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第5章　　　直角三角形
5.1　直角三角形的性质定理
第1课时　直角三角形的性质和判定
1.掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形.
2.探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质定理.
重点：掌握利用“两个锐角互余”判断三角形是直角三角形的方法.
难点：掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质定理的综合运用.
在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质.
问题1：如何用量角器验证直角？
问题2：如何用三角尺验证直角？
探究点一　直角三角形两锐角互余
【例1】如图，将Rt△ABC（∠B＝25°）绕点A顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C，A，B1在同一条直线上，那么旋转角等于（　　）
A.65° B.80° C.105° D.115°
【解析】因为在Rt△ABC中，∠B＝25°，∠C＝90°，
所以∠CAB＝65°.
由旋转的性质，得∠C1AB1＝∠CAB＝65°，且旋转角为∠CAC1.
因为点C，A，B1在同一条直线上，
所以∠CAC1＝180°－∠C1AB1＝180°－65°＝115°，
所以旋转角等于115°.
【答案】D
【方法总结】熟知直角三角形两个锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键.
探究点二　有两个角互余的三角形是直角三角形
【例2】如图所示，已知AB∥CD，∠BAF＝∠F，∠EDC＝∠E，求证：△EOF是直角三角形.
【解析】三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口.本题欲证△EOF是直角三角形，只需证∠E＋∠F＝90°即可，而∠E＝（180°－∠BCD），∠F＝（180°－∠ABC），由AB∥CD可知∠ABC＋∠BCD＝180°，问题即可得证.
【解】因为∠BAF＝∠F，∠BAF＋∠F＋∠ABF＝180°，
所以∠F＝（180°－∠ABF）.
同理，∠E＝（180°－∠ECD），
所以∠E＋∠F＝180°－（∠ABF＋∠ECD）.
因为AB∥CD，所以∠ABF＋∠ECD＝180°，
所以∠E＋∠F＝180°－×180°＝90°，
所以△EOF是直角三角形.
【方法总结】由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°.如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知另一个角为直角，即有两个角互余的三角形是直角三角形.
探究点三　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【例3】
如图，△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点.若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长.
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝AC，再根据四边形的周长公式计算即可得解.
【解】因为AD是高，E，F分别是AB，AC的中点，所以DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF＝AF＝AC＝×8＝4，所以四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18.
【方法总结】当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明.
探究点四　直角三角形性质的综合运用
类型一　利用直角三角形的性质证明线段关系
【例4】
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E.求证：FC＝2BF.
【解析】根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到△AFB为等腰三角形.又可求得∠B＝∠C＝∠BAF＝30°，进而求得∠FAC＝90°.取CF的中点M，连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行证明.
【解】如图，取CF的中点M，连接AF，AM.
因为EF是AB的垂直平分线，所以AF＝BF，所以∠BAF＝∠B.
因为AB＝AC，∠BAC＝120°，
所以∠B＝∠BAF＝∠C＝（180°－120°）＝30°，
所以∠FAC＝∠BAC－∠BAF＝90°.
在Rt△AFC中，∠C＝30°，M为CF的中点，
所以∠AFM＝60°，AM＝FC＝FM，所以△AFM为等边三角形，
所以AF＝AM＝FC.
又因为BF＝AF，所以BF＝FC，即FC＝2BF.
【方法总结】当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质定理，使用该性质定理时，要注意找准斜边和斜边上的中线.
类型二　利用直角三角形的性质解决实际问题
【例5】如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A，B，C，D处，球放在EF的中点O处，则游戏　　　　（填“公平”或“不公平”）.
【解析】游戏是否公平就是判断点A，B，C，D到点O的距离是否相等.四个直角三角形有公共的斜边EF，且O为斜边EF的中点.连接OA，OB，OC，OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，OA＝OB＝OC＝OD＝EF，即点A，B，C，D到点O的距离相等.由此可得出结论.
【解】公平
【方法总结】题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半”解题.
类型三　利用直角三角形的性质解动态探究题
【例6】如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点.
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A，B，C的距离的数量关系.
（2）如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，移动中保持AN＝BM.请判断△OMN的形状，并说明理由.
【解析】（1）由于△ABC是直角三角形，O是BC的中点，得OA＝OB＝OC＝BC.（2）由于OA是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得∠CAO＝∠B＝45°，OA＝OB，又AN＝MB，所以△AON≌△BOM，所以ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，于是有∠NOM＝∠AOB＝90°，所以△OMN是等腰直角三角形.
【解】（1）如图，连接AO.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O为BC的中点，所以OA＝BC＝OB＝OC，即OA＝OB＝OC.
（2）△OMN是等腰直角三角形.理由如下：因为AC＝BA，OC＝OB，∠BAC＝90°，所以∠NAO＝∠CAB＝∠B＝45°，AO⊥BC.又因为AN＝BM，OA＝OB，所以△AON≌△BOM（SAS），所以ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，所以∠NOA＋∠AOM＝∠MOB＋∠AOM，所以∠NOM＝∠AOB＝90°，所以△MON是等腰直角三角形.
【方法总结】解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和其他不变的数量关系.
第1课时　直角三角形的性质和判定
1.直角三角形的性质.
（1）直角三角形的两个锐角互余.
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.直角三角形的判定.
（1）一个角是直角的三角形是直角三角形.
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.
本节课我们学习了直角三角形的两个重要性质和两种判定方法.通过这些性质和判定方法的学习，我们可以更好地理解和识别直角三角形，为解决相关的几何问题提供有力的工具.
　　通过本节课的学习，我们深入了解了直角三角形的定义、性质.直角三角形的性质是数学中的重要内容，它们不仅在数学内部有着广泛的应用，如几何、代数等领域，而且在实际生活中也有着重要的作用，如工程测量、建筑设计等.因此，掌握直角三角形的性质对于我们的学习和生活都有着重要的意义.
通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用斜边上的中线解决问题.在今后的教学中应让学生不断强化提高这一点.

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