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4.2.2　证明、举反例
1.了解命题、真命题、假命题、反证法的含义.
2.能运用定义、基本事实、真命题对一个命题进行推理论证，判断命题的真假.
3.要判定一个命题是真命题需要证明；要判定一个命题是假命题，只需举反例.奠定推论论证的基础.
4.使用反证法证明问题.
重点：利用举反例，判断命题为假命题.
难点：使用反证法证明问题.
王戎七岁时与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了李子，小伙伴们纷纷去摘李子，只有王戎站在原地不动.有人问他为什么不去摘，王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”摘来一尝，的确如此.
【问题】王戎怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
【提示】王戎的推理方法是假设李子不苦，则因“在道边”，李子早就被别人采摘了，这与“多子”产生矛盾，所以假设不成立，李为苦李.他运用了反证法.
探究点一　真假命题的判断
【例1】已知命题“若a＞b，则a2＞b2”.
（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例.
（2）写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假.若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例.
【解析】假命题：只要举出一个反例即可.
【解】（1）此命题为假命题.
反例：
示例：当a＝2，b＝－3时，有a＞b，但a2＜b2.
（2）逆命题：若a2＞b2，则a＞b.
此逆命题为假命题.
反例：
示例：当a＝－2，b＝－1时，有a2＞b2，但a＜b.
【方法总结】真假命题的判断及验证方法：
（1）对于真命题：当条件成立时，结论一定成立.要说明命题是真命题，要依据定义、基本事实等进行推理证明.
（2）对于假命题：当条件成立时，结论不一定成立.要说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
探究点二　反证法
【例2】如图，三条直线AB，CD，EF.如果AB∥EF，CD∥EF，想一想，直线AB与CD可能相交吗？为什么？
（1）假设直线AB与CD相交，设交点为P.
（2）因为AB∥EF，CD∥EF，于是经过点P的两条直线AB，CD都与EF平行，根据平行线的基本事实，这是不可能的.
（3）这就是说AB与CD不可能相交，只能平行.
上述（1）（2）（3）是一种推理过程，这种推理方法叫作反证法.
【解】已知：直线a，b如图所示.
求证：直线a，b相交时只有一个交点P.
证明：假设直线a，b相交时不止一个交点P.设其他交点中有一个为P'，则点P和点P'既在直线a上又在直线b上，
那么经过点P和点P'的直线就有两条，
这与“两点确定一条直线”相矛盾，
因此假设不成立，所以两条直线相交只有一个交点.
【方法总结】用反证法证明的三个步骤：
（1）否定结论：假设命题的结论不成立；
（2）导出矛盾：从假设出发，通过推理导出矛盾；
（3）肯定结论：由矛盾说明假设不成立，从而肯定命题结论成立.
4.2.2　证明、举反例
1.真假命题的判断方法：
真命题：当条件成立时，结论一定成立.假命题：当条件成立时，结论不成立.
2.使用反证法证明的三个步骤：否定结论，导出矛盾，肯定结论.
在证明与举反例的教学中，目标应设定为通过这两种方法加深学生对数学原理的理解和应用能力.然而，在实际执行过程中，需要平衡证明的严谨性和学生的可接受性，确保教学目标既具有挑战性，又贴近学生的实际水平.
　　在教学过程中，注重引导学生进行逻辑推理，培养他们的逻辑思维能力，使他们能够更好地理解和应用数学知识.鼓励学生积极尝试举反例来推翻错误的命题，通过实践来提升他们的批判性思维和问题解决能力.通过对证明、举反例教学的反思和总结，认识到明确教学目标、评估教学效果、识别存在的问题以及提出改进措施的重要性.这将有助于在未来的教学中更好地引导学生理解和掌握数学知识，提升他们的数学素养和思维能力.

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