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5.2　勾股定理及其逆定理
第3课时　勾股定理的逆定理
1.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
2.灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题.
重点：利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
难点：勾股定理及其逆定理的实际应用.
古埃及人曾经用如图所示的方法画直角.将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角.
问题：你知道这是什么道理吗？
探究点一　勾股定理的逆定理
类型一　判断三角形的形状
【例1】已知a，b，c为△ABC的三边，且满足（a－7）2＋（b－24）2＋（c－25）2＝0.试判断△ABC的形状.
【解析】可先确定a，b，c的值，然后再结合勾股定理的逆定理进行判断.
【解】由平方数的非负性，得a－7＝0，b－24＝0，c－25＝0，所以a＝7，b＝24，c＝25.又因为a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝252＝625，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.
【方法总结】此题主要依据“若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”来确定a，b，c的值.该知识点在解题时会经常用到，应注意掌握.
【例2】
如图，在△ABC中，BC＝8，D为BC边上的点，将△ACD沿AD折叠，得到△AED，且ED⊥BC，连接BE，S△BDE＝7.
（1）设BD＝a，CD＝b，求BE的长.
（2）若AB＝4，AC＝2，试判断△ABE的形状，并说明理由.
【解析】本题考查了翻折变换，三角形的面积，勾股定理及逆定理等知识.
（1）由翻折的性质可得DE＝CD＝b，根据勾股定理得BE2＝BD2＋DE2，然后根据S△BDE＝7，得BD·DE＝7，再整体代入计算即可解决问题.
（2）根据勾股定理的逆定理即可判断△ABE是直角三角形.
【解】（1）由翻折可知，DE＝CD＝b.
因为BC＝8，BD＝a，CD＝b，
所以DE＝CD＝b＝8－a.
因为ED⊥BC，
所以BE2＝BD2＋DE2＝a2＋（8－a）2＝2a2－16a＋64＝2（a2－8a）＋64.
因为S△BDE＝7，
所以BD·DE＝7，
所以a（8－a）＝14，
所以a2－8a＝－14，
所以BE2＝2（a2－8a）＋64＝2×（－14）＋64＝36，
所以BE＝6.
（2）△ABE是直角三角形.理由如下：
由翻折可知，AE＝AC＝2，
所以AE2＝（2）2＝52.
因为AB＝4，BE＝6，
所以AB2＋BE2＝16＋36＝52，
所以AB2＋BE2＝AE2，
所以△ABE是直角三角形.
类型二　利用勾股定理的逆定理解决网格中的问题
【例3】
如图，在5×7的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点（网格线的交点）上，AD为△ABC的中线，则AD的长为（　　）
A. B.
C. D.
【解析】依题意，得AB＝＝2，AC＝＝，BC＝＝5，所以AB2＋AC2＝BC2，所以∠BAC＝90°.
又因为AD为△ABC的中线，所以AD＝BC＝.
【答案】B
【方法总结】在网格图中求线段的长度时可以运用勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质定理来解答.
类型三　运用勾股定理的逆定理解决面积问题
【例4】如图，在四边形ABCD中，若∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积.
【解析】连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积.
【解】
如图，连接AC.因为∠B＝90°，所以△ABC为直角三角形，所以AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，所以AC＝10.在△ACD中，因为AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，所以AC2＋CD2＝AD2，所以△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝×6×8＋×10×24＝144.
【方法总结】将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度、三边长度等.
探究点二　勾股定理逆定理的实际应用
【例5】如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意.反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A，B两反走私艇的距离是5海里，反走私艇B距离走私艇C12海里，设MN与AC相交于点E.若走私艇C的速度不变，最早大约在什么时候进入我国领海（精确到分钟）？
【解析】已知走私艇的速度，求出走私艇的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海，所以现在的问题是要求出走私艇的距离.根据题意，CE即为走私艇所走的路程，△ABE和△EBC均为直角三角形，分别解这两个直角三角形即可得出.
【解】因为AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.由于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.由S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，得BE＝＝（海里），由CE2＋BE2＝BC2，即CE2＋＝122，得CE＝海里，所以÷13＝≈0.85（h）＝51（min），9时50分＋51分＝10时41分.
故走私艇C最早大约在10时41分进入我国领海.
【方法总结】本题考查了对题意的准确把握和勾股定理及其逆定理的实际应用，解题的关键是把实际问题转化为数学问题.
第3课时　勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.
2.利用勾股定理的逆定理求角和线段的长.
3.利用勾股定理的逆定理解决实际问题.
勾股定理的逆定理用于判断三角形是否为直角三角形.利用逆定理可以求角和线段长度，解决实际问题.掌握勾股定理的逆定理，能够帮助我们更好地理解和应用几何知识.
　　勾股定理的逆定理是判断三角形是否为直角三角形的一种重要方法，它体现了数与形之间的紧密联系.在学习过程中，要注重理解定理的本质和证明过程，同时要加强练习，提高应用能力.学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很熟练，需在以后的学习中逐步训练提高.

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