垂直平分BC，
∴∠EAF＋∠C＝90°，BC＝2BD，
∴∠CBF＝∠EAF，
在△AEF和△BCF中，
∴△AEF≌△BCF（ASA），
∴AE＝BC，
∴AE＝2BD.

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