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4.5　等腰三角形
第2课时　等腰（边）三角形的判定
1.探索等腰三角形、等边三角形的判定定理.
2.掌握等腰三角形和等边三角形的判定定理的运用.
重点：理解等腰三角形、等边三角形的判定定理.
难点：运用等腰三角形、等边三角形的判定定理解决问题.
如图所示，在△ABC中，如果∠B＝∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？与等腰三角形的性质进行比较，有什么区别？
探究点一　等腰三角形的判定
【例1】
如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝36°，∠EDF＝40°，BD＝BE.求证：△CDF是等腰三角形.
【解析】根据三角形内角和定理，计算∠CDF，∠CFD的度数，确定∠CDF＝∠CFD即可得证.本题考查了等腰三角形的判定定理，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键.
【解】在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝36°，
所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－100°－36°＝44°.
因为BD＝BE，∠B＝36°，
所以∠BDE＝∠BED＝＝72°.
因为∠EDF＝40°，
所以∠CDF＝180°－∠BDE－∠EDF＝180°－72°－40°＝68°，
所以∠CFD＝180°－∠C－∠CDF＝180°－44°－68°＝68°，
所以∠CDF＝∠CFD，
所以CD＝CF，
所以△CDF是等腰三角形.
【方法总结】证明等腰三角形的方法：
（1）定义法：证明三角形中有两条边相等.
（2）等角对等边：证明三角形中有两个角相等.
【例2】
如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC.
（1）△AMN是否是等腰三角形？请说明理由.
（2）P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.
①求证：△BPM是等腰三角形；
②若△ABC的周长为a，BC＝b，求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）.
【解析】（1）由MN∥BC→∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB→∠AMN＝∠ANM→△AMN是等腰三角形.
（2）①由于MN∥BC，BP平分∠ABC→∠MBP＝∠MPB→BM＝MP；②同理可得NC＝NP→△AMN的周长＝AB＋AC.
【解】（1）△AMN是等腰三角形.理由：因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.
因为MN∥BC，
所以∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，
所以∠AMN＝∠ANM，所以AM＝AN，
所以△AMN是等腰三角形.
（2）①证明：因为BP平分∠ABC，
所以∠PBC＝∠PBM.
因为MN∥BC，所以∠MPB＝∠PBC，
所以∠MBP＝∠MPB，
所以BM＝PM，
所以△BPM是等腰三角形.
②因为CP平分∠ACB，所以∠PCB＝∠PCN.
因为MN∥BC，所以∠NPC＝∠PCB，
所以∠NCP＝∠NPC，
所以NP＝NC，
所以△AMN的周长＝AM＋MP＋NP＋AN
＝AM＋MB＋NC＋AN＝AB＋AC.
又因为△ABC的周长为a，BC＝b，
所以AB＋AC＝a－b，
所以△AMN的周长为a－b.
探究点二　等边三角形的判定
【例3】
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠D，点E在BA的延长线上，连接CE.若∠E＝60°，CE平分∠BCD，求证：△BCE为等边三角形.
【解析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理、等边三角形的判定定理，关键是由平行线的性质推出∠D＝∠EAD，由角平分线定义，三角形内角和定理推出∠E＝∠B＝∠BCE.
【解】因为AD∥BC，
所以∠EAD＝∠B.
因为∠B＝∠D，
所以∠D＝∠EAD，
所以BE∥CD.
因为∠E＝60°，所以∠ECD＝∠E＝60°.
又因为CE平分∠BCD，
所以∠BCE＝∠ECD＝60°，
所以∠B＝180°－∠E－∠BCE＝60°，
所以∠E＝∠B＝∠BCE，
所以△BCE为等边三角形.
【方法总结】等边三角形判定的方法技巧：
（1）如果已知三边关系，则选用等边三角形的定义来判定.
（2）若已知三角关系，则选用“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定.
（3）若已知是等腰三角形，则选用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定.
【例4】
如图，在△ABC中，若AB＝AC，∠BAC＝120°，点D，E在BC上，且AE＝BE.
（1）求∠CAE的度数.
（2）若AD＝CD，求证：△ADE是等边三角形.
【解析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，∠B＝∠EAB，然后根据角与角之间的关系即可求解.
（2）由三角形内角和的性质可得∠AEC＝60°，由题意及各角之间的关系得出∠DEA＝∠DAE＝∠ADE即可得到证明.
【解】（1）因为AB＝AC，∠BAC＝120°，
所以∠B＝∠C＝30°.
因为AE＝BE，所以∠B＝∠EAB＝30°.
因为∠BAC＝120°，
所以∠CAE＝∠BAC－∠EAB＝120°－30°＝90°.
（2）证明：由（1）知，∠CAE＝90°，∠C＝30°，
所以∠AEC＝60°.
因为AD＝CD，所以∠CAD＝∠C＝30°，
所以∠EAD＝90°－∠CAD＝60°，
所以∠ADE＝180°－∠EAD－∠AEC＝60°，
所以∠DEA＝∠DAE＝∠ADE，
所以△ADE是等边三角形.
第2课时　等腰（边）三角形的判定
1.等腰三角形的判定定理：定义法；等角对等边.
2.等边三角形的判定定理：定义法；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
本节课我们主要探索了等腰（边）三角形的判定定理.等腰（边）三角形作为三角形的一种特殊形态，其判定依据要灵活掌握.
　　本节课主要围绕等腰（边）三角形的判定方法进行讲解和练习，但对于等腰（边）三角形在实际问题中的应用拓展深度不够.今后应增加一些与现实生活紧密相关的应用题目，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高学生的学习兴趣和应用能力.

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