资源简介

第一章 有理数
1.10有理数的乘方
本节课是冀教版（2024）七年级上册第一章第十节内容，乘方是有理数的一种基本运算，它既是有理数乘法的推广和延续，又是后续学习有理数的混合运算、科学计数法和开方的基础，起到承前启后、铺路架桥的作用.在有了小学平方、立方基础之上，让学生通过探究理解乘方的意义和概念，熟练掌握有理数乘方的运算.有理数的乘方是一种特殊（积中的每一个因数都相同）的乘法.乘方贯穿初中数学的始终，对整个初中学习十分重要.通过这一节课的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳能力，并向学生渗透细心的重要性，使学生充分体会数学与现实生活的紧密联系，渗透数学的简洁美、神奇美.
有理数的乘方是学生继有理数的“加、减、乘、除”四种基本运算后的一种运算，学生有了一定的计算能力，能解决一些简单的问题，具备进一步学习的基础和能力. 考虑到七年级学生的认知水平和结构以及思维活动特点，本节课采用多媒体直观教学法，联想比较、发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法和师生交流相结合的方法.七年级的学生数学学习还依赖于模仿，且好奇心、好胜心都较强.如果教师能以生活中学生身边的事例着手，以问题为导向，引导学生思考、讨论、探究、交流与合作，课堂气氛将活跃，使学生达到所要求的学习效果.
1.理解并掌握有理数乘方、幂、底数、指数的概念及意义；
2.能够正确进行有理数的乘方的运算；
3.培养学生观察、分析、归纳、概括的能力；经历从乘法到乘方的推广过程，从中感受转化的数学思想且加强学生的运算能力.
重点：理解并掌握有理数乘方、幂、底数、指数的概念及意义.
难点：能够正确进行有理数的乘方的运算.
情境导入
珠穆朗玛峰是世界最高峰，它的海拔高度约是8844米.把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰的高度，这是真的吗 这是真的吗？请你列式计算.
答案：对折1次：0.1×2＝0.2（mm）；
对折2次：0.1×2×2＝0.4（mm）；
对折3次：0.1×2×2×2＝0.8（mm）；
…；　　
对折30次：0.1×2×2×...×2（30个2）=107374182.4(mm)＝107374.1824(m)＞8844（m）.
师生活动：教师投影展示引入生活中的问题，与学生共同感受，涉及有理数的乘方，并引发学生的思考，激发学生兴趣.
设计意图：通过创设问题情境，吸引学生的注意力，唤起学生的的好奇心，激发学生的学习兴趣和主动学习的欲望，营造一个让学生主动思考、探索的氛围.
一起探究
问题：我们知道，1 m=10 dm，1 dm=10 cm，1 cm=10 mm.则有：
1 m=10 dm
=10×10 cm
=10×10×10 mm.
在这里，10×10，10×10×10都是相同因数相乘，为方便起见，可以怎么样表示呢？
答案：
10×10记作102;把10×10×10记作103.
追问：如何读呢？
102读作10的二次方(或10的平方);103读作10的三次方(或10的立方).
师生活动：学生独立思考，指定学生回答.
设计意图：通过长度单位的换算，帮助学生初步感受用乘方记数来自实际生活的需要，增强学生对数学与生活密切联系的认识
问题：请仿照上面的记数方法表示下列各式：
(1)5×5×5记作 ；
(2)(-4)×(-4)×(-4)×(-4)记作 ；
(3)(-)×(-)×(-)×(-)×(-)记作 ；
(4)m×m×m×m×m×m记作 .
答案：(1) 53；(2) (-4)4 ； (3) (- ；(4)m6.
注意：(1)书写表示次数的数字的位置和大小;(2)用乘方表示数的时候注意利用括号.
总结
一般地，n个相同的数a相乘，a×a×a×……×a（n个a），记作an，即a×a×a×……×a（n个a）=an.
求n个相同因数的积的运算叫做乘方.乘方的结果an叫作幂，在an中，a叫作底数，n叫作指数，
an读作a的n次幂(或a的n次方).
注意：一个数可以看作这个数本身的一次方.如5就是51.通常指数为1时可以省略不写.
师生活动：小组形式汇报.
设计意图：明确有理数乘方的概念和它表示的意义，会区分底数和指数，能正确地书写和读出有理数的乘方.
问题：（1）(-5)2的底数是 ，指数是 ， (-5)2表示2个 相乘，读作 的2次方，也读作－5的 .
(2) ()6表示 个相乘，读作的 次方，也读作的 次幂，其中叫作 ，6叫作 .
答案：(1)-5;2 ; -5;-5;平方
(2)6；6；6；底数；指数
师生活动：学生先独立思考，然后指定学生回答.
设计意图：加深对有理数乘方的概念和它表示的意义，能正确地区分底数和指数.
问题：观察下面两组算式，它们结果相等吗？为什么？
（1）(-4)2与-42； （2） 和 .
答案：
解：(1)不相等，(-4)2=(-4)×(-4)，表示2个-4相乘；-42=-(4×4)，表示2个4相乘的相反数；它们的底数不一样.
(2)不相等，()2 =×，表示2个相乘；=，表示是2个3的乘积与5的商.
注意：幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号！
师生活动：教师提出问题，学生认真听讲并跟着教师思路，分析题目进行思考.
设计意图：通过具体实例，让学生正确理解有理数乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念，
体现了从具体到抽象、从特殊到一般的思想.
问题：（1）请计算并填表：
（2）上表中计算结果的符号有什么规律？
答案：（1）
(2)正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
师生活动：学生先独立思考，再以小组形式汇报展示
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
应用举例
例题 计算： (1) (-4)3 ； (2) (-)4 ； (3) -26.
分析：an就是n个a相乘，可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.
解： (1) (-4)3 =(-4) ×(-4)×(-4)= -64；
(2) (-)4 = (-)×(-)×(-)×(-) = ；
(3) -26 =-2×2×2×2×2×2= -64.
师生活动：根据有理数乘方，教师与同学一起练习，巩固所学知识.有理数的乘方就是求几个
相同数的乘积，再考虑有理数的乘方运算结果时，既要考虑它的符号，又要考虑它的绝对值.
设计意图：通过讲解例题，让学生灵活掌握有理数乘方的知识，加深对乘方运算的理解和掌握.
课堂练习：
1.判断下列各式结果的符号：
(1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (4).
答案：(1)负； (2)负 ； (3)负 ；(4)正； (5)负.
2.计算：
(1)(-5)2 ； (2)(-)3 ； (3)(-)4； (4)(-)3；
(5)(-10)2 ； (6)(-10)3 ； (7)(-10)4 ； (8)(-10)7.
答案：25；-；；- ；100；-1000；10000；-10000000
师生活动：学生独立回答，指定学生回答.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，进一步加深对乘方运算的理解和掌握.
课堂检测
1.填表：
底数 -2 10
指数 5 4
幂
答案：；；-4 3；0.3 4；.
2.在横线上填“＞”或“＜”.
(1) 0; 0; 0.
(2) 0; 0; 0.
答案： ＞,＞,＞,＞，＜,＜.
3.填空：
（1） ;(2)-()2= ; (3) ;
（4） ;(5) ;(6) ;
（7） ;(8) ; (9) .
答案：（1）-9 ； （2）- ；（3）-125 ； （4）0.001 ； （5）-1 ； （6）-0.008 ；
（7）1 ； （8）-1 ； (9) .
师生活动：学生独立回答，指定学生回答.
设计意图：通过课堂检测巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容：
本节课你学到了什么？
有理数的乘方的意义是什么？
如何运用有理数的乘法进行运算呢？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
回家做一次拉面，对折捏合多少次能拉出128根面条呢？
本节教学通过珠穆朗玛峰与折纸的对比创设问题情境，激发学生的学习兴趣，对新知识的探究，使学生感悟生活中的数学，体现数学与现实生活的密切关系，自然地将学生的思维带入到整个教学过程中来.学生通过观察、探究、思考及与同学们交流合作，充分调动他们的学习积极性，参与到课堂教学中，进一步提高学生的逻辑推理能力与抽象概括能力. 在教师的启发诱导下自然过度到新知识的学习，接着层层设问，引出乘方以及与乘方有关的概念，采用归纳类比的方法把新旧知识联系起来，既有利于复习巩固旧知识，又有利于新知识的理解和掌握．对新知的运用采用精讲多练的形式，把课堂交给学生，使他们在练习中发现问题，解决问题，从而实现知识掌握与运用形成能力.为了及时反馈信息，设计了课堂检测的比赛形式，激发学生的参与意识，提高学生应用知识的能力，最后结合实践作业，向学生渗透数学文化，展示数学的神奇.

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