资源简介

第二章 几何图形的初步认识
2.7角的和与差
本节课是冀教版七年级(上册)第二章几何图形的初步认识第七节的内容.角的和与差是在学习了角的度量及角的大小的基础上,对角的数量关系作进一步探讨,角平分线的性质、补角和余角的性质也是今后学习有关角的知识重要依据.另外教材在此已开始对学生提出“说点儿理”的要求为以后推理证明题做准备,从而为学生进一步学习平面几何图形打下基础.
初一学生刚刚从小学升人初中,还以形象思维能力为主.遵循这一特点,应该充分利用学生己有的认知基础和他们已掌握的操作方法和方式,结合“观察、比较、操作、发现”的学法指导,引导学生在自己动手的过程中,利用知识的迁移,把新旧知识联系在一起,使学生抽象思维能力得到发展.同时教学时还应该针对不同层次的学生,给与不同层次的关注,实现有梯度层次的教学.
1.通过类比线段的和与差，理解两个角的和与差，会进行角的和差运算，进一步发展抽象能力，提高运算能力.
2.理解角平分线的概念，体会对称美，增强空间观念.
3.通过对角的大小关系的分析，理解余角和补角的概念，掌握余角和补角的性质，经历用数学语言表达问题的过程，形成一定的推理能力.
重点：角的和差运算，角平分线的意义，互余互补的概念与性质.
难点：角的度、分、秒经过换算后再进行运算及角平分线的应用.
情境引入
同学们，我们生活在一个千姿百态的图形世界里，我们已经研究了图形世界中的两个成员--线段和角,请同学们回想我们都学习了线段的哪些知识 角的哪些知识 类比线段的学习思路，我们将研究角的哪些内容
1.如图，线段AB上有一点M，则图中线段的关系是_____________________________________
2.如果点M为线段AB的中点，则___________________________________
A M B
师生活动：教师投影展示本章引入的问题，与学生共同回顾，引出本节课课题.
设计意图：让学生通过类比线段的和与差，探究角的和与差的学习方法和过程，引导学生自主学习.
一起探究
问题1:如图，在∠AOB的内部画射线OC,图中有哪几个角这些角之间有什么关系
答：三个角，关系：
∠AOC＋∠BOC=∠AOB，∠AOB－∠AOC=∠BOC，∠AOB－∠BOC=∠AOC.
问题2:若射线OC绕点O旋转，旋转到如图位置时，这些角之间有什么关系
答：∠AOC＋∠AOB=∠BOC，∠BOC－∠AOC=∠AOB，∠BOC－∠AOB=∠AOC.
师生活动:教师提出问题后，让学生思考、作答，通过巡视，观察学生能否用符号表示这些角之间的和差关系，学生能否理解角的和差的意义.
师生活动：学生独立思考分钟，然后组内交流，小组形式汇报.
设计意图：针对同一图形从不同角度提出问题，可以提高学生的读图能力.用符号表示角的和差关系，遵循“几何模型一图形一文字一符号”的学习过程，在图形关系和角的数量关系之间建立一种对应.
问题3：在射线OC绕点O旋转过程中，是否会出现∠AOB 恰好被分成相等的两部分呢？类比线段中点的定义，你能给此时的射线OC起个名字吗？
答：可以，角平分线.
设计意图：类比研究线段中点的思路，将射线OB的位置特殊化，引出角平分线的概体会知识的产生、发展过程，体现由一般到特殊的思想，完善学生的认知结构.
角的平分线的定义:如果从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成俩个相等的角，那么这条射线叫做这个角的角平分线.
符号表示:
∵射线OC是∠AOB的角平分线 ∵∠AOC=∠BOC=∠AOB
∴∠AOB=2∠AOC=2∠BOC ∴射线OC是∠AOB 的角平分线
∠BOC=∠AOC=∠AOB
问题4：已知一个角，你能得到这个角的平分线吗？用折纸法能得到角的平分线吗？
答：按下列步骤进行操作：
（1）在半透明的纸上画出∠AOB；
（2）折纸，使角的两边重合；
（3）把纸展开，以点O为端点，沿折痕画射线OP．
射线OP是∠AOB的平分线吗？说说理由．
师生活动：动手操作，展示成果，归纳方法（用量角器、折纸）．
设计意图:进一步明晰角平分线的概念，引导学生体会其对称性，感受对称图形的美．
问题5：1.请尝试用三角板拼出15°、75°的角.用一副三角板，你还能拼出哪些度数的角
答：135°、120°、150°等等，总结规律都是15°的倍数.
师生活动:教师通过提问，引导学生思考，学生试着独立完成，展示自己的成果.
设计意图：引导学生从数和形的角度理解角的和与差，也让学生对这些特殊角的大小有直观的认识，培养学生对角的大小的估计能力和动手操作能力，加深学生对角的和与差的理解.
应用举例
例1：已知∠1=103°24′28″，∠2=30°54′.求（1）∠1＋∠2 的度数.（2）∠1－∠2 的度数.
答：（1）∠1＋∠2 =133°25′22″. （2）∠1－∠2=73°23′34″
师生活动:学生思考如何计算，教师要关注学生是否灵活掌握度、分、秒之间的转化;是否理解解题过程中的进位与借位，展示学生的计算过程.
设计意图：在对时、分、秒及其运算已有认识的基础上，通过有关角的运算．巩固角的度、分、秒的运算.
例2：（1）如图所示，∠AOD=64°，∠DOC=26°，则∠AOC ，则我们就称∠AOD与∠DOC互为 .
（2）如图所示，∠AOD=64°，∠BOD=116°，则∠AOB ，则我们就称∠AOD与∠BOD互为 .
答：（1） 90° 余角 （2）180° 补角
师生活动:学生独立思考完成，教师关注学生能否正确计算余角和补角，能否从形上找到互余和互补的两个角.
设计意图：从形和数的角度巩固余角和补角的概念，进一步增强几何直观.
（3）①如果∠1和∠2都是∠α的余角，那么∠1和∠2相等吗 说明理由.
②已知∠1与∠2互余，∠3与∠4 互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4 相等吗 请试着说明理由.
答：①相等 理由：∵∠1＋∠α=90°，∠2＋∠α=90°，∴∠1=∠2.
②相等 理由：∵∠1＋∠2=90°，∠3＋∠4=90°，∠1=∠3，∴∠2=∠4.
归纳:同角(或等角)的余角相等.
（4）若将题中的互余改为互补，有什么结论 请说明理由.
归纳:同角(或等角)的补角相等.
余角和补角的性质:同角(或等角)的余角相等，同角(或等角)的补角相等.
师生活动:学生能得出结论，但部分学生不能用数学的语言表达思考过程，可通过小组合作、讨 论交流，得出规范的表述，教师提出问题，通过巡视，观察学生能否进行简单推理,根据学生完成情况，适时指导，帮助学生完成推理过程.
设计意图：通过简单推理，培养学生用数学语言表达自己的思考过程的能力，经过探索、思考、归纳发现结论，初步感知几何证明的方法，进一步增强推理能力.
课堂练习
1.若∠a＋∠b=90°，∠b＋∠c=90°，则∠a与∠c的关系是( )
A.互余 B.互补 C.相等 D.∠a=90°＋∠c
答：1. C
2.填空：
（1）61°40′的余角的度数为 .
（2）35°20′的补角的度数为 .
答：（1）28°20′ （2）144°40′
3.如图，已知∠AOB=180 ，OM是∠AOC的平分线，ON是∠COB的平分线.
（1）请指出图中所有互为补角的角.
（2）求∠MON的度数.
（3）请指出图中所有互为余角的角，并说明理由.
答：（1）互为补角的角有:∠AOM与∠BOM，∠COM与∠BOM，∠AOC与∠BOC，∠BON与∠AON，∠CON与∠AON.
（2）∵OM是∠AOC的平分线，ON是∠COB的平分线
∴∠MOC=∠AOC，∠NOC=∠COB
∴∠MON=∠MOC＋∠NOC=∠AOC＋∠COB=（∠AOC＋∠COB）
又∵∠AOC＋∠COB=∠AOB=180
∴∠MON=×180 =90
（3）∠AOM与∠CON互余，理由：∵∠MOC与∠NOC互余，而∠AOM=∠MOC，∴∠AOM与∠CON互余；∠AOM与∠BON互余，理由：∵∠MOC与∠NOC互余，而∠AOM=∠MOC，∠BON=∠CON，∴∠AOM与∠BON互余;∠MOC与∠BON互余，理由：∵∠MOC与∠NOC互余，而∠BON=∠NOC，∴∠MOC与∠BON互余.
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：通过习题进一步理解互余和互补的概念，会应用角平分线的知识解决问题，提高学生的逻辑推理能力及几何语言表达能力.
课堂检测
1．点P在∠MAN内，现有如下等式：①∠PAM＝∠MAN；②∠PAN＝∠MAN；③∠PAM＝∠PAN；④∠MAN＝2∠PAN.其中能表示AP是角平分线的等式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答：D
2.如图，填出符合下列等式的角：
（1）∠AOB＋∠BOC= ;
（2）∠BOC=∠BOD- ;
（3）∠AOD=∠AOB＋∠COD＋ ;
（4）∠BOD=∠DOA－∠COA＋ .
答：（1）∠AOC.（2）∠DOC.（3）∠BOC.（4）∠BOC.
3计算：
（1）12°59′57″＋57′58″； （2）97°3′12″－1°45′53″.
答：（1）70°55″.（2）95°17′19″.
4.已知∠α与∠β互补，且∠α=35 18′，则∠β=________.
答：144°42’
5.如图, OD平分∠BOC，OE平分∠AOC ,若∠BOC=70°，∠AOC=50°.
（1）求∠AOB及其补角的度数.
（2）求∠DOC和∠COE的度数.
答：（1）∠AOB=∠AOC＋∠BOC=50°＋70°=120° ,∠AOB的补角度数为180°－120° =60° .
（2）因为OD、OE 分别平分∠BOC和∠AOC，所以∠DOC=∠BOC=×70°=35°, ∠COE=∠AOC=×50°=25°, 因为∠DOE=∠DOC+∠COE，所以∠DOE=35°+25°=60°，因为∠DOE+∠AOB=60°＋120°=180°，所以∠DOE与∠AOB互补.
课堂总结
①这节课你学到了哪些知识？
答：角的和差运算、角平分线的概念以及余角、补角的性质.
②我们学习这个知识经历了怎样的过程？你从中学到了哪些经验？
答：通过对特殊角度之间关系进行分析，得到余角补角的性质，体会了由特殊到一般的研究思路和方法.
③你认为今天的知识可以解决哪些问题？
答：角的运算以及角之间的关系
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解，体会类比思想.
实践作业
在一张透明纸上任意画一个角∠AOB ,通过折叠、展开、铺平等步骤找出∠AOB角平分线.
通过类比线段的和与差学习角的和与差是本课时的重要教学设计理念.角的和与差不仅蕴含着代数的思想，也蕴含着几何思想.在本课时的教学过程中较好地渗透着这种设计理念，在角的和与差教学中，基本达到了预设的教学目标，学生通过观察思考和合作交流，理解了角的和与差的概念，并能进行简单的角的计算，根据新课标的要求，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。在教学过程中，引导学生观察、分析、归纳和推理，培养了学生的逻辑思维能力，取得了较好的教学效果.但也存在不足之处，对角的和与差的训练较少，没有放手让学生自己去主动尝试.应该多让学生自主探究，探究角平分线的性质.

展开更多......

收起↑