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第二章 代数式
1 代数式的概念及列代数式
第1课时 用字母表示数
一、教学目标
1.结合具体情境，认识并学会用字母表示数.
2.掌握代数式的概念，会根据具体问题情境列简单的代数式，掌握代数式的规范写法.
3.经历用字母或含有字母的式子表示数的探索过程，把文字语言转化为符号语言，用数学的语言表达现实问题.
二、教学重难点
重点：代数式的概念及规范写法.
难点：能从具体情境中抽象出数量关系，并会用字母表示.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
教学过程设计
【创设情境】
教师活动：教师出示图片，引发学生思考，体会字母在生活中的用处.
师：玩过扑克牌吗？这些分别表示多少呢？
预设答案：
11，12，13.
师：字母很神奇呀，在生活中用字母可以表示名称，有时候可以表示数，今天我们一起来研究一下字母在数学中的应用吧！
设计意图：通过生活中的情境引入，引发学生思考，体会字母在生活中的用处，自然而然地引入本节课的知识.
【探究新知】
【做一做】
据新华社 2021 年 10 月 17 日报道：由“杂交水稻之父”袁隆平院士专家团队研发的杂交水稻双季亩产为 1 603.9 kg (其中早稻平均亩产为 667. 8 kg，晚稻平均亩产为 936.1 kg ). 按照双季亩产 1603. 9 kg 计算，10 亩的产量为(1 603. 9×10) kg，16.5 亩的产量为 (1 603.9×16.5) kg，a 亩的产量为____________kg.
预设：(1 603.9×a)
(2) 已知小楠跑 100 m 花了 13 s，则他的平均速度是(100÷13) m/s，可以记作 m/s；类似地，若小婷跑 100 m 花了 14 s，则她的平均速度是 m/s；若小华跑 100 m 花了 t s，则他的平均速度是______ m/s.
预设：
(3) 已知一个正方形的边长为 2，将正方形的一组对边的长度各增加 1，另一组对边的长度不变，则所得到的长方形与原正方形的面积之差是 (2＋1)×2－22. 若正方形的边长为 a，进行同样的变化，则所得到的长方形与原正方形的面积之差是_______ .
预设：(a＋1)×a－a2
你还能举出几个用字母表示数的例子吗 试一试.
设计意图：通过小组活动的形式进行探究，找到各题的数量关系，用字母表示出来，激发学生不断的思考，提升学习兴趣，也加强了学生间的合作意识.
【观察】
观察下面这些式子，它们有什么共同的特征？
1 603.9×a，，(a＋1)×a－a2
预设：都是数与表示数的字母用运算符号连接而成.
概念：把数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式.
单独一个字母或者一个数也是代数式.
提示：代数式中，数字与字母相乘时，“×”通常省略不写，
例如1603.9×a写成1603.9a;
字母与字母相乘时,“×”通常省略不写或写成“·”，
例如a×6可以写成ab或a·b.
字母和数字相乘的结果，数字写在字母的前面，例如a×2=2a.
设计意图：通过观察、总结归纳代数式的基本概念及其注意事项，培养学生的语言概括能力.
【应用新知】
例1 (1) 比 a 的大 c 的数是________；
(2) a 与 b 的积的 2 倍为_________ ；
(3) a ( a 不为 0 ) 的倒数与 b 的和为________；
(4) 已知铅笔每支 a 元，练习本每本 b 元，买 5 支铅笔和 8 本练习本，需要________元.
提示：(1)数字与字母相乘时，“×”通常省略不写，并把数字写在字母的前面；
(2)字母与字母相乘时，“×”通常省略不写或写成“ · ”．
答案：(1) ×a+c=a+c;(2) 2×a×b=2ab.
想一想：你在以前的学习中哪些地方用到了字母？
预设：
提问：在表示面积公式和数的运算律的时候，字母表示的是什么呢？
预设：这些字母表示的数.
追问：为什么不用具体的数来表示呢？
预设：
字母可以表示任何数. 它能把数量和数量关系一般而又简明地表达出来.
设计意图：通过回忆之前用字母表示面积公式和运算律的例子，让学生体会用字母表示数的多样性，感受用字母表示运算律和数量关系的便捷之处.
例2 填空：
(1) 1 893 = 1000×___ + 100×___ + 10×____ +____；
(2) 一个四位正整数，它的千位数字是 a，百位数字是 b，十位数字是 c，个位数字是 d，则这个四位正整数可表为_______.
(3) 被 7 除余 4 的数为_______(字母用 n 表示)；
(4) x 表示一个两位正整数，y 表示一个三位正整数，把 x 放在 y 的右边组成一个五位数，则这个五位数可以表为_______.
分析：(3)被除数＝商×除数＋余数；
(4)y 原来的最高位是百位，现在最高位为万位，扩大了 100 倍，x 不变.
解：(1) 由题意可得，1 893 = 1000×1+ 100×8+ 10×9 +3，
所以空格分别填1，8，9，3.
(2) 由题意可得，这个四位正整数1000a+100b+10c+d，
所以空格填1000a+100b+10c+d.
(3) 由题意可得，这个数是7n+4，所以空格填7n+4.
(4) 由题意可得，这个五位数可表示为100y+x，所以空格填100y+x.
例3 我国“复兴号”CR400 系列动车组列车的最高时速可达 400 km. 如果按最高时速计算，问：
(1) 60 min 可以运行多少千米
(2) t min 可以运行多少千米
解：(1) 60 min＝1 h，400×1＝400 (km).
(2) t min＝h，400×＝ (km).
答：60 min 可以运行 400 km， t min 可以运行km.
设计意图： 通过例题的探究，让学生进一步掌握用字母表示数或数量关系，加强学生的应用意识.
【随堂练习】
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.填空:
(1)比b的一半少3的数是___________；
(2)a的平方与b的平方的和是___________；
(3)a与b的和的平方是___________；
(4)一个两位正整数，它的十位数字是a，个位数字是b，则这个两位正整数可表示为___________；
(5)一个三位正整数，它的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，则这个三位正整数可表示为___________________.
答案：（1） 3;(2)a +b ;(3)(a+b) ;(4)10a+b;(4)100a+10b+c
2.如图是我们常用的直角三角板，则图中阴影部分的面积是( 　　)
A．ab-2πr B．
C． D．ab-πr2
答案：B.
3.小明上学骑自行车的速度是他步行速度的3倍，若小明的步行速度是vm/s，则他骑自行车的速度是多少
解：步行速度是vm/s，他骑自行车的速度是3vm/s．
4. 买一个篮球需要 x 元，买一个排球需要 y 元，买一个足球需要 z 元，用式子表示买 3 个篮球、5 个排球、2 个足球共需要的钱数.
解：买 3 个篮球、5 个排球、2 个足球共需要 (3x + 5y + 2z) 元．
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.
【课堂小结】
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.第二章 代数式
1 代数式的概念及列代数式
第2课时 列代数式
一、教学目标
1 . 在具体情境中，进一步理解字母表示数的意义.
2. 会根据实际问题正确地列代数式，并能理解一些简单代数式的实际背景和意义.
3.通过列代数式表示实际问题中的数量关系，体会用代数式表示数量和数量关系的简洁性与一般性.
4.经历从生活中发现问题解决问题的过程,进一步积累数学解决生活问题的经验，发展数学思维.
二、教学重难点
重点：正确地列代数式，并能解释代数式的实际背景和意义.
难点：构造现实情境，解释不同代数式的意义.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
教学过程设计
【创设情境】
教师活动：教师出示图片，引发学生思考，体会字母在生活中的用处.
一位医生研究得出由父母身高预测子女成年后身高的公式：儿子身高是由父母身高的和的一半，再乘 1.08；女儿的身高是父亲身高的 0.923 倍加上母亲身高的和再除以 2.
已知父亲身高 a 米，母亲身高 b 米，那么儿子和女儿的身高有多高？
师：在解决一些数学问题与实际问题时，往往需要先把问题中的数量关系用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是要列代数式.
设计意图：通过生活中的情境引入，引发学生思考，体会字母在生活中的用处，自然而然地引入本节课的知识.
【探究新知】
【做一做】
观察图，并完成下表：
分析：1个六边形需火柴棍6根，每增加1个六边形只需增加5根火柴棍.因此，围4个六边形需火柴棍6+5×(4-1)=21(根)，围m个六边形需火柴棍[6+5(m-1)]根
预设：6＋5×2＝11，6＋5×(4－1)＝21，6＋5×(m－1)
【说一说】
儿子身高是由父母身高的和的一半，再乘 1.08；女儿的身高是父亲身高的 0.923 倍加上母亲身高的和再除以 2.
已知父亲身高 a 米，母亲身高 b 米，那么儿子和女儿的身高有多高？
预设：儿子身高用代数式表示为：
女儿身高用代数式表示为：
设计意图：通过小组活动的形式进行探究做一做，找到相应的数量关系，列出代数式，激发学生不断的思考，提升学习兴趣，也加强了学生间的合作意识.
【应用新知】
例1 填空：
(1) 日平均气温可以用一天中 2:00，8:00，14:00，20:00 四个时刻气温的平均值来表示，若上述四个时刻的气温分别是 a ℃，b ℃，c ℃，d ℃， 则日平均气温是_____ ℃.
(2) 把 a 本科普书、b 本作文书、c 本文学书分给若干名学生，若每人 5 本，则剩余 3 本，由此可知学生人数为_____.
答案：(1) ;(2) .
归纳：
列代数式的方法：①抓关键词，明确问题中的意义及数量关系；
②找运算顺序，先读的先算，先算的先读；
③列代数式，注意书写顺序.
【做一做】
（1）某种商品每袋 4.8 元，在一个月内的销售量是 m 袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入.
预设：4.8m元
（2）圆柱体的底面半径、高分别是 r，h，用式子表示圆柱体的体积.
预设：圆柱的体积=πr h.
例2 为了增强公民节水意识，某市鼓励居民合理利用水资源，对自来水的水费实行阶梯水价，并实行“一户一表”计费. 对于 5 人及以下的家庭，规定如下：
(1) 若某个家庭（5人及以下）一年总用水量为 a m3，其中 a 不超过180，则该家庭一年的水费是多少？
(2)若某个家庭（5人及以下）一年中前十个月用水量为180m3，后两个月用水量为b m3 ，其中b不超过80，则这样的家庭一年的水费是多少？
解： (1) 由于一年总用水量为a m3，且 a 不超过180 ，因而其价格为每立方米2.07元，故这样的家庭一年的水费为 2.07a 元.
(2) 一年中前十个月的水费为2.07×180=372.6(元).
由于后两个月用水超过80 m3，于是全年用水量不超过260 m3.
又后两个月用水量为b m3，从而后两个月的水费为4.07b元，
因此这样的家庭一年的水费为(372.6＋4.07b)元，其中b不超过80.
【说一说】
结合生活实例说明代数式 25a 可以表示什么.
预设：如果苹果的价格是每千克 a 元，那么买25kg苹果需要 25a 元.如果小强跑步的速度是a m/s，那么他 25 s 所跑的路程为 25a m.
小结：代数式在不同情境中表示的意义不同.
例3 下列代数式可以表示什么？
（1）2a－b； （2）2(a－b).
解：（1）若篮球的单价是 a 元，足球的单价是 b 元，2a-b 可表示为卖两个篮球比买一个足球多花 (2a-b) 元；
（2）若某商店的一台学习机的售价为 a 元，进价为b 元，2(a-b) 可表示为卖出两台学习机给商店盈利 2(a-b) 元.
设计意图： 通过例题的探究，让学生巩固列代数式及代数式表示的意义，加强学生的应用意识.
【随堂练习】
教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.用代数式填空：
(1) 某阶梯教室第一排有8个座位，第二排有10个座位，以后每排都比它前一排多2个座位，那么第n排有___________个座位.
(2) 一批货物共 x t，第一天售出这批货物的 ，第二天售出剩下的一半，还剩下货物________ t.
(3)一件进价为x元的商品，卖出后利润率为25%，则这件商品的利润(利润＝进价×利润率)为_________.
答案：（1）;(2) x;(3)25%x
2.某商店购进每双m元的旅游鞋100 双，每双n元的皮鞋50 双，那么该商店一共需支付多少元？
答案：该商店一共需支付(100m+50n)元.
注意：后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来.
3.如图，小斌将边长为10的正方形纸片的4个角各剪去一个边长为x 的小正方形，其中x<5，求剩余部分的面积.
分析：
剩余部分面积＝正方形面积－裁剪部分面积＝10×10－4×x × x
解：剩余部分的面积为100－4x2
4.结合生活实例说明代数式 可以表示什么.
解：如果用a km/h表示小明骑自行车的速度，那么km表示他骑自行车半小时的路程.
设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.
【课堂小结】
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

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