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15.3.2　等边三角形
15.3.2.1　等边三角形的性质与判定
1.掌握等边三角形的性质和判定方法.
2.会用等边三角形的相关性质解决简单的实际问题.
重点：等边三角形的性质和判定方法.
难点：用等边三角形的性质和判定方法进行计算和证明.
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？这些三角形有什么共同的性质？
探究点一　等边三角形的定义及性质
【例1】如图，在等边三角形ABC的边AC上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE.
【解析】欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E.根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明∠DBE＝∠E＝30°.
【解】∵△ABC为等边三角形，BD是边AC上的中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BD⊥AC，BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABC＝30°.
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E.
∵∠ACB＝60°，且∠ACB为△CDE的一个外角，
∴∠CDE＋∠E＝60°，
∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠DBE＝∠E，
∴BD＝DE.
【方法总结】已知三角形边之间的关系求证线段相等的题，一般是利用等腰（等边）三角形的性质得出有关角的关系，再根据“等角对等边”，判断线段相等.
探究点二　等边三角形的判定
【例2】如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上一点，CE平分∠ACD，且∠ADE＝60°，BD＝CE.求证：△ADE为等边三角形.
【解析】由已知条件证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD＝AE.又知∠ADE＝60°，可证明△ADE为等边三角形.
【解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，故∠ACD＝120°.
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝60°，
∴∠B＝∠ACE.
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE.
∵∠ADE＝60°，
∴△ADE为等边三角形.
【方法总结】证明三角形是等边三角形，常用的方法是证其为有一个角是60°的等腰三角形，常与三角形全等或三角形内角和定理相结合.
1.如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝　　　　.
2.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF.求证：△DEF是等边三角形.
第1课时　等边三角形的性质与判定
1.等边三角形的定义：三条边相等的三角形是等边三角形.
2.等边三角形的性质：（1）等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°；（2）等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴.
3.等边三角形的判定：
（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
本节课学习了等边三角形的性质及判定，要熟练掌握并能够灵活运用.
　　本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形，进一步产生对数学的好奇心，提升动手能力，增强创新意识.在教学过程中，要注意穿插习题进行练习，在证明三角形是等边三角形时，要选择合适的证明方法，让学生在学习新的知识的同时，还能运用知识解决问题.
答案
课堂训练
1.15°
2.证明：∵△ABC是等边三角形，且AD＝BE＝CF，
∴AF＝BD.
又∵∠A＝∠B＝60°，
∴△ADF≌△BED（SAS）.
同理可证，△ADF≌△CFE，
∴DF＝ED＝FE，∴△DEF是等边三角形.

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