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5.1　直角三角形的性质定理
第2课时　含30°角的直角三角形的性质及其应用
1.理解并掌握含30°角的直角三角形的性质.
2.能利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
重点：含30°角的直角三角形的性质的掌握.
难点：利用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题.
同学们，思考一下，如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图.其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m.
问题：乘电梯从点B到点C上升的高度h是多少呢？
探究点一　含30°角的直角三角形的性质
【例1】
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，将△AEC沿AE折叠后得到△AED，且点D在AB上.若AB＝8，则AD的长为（　　）
A.6 B.5
C.4 D.3
【解析】本题考查了折叠的性质及含30°角的直角三角形的性质.先求出AC＝AB＝4，再根据△AEC沿AE折叠后得到△AED，所以AD＝AC＝4.
【答案】C
【方法总结】找含30°角的直角三角形是解决此题的关键.
探究点二　含30°角的直角三角形的性质的逆用
【例2】
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝2，则∠B的度数为（　　）
A.30° B.45°
C.60° D.75°
【解析】根据BC＝1，AB＝2得出BC与AB的数量关系，从而得出边BC所对的角是30°，再利用直角三角形两个锐角互余的性质求出∠B的度数为60°.
【答案】C
【例3】
如图所示，在四边形ACBD中，AD∥BC，AB⊥AC，且AC＝BC，求∠DAC的度数.
【解析】根据题意，得∠CBA＝30°，由平行得∠BAD＝30°，进而可得出结论.
【解】因为AB⊥AC，所以∠CAB＝90°.因为AC＝BC，所以∠CBA＝30°.因为AD∥BC，所以∠BAD＝∠CBA＝30°，所以∠DAC＝∠CAB＋∠BAD＝120°.
【方法总结】如果题中出现直角三角形且斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解.
探究点三　含30°角的直角三角形性质的应用
【例4】如图所示，一轮船由西向东航行，早上8时，在A处测得小岛P在北偏东75°的方向上，以每小时20nmile的速度继续向东航行，10时到达B处，并测得小岛P在北偏东60°的方向上.已知小岛周围22nmile内有暗礁，若轮船仍向东航行，有无触礁的危险？
【解析】过点P作AB的垂线PC，在Rt△BPC中可以求得∠PBC的度数是30°，可证明△APB是等腰三角形，即可求得BP的长，进而在Rt△BPC中，利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半，从而求得PC的长，即可确定继续向东航行是否有触礁的危险.
【解】如图，过点P作PC⊥AB于点C.
因为∠PAB＝90°－75°＝15°，∠PBC＝90°－60°＝30°，∠PBC＝∠PAB＋∠APB，
所以∠PAB＝∠APB＝15°，
所以BP＝AB＝20×2＝40（nmile）.
在Rt△PBC中，PC＝PB＝40×＝20（nmile），20＜22.
故若轮船仍向东航行，有触礁的危险.
【方法总结】方位角是遵循“上北下南，左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题.
第2课时　含30°角的直角三角形的性质及其应用
1.在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
2.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
含30°角的直角三角形的性质在数学和实际应用中都具有重要的意义.通过理解和掌握这些性质，我们可以更高效地解决与直角三角形相关的问题.
　　在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系.

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