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5.7 用方程解决问题
【教学目标】
1．会正确分析题目中的数量关系，掌握列方程解决问题的方法，进一步熟练解方程的方法。
2．经历列方程解决简单的实际问题的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3．在学习活动中，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散思维能力，体会数学知识的应用价值。
【重点难点】
1．掌握列方程解决问题的一般步骤。
2．掌握方程的解法。
3．找出题中的等量关系，并根据等量关系列方程。
【方法指导】
1．教学方法：讲授法。
2．学习方法：练习法。
一、导入新课
1．解方程：会解各种类型的方程。
2．等量关系：常见的数量关系有哪些？
二、探究新知
1．列方程解应用题的一般方法
(1)理解题意，设未知数为x。
(2)找出等量关系列方程。
(3)解方程并检验作答。
【例1】(教材第72页例6)
(1)出示课本第72页例6的情境图。
师：同学们平时经常锻炼身体吗？你们平时都喜欢做哪些运动呢？
生：跑步、打羽毛球、打乒乓球、游泳、爬山。
师：同学们平时都应该多运动，增强体质。在学校举办运动会时，希望同学们也能积极参加。
(2)师：从题目中你们知道了哪些信息？要解决什么问题？学生可能会说出：小明的成绩为4.21 m，超过原纪录0.06 m。学校原跳远纪录是多少米？(板书)
(3)师：题目中有哪几个关键的数量呢？它们之间有怎样的关系？
组织学生在小组中讨论、交流，分析题中的数量关系。
学生交流汇报时，可能会说出：
①问题中的数量有原纪录、小明的成绩和超出部分。
②它们之间的关系：
小明的成绩－超出部分＝原纪录
小明的成绩－原纪录＝超出部分
原纪录＋超出部分＝小明的成绩
(4)同学们，你能根据前面分析的数量关系，解决这个问题吗？
学生先独立思考，解答问题，然后在小组中交流。
学生可能会列出以下的式子解答：
①4.21－0.06＝4.15(m)
②4.21－x＝0.06
③x＋0.06＝4.21
教师在学生汇报时，要求学生说说列出的式子是根据什么来列的。着重讲解第三种方法，并板书解答过程：
解：设学校原跳远纪录是x m。
x＋0.06＝4.21
x＋0.06－0.06＝4.21－0.06
x＝4.15
答：学校原跳远纪录是4.15 m。
(5)组织学生在练习本上检验。
强调：解方程时，一定不要忘了检验结果是否正确！
2．列方程解应用题
会根据题意列出形如ax±b＝c的方程并解答。
【例2】(教材第73页例7)
(1)出示教材第73页例7情境图。
观察图，并说说你们知道了哪些信息，要解决什么问题。
学生回答：
知道的信息：足球上黑色的皮都是五边形的，白色的皮都是六边形的；白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块。
解决的问题：黑色皮共有多少块？
已知条件：白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块；问题：黑色皮有多少块？
(2)引导学生利用例6的经验，自主列方程解答。
学生自主解答，教师指导。
学生汇报，教师根据汇报板书：
解：设黑色皮共有x块。
2x－4＝20
2x－4＋4＝20＋4
2x＝24
2x÷2＝24÷2
x＝12
答：黑色皮共有12块。
3．列形如(x±a)×b＝c的方程解决问题
根据题意，找出等量关系，列出方程并解答。
【例3】(教材第76页例8)
(1)出示教材第76页例8情境图。
师：观察图画，你们知道了哪些信息？能提出什么问题？
学生观察图画，交流画面信息，学生可能会说出：妈妈买苹果和梨各2 kg，共花费16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱？(板书)
(2)师：怎样列方程解决这个问题呢？
组织学生独立思考后，在小组中交流解决问题的思路。
①苹果的总价＋梨的总价＝总钱数
②两种水果的单价总和×2＝总钱数
(3)能自己解决这个问题吗？
让学生在练习本上独立列方程解决问题，教师巡视，辅导学生。
教师指2名学生分别用两种方法解答：
解法一：
解：设苹果每千克x元。
2x＋3.8×2＝16.4
2x＋7.6＝16.4
2x＋7.6－7.6＝16.4－7.6
2x＝8.8
2x÷2＝8.8÷2
x＝4.4
答：苹果每千克4.4元。
解法二：
解：设苹果每千克x元。
(x＋3.8)×2＝16.4
(x＋3.8)×2÷2＝16.4÷2
x＋3.8＝8.2
x＋3.8－3.8＝8.2－3.8
x＝4.4
答：苹果每千克4.4元。
教师质疑，引导学生理解两个方程的解答过程：
①解法一中要先算出什么？(3.8×2的积)
②解法二中先把什么看作一个整体？(x＋3.8)
4．列形如(a±b)x＝c的方程解决问题
(1)用方程解含有两个未知数的实际问题时，设其中1倍量(标准量)为x，另一个未知数用含有x的式子表示出来。
(2)形如ax±bx＝c的方程的解法。
解：(a±b)x＝c
x＝c÷(a±b)
【例4】(教材第79页例9)
(1)出示例9。
让学生观察信息，了解已知条件和所求的问题，找出题中的等量关系，列出方程并解决。
(2)让学生自主列方程解决，教师根据回答板书过程：
解：设陆地面积为x亿平方千米，那么海洋面积可以表示为2.4x亿平方千米。
x＋2.4x＝5.1
(1＋2.4)x＝5.1
3.4x=5.1
3.4x÷3.4＝5.1÷3.4
x＝1.5
解方程过程中，提问学生：(1＋2.4)x＝5.1是运用了什么运算律？(乘法分配律)
(3)求出陆地面积，海洋面积可以怎么求？
学生思考，回答：可能会用“总面积－陆地面积”来计算，即5.1－1.5＝3.6(亿平方千米)，也可能会用“陆地面积×2.4”来计算，即2.4x＝2.4×1.5＝3.6，这两种方法都要予以肯定。
5．用画线段图来解决行程问题
利用方程解决行程问题，可以通过画线段图来分析数量之间的关系，利用速度、时间和路程之间的数量关系列出方程解决问题。
【例5】(教材第78页例10)
(1)出示教材第78页例10情境图。
小林家和小云家相距4.5 km。周日早上9：00两人分别从家骑自行车相向而行，两人何时相遇？
(2)独立尝试，小组交流。
出示学习要求：①认真读题，找到已知条件和问题；②先独立思考，找到等量关系后再在组内交流；③选择一种数量关系，列出方程；④解方程并验证结果是否正确。
(3)全班交流。
教师根据汇报板书：
解法一：
小云骑的路程＋小林骑的路程＝总路程
解：设两人x分钟后相遇。
0.2x＋0.25x＝4.5
0.45x＝4.5
0.45x÷0.45＝4.5÷0.45
x＝10
答：两人10分钟后相遇。
解法二：
小林和小云的速度和×相遇时间＝路程
解：设两人x分钟后相遇。
(0.25＋0.2)x＝4.5
0.45x＝4.5
0.45x÷0.45＝4.5÷0.45
x＝10
答：两人10分钟后相遇。
【例1】李大妈家有150个鸡蛋，每8个装1盒，装完后还剩6个。这些鸡蛋已装了多少盒？
【解题点拨】本题的等量关系是已装的鸡蛋数＋剩下的鸡蛋数＝总蛋数。
【规范解答】设这些鸡蛋已装了x盒。
8x＋6＝150
8x＋6－6＝150－6
8x＝144
x＝18
答：这些鸡蛋已装了18盒。
【例2】一批零件，平均分给师徒两人加工，师傅每小时加工35个，徒弟每小时加工25个，5小时后，师傅完成了任务，问徒弟还有几小时完成任务？
【解题点拨】设徒弟还有x小时完成任务。由题意可知，师徒两人需要加工的零件数相同，则师傅每小时加工零件数×师傅加工的时间＝徒弟每小时加工零件数×徒弟加工的时间，据此列方程求解。
【规范解答】设徒弟还有x小时完成任务。
25×(5＋x)＝35×5
125＋25x＝175
25x＝50
x＝2
答：徒弟还有2小时完成任务。
【例3】妈妈买回一箱苹果，每天吃4个，则多出25个，每天吃6个，则少7个。妈妈买回多少个苹果？计划吃多少天？
【解题点拨】妈妈买回的苹果数量和计划吃的天数是一定的，每天吃6个需要的苹果总数比每天吃4个苹果的总数多(25＋7)个，可设计划吃x天，列方程解答。
【规范解答】设计划吃x天。
(6－4)x＝25＋7
2x＝32
x＝16
妈妈买回苹果的个数：4×16＋25＝89
答：妈妈买回89个苹果，计划吃16天。
【例4】一袋糖果平均分给小朋友们，如果每人分6颗，正好分完，如果每人分8颗，就有5个小朋友分不到。有多少个小朋友？
【解题点拨】设有x个小朋友。根据“每个小朋友分6颗，正好分完”可知，一共有6x颗糖果。又根据“每人分8颗，有5个小朋友分不到”可知，少了8×5＝40颗糖果。由此列方程求解即可。
【规范解答】设有x个小朋友。
8x－6x＝8×5
2x＝40
x＝20
答：有20个小朋友。
见教材课后练习和相应单元的练习部分。
本节课学习了用方程解决问题。
本节课是在学习了速度、时间和路程的数量关系的基础上进行求解的，用画线段图等方法可以更直观、清晰地分析数量关系。对部分学生来说，还不能很好地掌握画线段图的方法，由于课堂上的教学时间可能不够，因此可以在课前预习中提前准备。

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