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第二章 几何图形的初步认识
2.4 线段的和与差
本节课《线段的和与差》是冀教版初中数学七年级上册第二章第4节的内容.这节课学生学习了步入初中以来的第一种图形计算，为今后学习角的和差计算等复杂图形计算做了铺垫.学生的知识架构中已经接触了计算和线段，有了一定的基础.在此基础上，进一步丰富学生数形结合的思想.
学生经过第一章有理数的学习已经对有理数的加减有了一定的基础，再将有理数的加减与线段的和差结合并不困难，但要求学生用数学语言准确的表达线段和差并解决有关问题，对学生来说却是难点.
1、通过操作，理解两条线段的和与差，并会进行线段和与差的计算. 发展数形结合思想.
2、通过观察与思考，理解线段的中点的定义，并会用数量关系表示线段的中点，培养计算能力和应用能力.
重点：通过操作，理解两条线段的和与差，并会进行线段和与差的计算. 发展数形结合思想.
难点：通过观察与思考，理解线段的中点的定义，并会用数量关系表示线段的中点，培养计算能力和应用能力.
情境引入
问题1：上节课我们学习了线段的长短，那同学们知道如何去计算两条线段相差多长吗？
答：将表示两条线段的长度的数进行加减法计算.
问题2：没错，我们知道，有理数可以加减，那么作为几何图形的线段，是否可以和有理数一样相加减呢？如果可以的话，要怎样进行加减呢？带着问题做一下知识链接的题目.
设计意图：采用类比教学法有利于学生理解新概念.
（1）小明住在A小区，小亮住在B小区，A小区距影院3km，B小区距影院5km，周末两人相约去影院看电影，两人共走多少千米？由此我们可以知道线段AM、MB、AB之间有怎样的关系
（2）小军也住在B小区，他骑车先去距离3km的N药店，再骑行多少千米才能到A小区的小明家？由此我们可以知道线段AB、NB、AN之间有怎样的关系
我们可以得到以下结论：两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的和（或差）.
今天我们就来学习线段的和与差.
一起探究
线段的和与差
线段有 个端点.
答案：两个.
2、画一条线段AB=1cm，并延长至C，使BC=1.5cm.
答案：
3、画一条线段MN=3cm，在MN上截取MP=2 cm
答案：
4、如图，已知两条线段a和b，且a＞b，你能分别作出线段等于a+b和a-b吗？
答案：
师生活动：教师提出问题后，让学生思考、画图，并在此基础上提出自己关于线段关系的猜想，通过结果的一致认识来确认猜想的成立，通过巡视，观察学生能否用符号表示这些线段之间的和差关系，学生能否理解线段的和差的意义.
设计意图：针对问题提出猜想，并通过实际操作画图，可以提高学生的画图能力.用符号表示线段的和差关系，遵循“几何模型一图形一文字一符号”的学习过程，在图形关系和线段的数量关系之间建立一种对应关系.
做一做
如图，已知线段a和直线l.
(1)在直线l上依次画出线段 AB=a，BC=a，CD=a，DE=a.
答：
(2)根据上述画法填空：
AC= AB，AD= AB，AE= AB；
AB= ，AB= ，AB= .
答：2；3；4；AC；AD；AE.（从左到右，从上到下）
线段中点
如图，AB=4，M是线段AB上一动点，若AM=4，则BM的长为多少？
点M在运动过程中，是否有一个特殊的位置使AM与BM恰好相等呢？此时，你能给点M起个名字吗？
线段中点的定义：
线段AB上的一点M把AB分成两条线段AM与MB.如果AM=MB，那么点M就叫作线段AB的中点.
符号表示：∵M是线段AB的中点, ∵AB=2 =2 ,
∴AB=2 =2 , AM= = ,
AM= = . ∴M是线段AB 的中点.
答案：BM=0；中点；AM；BM；BM；AB；AM；BM；BM； AB.
师生活动：教师提出问题，学生依次回答，在追问的过程中引导学生理解线段中点的含义，由教师指导学生书写规范的过程.
设计意图：通过动手操作，明确线段中点的概念，引导学生体会其对称性,感受对称图形的美.同时也在活动中让学生从图形和数量关系两个方面认识线段的中点，使学生感受数形结合的思想．
应用举例
例1：如图，已知线段a，b
（1）画出线段AB，使AB=a+b.
（2）画出线段MN，使MN=2a-b.
答：（1）
（2）
设计意图：让学生用直尺和圆规来完成画图过程，提高学生尺规作图能力.
例2：（1）如图，如果AB=CD，试说明线段AC和BD有怎样的关系？
答案：线段AC=BD.
理由：∵AB=CD,
∴AB+BC=CD+BC,
即AC=BD.
（2）如图，已知线段AB=8cm，点M在线段AB上，C是线段AM的中点，D是线段MB的中点.求线段CD的长度.
解：因为C是AM的中点，D是线段MB的中点,
所以CM=AM, MD= MB,
将这两个等式左右两边分别相加，得
CM+ MD=AM+MB,
即CD=(AM+MB)=AB,
因为AB=8cm，所以CD=AB=×8=4(cm).
师生活动：学生能得出结论，但部分学生不能用数学的语言表达思考过程，可通过小组合作、讨论交流，得出规范的表述，教师提出问题，通过巡视，观察学生能否进行简单推理,根据学生完成情况，适时指导，帮助学生完成推理过程.
设计意图：通过简单推理，培养学生用数学语言表达自己的思考过程的能力，经过探索、思考、归纳发现结论，初步感知几何证明的方法，进一步增强推理能力.
课堂练习
1. 如图，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，DB与AC有怎样的数量关系 DB与AD有怎样的数量关系
解：DB=AC；DB=AD
2. 如图，AB，BC，AC是三角形ABC的三条边.请画出线段MN=AB+AC-BC.由此，你能得到AB+AC与BC的大小关系吗
解：如图所示
结论：AB+AC>BC.
课堂检测
1.填空：
（1）AB+BC= ；
（2）DA=DC+ ；
（3）CD=AD- ；
（4）BD=CD+ =AD- .
答：（1）AC；（2）AC；（3）AC；（4）BC，AB.
如图，M 是线段 AC 的中点，点 B 在线段 AC 上，且 AB=4，BC=2AB，求线段 MC 和线段 BM 的长.
答：解：因为AB=4, BC=2AB, 所以BC=8,所以AC=AB+BC=4+8=12.
因为M是线段AC的中点，所以MC=AM=AC=6,所以BM=AM-AB=6-4=2.
3.如图，已知线段 a，b，c，请画出线段 AB，使 AB=a+3b -c.
解：(1) 作射线 AM；
(2) 在射线 AM 上截取 AC=a；
(3) 在射线 CM 上连续截取 CD=DE=EF=b；
(4) 在线段 FA 上截取 FB=c.则线段 AB 即为所求.
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
答案：线段的和与差，对线段中点的理解与简单应用.
2.你是通过怎样的过程学到的？
答案：经历了观察→猜想→验证→说理的过程.
思维导图如下：
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解线段的和与差，更好的深入对数学思维方式方法的体会.
本节课教学强调的是数形结合.在整节课教师始终坚持以学生为本，教师为辅的教学理念，结合学生的生活实际，激发学生的学习兴趣和求知欲，让学生在思考中进一步体会数形结合的思想.根据学生已有知识架构中的有理数加减，让学生类比到几何中的线段和差中，以此作为突破口，引入新的知识,让学生在观察和反思中学习线段和差的计算.在教学过程中，尝试采用观察思考与交流反思相结合的方式，让学生明确线段和差的计算过程，不仅要说清楚计算原理，更重要的是准确的写出计算过程，让学生经历探索活动，积累探索经验.在本节课的教学中，教师与学生创造了进行探究的时间和空间，让学生经历观察、想象、分析和推理过程，每一位学生亲自动手、体验和独立思考，从而使学生的空间想象能力和思维能力得以发展.

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