资源简介

4.6　线段的垂直平分线
第1课时　线段垂直平分线的性质和判定
1.理解线段垂直平分线的性质和判定，掌握文字语言、图形语言和符号语言的转化，培养学生表达能力和推理能力.
2.掌握证明线段垂直平分线的性质和判定定理的方法，培养学生类比能力和归纳能力.
3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生推理证明的意识和能力.
4.使学生在数学活动中体会到获得成功的体验，建立学习的自信心，培养应用意识.
重点：理解并掌握线段的垂直平分线的性质与判定定理.
难点：线段的垂直平分线的性质与判定定理的应用.
1.如图，直线l是线段AB的垂直平分线，在直线l上任取一点P.
试猜想点P到点A与点B的距离之间的数量关系.再换个位置取点，猜想还成立吗？请用手中的工具验证.
2.如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上.AB，AC，CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么数量关系？
探究点一　垂直平分线的性质
【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F.求∠A的度数.
【解析】先由垂直平分线的性质得出∠A＝∠ABE，再根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C.根据CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F可知，△BCE是等腰三角形，所以∠C＝∠BEC＝2∠A，利用△ABC的内角和即可求出∠A的度数.
【解】
如图，连接BE，设∠A＝x.
因为DE是AB的垂直平分线，
所以AE＝BE，
所以∠EBA＝∠A＝x.
因为BF是CE的垂直平分线，所以BE＝BC，
所以∠C＝∠BEC＝∠A＋∠EBA＝2x.
因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠C＝2x.
在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
即x＋2x＋2x＝180°，
所以x＝36°，即∠A的度数为36°.
探究点二　垂直平分线的判定
【例2】如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.请写出AD与EF的关系，并说明理由.
【解析】先利用角平分线和垂直得出角相等，再证△AED≌△AFD，易证AD垂直平分EF.
【解】AD垂直平分EF.
理由：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
所以∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD＝90°.
在△ADE和△ADF中，
所以△ADE≌△ADF（AAS），
所以AE＝AF，DE＝DF，
所以点A，D均在EF的垂直平分线上，即AD垂直平分EF.
【方法总结】当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化.
探究点三　垂直平分线的性质和判定的结合
【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上的一点，E是线段BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上.
【解析】已知
条件EF＝EA点E在AF的垂
直平分线上
【解】因为E是线段BD的垂直平分线上的一点，
所以BE＝DE，所以∠B＝∠D.
又因为∠ACB＝90°，
所以∠A＝90°－∠B，∠DFC＝90°－∠D，
所以∠DFC＝∠A.
又因为∠AFE＝∠DFC，所以∠AFE＝∠A，
所以EF＝EA，
所以点E在AF的垂直平分线上.
第1课时　线段垂直平分线的性质和判定
性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
通过本课时的学习，让学生理解垂直平分线的性质及判定定理，培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力，提升几何问题的分析与解决能力，掌握其判定方法.学生能够掌握垂直平分线的性质与判定定理，并将其应用于几何问题的解决中.
　　引导学生从知识内容、学习过程和学习方法等多个方面总结自己的收获，把握本节课的核心知识，回顾由特殊到一般的探究过程，体会类比方法在研究数学问题中的重要作用.本节课通过创设情境导入新课，在教学过程中，通过实验演示、猜想、几何推理证明等探索过程，引导学生在探索中发现线段垂直平分线的性质和判定定理.由观察比较到验证归纳，再到推理论证；由个别形象到一般抽象；由感性认识上升到理性认识，使学生的思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，进一步了解垂直平分线的性质与判定定理的应用.

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