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复数
知识点一 复数的概念
(1)定义：形如的数叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部(为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件
复数的分类 为实数
为虚数
为纯虚数
【例1】已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0 B．2 C．0或 D．
【答案】D
【解析】由复数为纯虚数，得，解得.故选：D.
【例2】下列命题中，正确命题的序号是（ ）
①若，则是纯虚数；
②若且，则；
③若是纯虚数，则实数；
④两个虚数不能比较大小.
A．①③ B．② C．③④ D．④
【答案】D
【详解】①中，当时，为实数，所以不正确；
②中，由，因为虚数不能比较大小，所以不正确；
③中，由是纯虚数，可得，解得，所以不正确；
④中，由虚数不能比较大小，所以两个虚数不能比较大小是正确的.故选：D.
【例3】已知复数（为虚数单位），求适合下列条件的实数的值；
为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数．
【答案】(1)或；；(2)且；；(3)；(4)
【详解】（1）当为实数时，，解得或；
（2）当为虚数时，，解得且；
（3）当为纯虚数时，，解得.
变式1（多选题）下列命题中，不正确的是（ ）
A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数
C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则
变式2 已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数的值；
(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数.
知识点二 复数的加、减、乘、除的运算法则
设，则
(1)
(2)
(3)
i的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i其中n∈N*，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
【例4】若，则复数z的虚部为（ ）
A．-5 B．5 C．7 D．-7
【答案】A
【详解】依题意，，故z的虚部为-5，故选：A
【例5】复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，因此，.故选：C.
变式3 已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
变式4 ____________
知识点三 复数相等与共轭复数
复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为:
（1）当Δ≥0时，x＝；
（2）当Δ<0时，x＝.　　
注：实系数方程的虚数根必共轭成对出现
复数相等：
共轭复数：，则，把称为共轭复数。
共轭复数的运算性质：①；②；③
【例6】已知，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【详解】因为，所以，
由复数相等的充要条件得，所以.故选：C.
【例7】若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设复数，则，
则，则，，所以．故选：C.
【例8】复数满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】由，可得，则，解得，
所以，故选项A，D正确.
当时，，当时，，故选项B正确，选项C错误.
故选：ABD.
变式5 已知复数（其中为虚数单位），则实数_________．
变式6 已知复数 ，且，其中a，b为实数，则（ ）
变式7 若复数满足，则其实部为__________.
【例9】（多选题）若是关于的方程的一个复数根，则（ ）
A．
B．
C．的共轭复数为
D．关于的方程的另一个复数根为
【答案】AB
【详解】是方程的一个复数根，则，
整理得到，故，解得，
对选项A：，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：，共轭复数为，错误；
对选项D：，解得或，错误.
故选：AB
变式8 （多选题）在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（ ）
A． B． C． D．
知识点四 复数的模
1.概念：，则，把称为复数的模。
2.运算性质有：
①；②；③；④.
【例10】已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，，，
所以，所以，
所以，所以．
【例11】已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】设，则，则，即，
所以，解得，所以，所以的共轭复数的虚部为，故选：B.
【例12】（多选题）设，是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则或. B．若且，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【详解】选项A：若则所以或则或故A正确；
选项B；，又，则；故B正确；
选项C；设则
若，则C正确；
选项D：取则但；则D错误；
故选：ABC
变式9 已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
变式10 已知复数z满足，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
变式11（多选题）设为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
知识点五 复数的几何意义
复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系．
复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是.
加法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数
减法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
【例13】复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】复数在复平面内对应的点为，则
，故选：.
【例14】在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，∵复数与对应的点关于虚轴对称对称，∴．故选：D．
变式12 已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
两个复数的差的模的几何意义
|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．即设复数在复平面内对应的点分别是，则=
一般地，设复数对应的点分别是,则复数z对应的点Z的轨迹如下：
① 若，则为圆；
② 若，则为圆环，但不包括边界；
③ 若，则为垂直平分线；
【例15】设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．、
【答案】C
【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，
由图可知，.故选：C
【例16】（多选题）已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为3 D．的最小值为3
【答案】ABD
【详解】对A：为纯虚数，可设选项A正确；
对B：设，，
则，即，
则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，，选项B正确；
对C：为纯虚数，对应点在轴上（除去原点），所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
的取值范围为，无最小值，选项C错误；
对D： ，表示点到以为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，
为纯虚数或0，在轴上（除去点），
当时取得最小值3，∴选项D正确.
故选：ABD．
【例17】（多选题）设，，为复数，且，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面对应的点在一条直线上
【答案】ACD
【详解】设，，，
对A， 若，即，则，
所以，，故A正确；
对B，若，则，而，故B错误；
对C，，，
所以，即，
因为，，则至少有一个不为零，
不妨设，由，可得，
所以，，即，，故C正确；
对D，由，可得，
所以，又不全为零，
所以表示一条直线，即在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.
故选：ACD.
变式13 如果复数z满足，那么的最大值是______ ．
变式14 （多选题）已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z为实数 B．若，则
C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数
变式15（多选题）设为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则的最大值为2 D．若，则
课后练习答案解析
1．已知复数满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．若复数，其中是虚数单位，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
5．若虚数是关于x的方程的一个根，且，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
6．（多选题）已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则且
B．方程可能有两个实数根
C．时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根，则或
关于x的方程的复数解为，，则（ ）
A．
B．与互为共轭复数
C．若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限
D．若，则的最小值是3
8．（多选题）下列关于复数的命题不正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
9．在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为____________.
10．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.
11．已知复数，其中i为虚数单位.
(1)若复数z为纯虚数，求m的值；
(2)若，求m的值.
12．已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，则的最小值为1
13.已知复数（，i为虚数单位），z在复平面上对应的点在第四象限，且满足．
(1)求实数b的值；
(2)若复数z是关于x的方程（，且）的一个复数根，求的值.
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复数
知识点一 复数的概念
(1)定义：形如的数叫做复数，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部(为虚数单位)．
(2)分类：
满足条件
复数的分类 为实数
为虚数
为纯虚数
【例1】已知，若复数是纯虚数，则（ ）
A．0 B．2 C．0或 D．
【答案】D
【解析】由复数为纯虚数，得，解得.故选：D.
【例2】下列命题中，正确命题的序号是（ ）
①若，则是纯虚数；
②若且，则；
③若是纯虚数，则实数；
④两个虚数不能比较大小.
A．①③ B．② C．③④ D．④
【答案】D
【详解】①中，当时，为实数，所以不正确；
②中，由，因为虚数不能比较大小，所以不正确；
③中，由是纯虚数，可得，解得，所以不正确；
④中，由虚数不能比较大小，所以两个虚数不能比较大小是正确的.故选：D.
【例3】已知复数（为虚数单位），求适合下列条件的实数的值；
为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数．
【答案】(1)或；；(2)且；；(3)；(4)
【详解】（1）当为实数时，，解得或；
（2）当为虚数时，，解得且；
（3）当为纯虚数时，，解得.
变式1（多选题）下列命题中，不正确的是（ ）
A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数
C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则
【答案】BCD
【详解】由复数的定义可知A命题正确；
形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误；
若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误；
两个虚数不能比较大小，故D命题错误．故选：BCD．
变式2 已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数的值；
(1)z为实数；(2)z为虚数；(3)z为纯虚数.
【答案】(1)或；(2)且；(3)
【详解】（1）当为实数时，，解得或；
（2）当为虚数时，，解得且；
（3）当为纯虚数时，，解得.
知识点二 复数的加、减、乘、除的运算法则
设，则
(1)
(2)
(3)
i的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i其中n∈N*，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
【例4】若，则复数z的虚部为（ ）
A．-5 B．5 C．7 D．-7
【答案】A
【详解】依题意，，故z的虚部为-5，故选：A
【例5】复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，因此，.故选：C.
变式3 已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ；故选：B.
变式4 ____________
【答案】/
【详解】，，
.故答案为：
知识点三 复数相等与共轭复数
复数范围内实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为:
（1）当Δ≥0时，x＝；
（2）当Δ<0时，x＝.　　
注：实系数方程的虚数根必共轭成对出现
复数相等：
共轭复数：，则，把称为共轭复数。
共轭复数的运算性质：①；②；③
【例6】已知，则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【详解】因为，所以，
由复数相等的充要条件得，所以.故选：C.
【例7】若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设复数，则，
则，则，，所以．故选：C.
【例8】复数满足，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】由，可得，则，解得，
所以，故选项A，D正确.
当时，，当时，，故选项B正确，选项C错误.
故选：ABD.
变式5 已知复数（其中为虚数单位），则实数_________．
【答案】
【详解】由题意可知，，解得,所以实数.
变式6 已知复数 ，且，其中a，b为实数，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】因为 ，所以，
由，得 ，即 ；故选：B.
变式7 若复数满足，则其实部为__________.
【答案】2
【详解】设，依题意，，即，
所以，解得，所以的实部为.故答案为：
【例9】（多选题）若是关于的方程的一个复数根，则（ ）
A．
B．
C．的共轭复数为
D．关于的方程的另一个复数根为
【答案】AB
【详解】是方程的一个复数根，则，
整理得到，故，解得，
对选项A：，正确；
对选项B：，正确；
对选项C：，共轭复数为，错误；
对选项D：，解得或，错误.
故选：AB
变式8 （多选题）在复数范围内关于的实系数一元二次方程的两根为，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】因为且实系数一元二次方程的两根为，
所以，可得，故B正确；
又，所以，故A错误；
由，所以，故C错误；
，故D正确.故选：BD
知识点四 复数的模
1.概念：，则，把称为复数的模。
2.运算性质有：
①；②；③；④.
【例10】已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，，，
所以，所以，
所以，所以．
【例11】已知复数满足，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】设，则，则，即，
所以，解得，所以，所以的共轭复数的虚部为，故选：B.
【例12】（多选题）设，是复数，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则或. B．若且，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ABC
【详解】选项A：若则所以或则或故A正确；
选项B；，又，则；故B正确；
选项C；设则
若，则C正确；
选项D：取则但；则D错误；
故选：ABC
变式9 已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设（，），则由得，，
∴，
∴，解得，∴，∴.故选：B.
变式10 已知复数z满足，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】A
【详解】设，，，，
，，.故选：A
变式11（多选题）设为复数，则下列命题中一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】BC
【详解】对于A项，取，时，，但虚数不能比较大小，故A项错误；
对于B项，由，得.
又，，所以，故B项正确；
对于C项，因为，所以，故C项正确；
对于D项，取，，满足，但是，故D项错误.故选：BC.
知识点五 复数的几何意义
复数与复平面内的点及平面向量是一一对应关系．
复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是.
加法 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线OZ所表示的向量所对应的复数
减法 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量所对应的复数
【例13】复数在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】复数在复平面内对应的点为，则
，故选：.
【例14】在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，∵复数与对应的点关于虚轴对称对称，∴．故选：D．
变式12 已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由对应点为，则对应点为，故，所以.故选：D
两个复数的差的模的几何意义
|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离．即设复数在复平面内对应的点分别是，则=
一般地，设复数对应的点分别是,则复数z对应的点Z的轨迹如下：
① 若，则为圆；
② 若，则为圆环，但不包括边界；
③ 若，则为垂直平分线；
【例15】设是复数且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．、
【答案】C
【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，
由图可知，.故选：C
【例16】（多选题）已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为3 D．的最小值为3
【答案】ABD
【详解】对A：为纯虚数，可设选项A正确；
对B：设，，
则，即，
则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，，选项B正确；
对C：为纯虚数，对应点在轴上（除去原点），所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
的取值范围为，无最小值，选项C错误；
对D： ，表示点到以为圆心，以2为半径的圆上的点的距离，
为纯虚数或0，在轴上（除去点），
当时取得最小值3，∴选项D正确.
故选：ABD．
【例17】（多选题）设，，为复数，且，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平面对应的点在一条直线上
【答案】ACD
【详解】设，，，
对A， 若，即，则，
所以，，故A正确；
对B，若，则，而，故B错误；
对C，，，
所以，即，
因为，，则至少有一个不为零，
不妨设，由，可得，
所以，，即，，故C正确；
对D，由，可得，
所以，又不全为零，
所以表示一条直线，即在复平面对应的点在一条直线上，故D正确.
故选：ACD.
变式13 如果复数z满足，那么的最大值是______ ．
【答案】2＃＃＋2
【详解】设复数z在复平面中对应的点为
∵，则点到点的距离为2，即点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆
表示点到点的距离，结合图形可得
故答案为：．
变式14 （多选题）已知复数z，下列说法正确的是（ ）
A．若，则z为实数 B．若，则
C．若，则的最大值为2 D．若，则z为纯虚数
【答案】AC
【详解】设，则，
若，即，即，则z为实数，故A正确；
若，即，
化简可得，即，即，
当时，，，此时不一定满足，
当时，，，此时不一定满足，故B错误；
若，即，
所以，即表示以为圆心，以为半径的圆上的点，
且表示圆上的点到原点的距离，所以的最大值为2，故C正确；
若，即，
，即，
化简可得，则且，
此时可能为实数也可能为纯虚数，故D错误；
故选：AC
变式15（多选题）设为复数，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C．若，则的最大值为2 D．若，则
【答案】ACD
【详解】设，
选项，，，故选项正确；
选项，，，故选项错误；
选项，，则，
又，则当时，有最大值2，故C正确；
D选项，，则.
又，则，故D正确.
故选：.
课后练习答案解析
1．已知复数满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的除法、模长运算化简复数，再结合复数的几何意义即可得答案.
【详解】由得，
∴复数z在复平面内对应的点为，
∴复数z在复平面内对应的点所在的象限为第四象限．
故选：D．
2．若，则z的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数乘法可得，根据复数的运算结合的性质分析运算，即可得结果.
【详解】∵，
则，
故z的虚部.
故选：B.
3．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知可求得，进而得出，然后计算复数的模即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，，所以，.
故选：D.
4．若复数，其中是虚数单位，则的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】根据题意，结合复数的几何意义，画出图形，即可得到结果.
【详解】
由题意可得，对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，对应的点为，如上图所示，则
故选:C
5．若虚数是关于x的方程的一个根，且，则（ ）
A．6 B．4 C．2 D．1
【答案】C
【分析】设复数，将其代入方程求得，，然后利用复数即可求解.
【详解】设（且），代入原方程可得．
所以，解得，因为，所以．
故选：C．
6．（多选题）已知方程，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则且
B．方程可能有两个实数根
C．时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根，则或
【答案】AD
【详解】解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有，则有，，即且，故A正确；
B选项：方程可变形为：，
即，则，只有一解，故B错误；
C选项：当且时，方程仅存在一解，此时无纯虚根，故C错误；
D选项：若方程存在实数根，则，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正确
故选：AD
关于x的方程的复数解为，，则（ ）
A．
B．与互为共轭复数
C．若，则满足的复数z在复平面内对应的点在第二象限
D．若，则的最小值是3
【答案】BD
【详解】因为，因此不妨令方程的复数解，
对于A，，A错误；
对于B，与互为共轭复数，B正确；
对于C，，由，得，
则复数z在复平面内对应的点在第四象限，C错误；
对于D，设，由，得，显然有，由选项A知，
因此，当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：BD
8．（多选题）下列关于复数的命题不正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
【答案】ABD
【详解】A：令，满足，
而，不成立，故A错误；
B：由选项A的分析可知，不成立，故B错误；
C：设，则，
，
又，
所以，即，故C正确；
D：设，则，得，
，，所以不成立，故D错误.
故选：ABD.
9．在复平面内，已知复数满足，为虚数单位，则的最大值为____________.
【答案】6
【分析】将问题化为定点到圆上点距离的最大值，即可求解.
【详解】令且，则，即复数对应点在原点为圆心，半径为1的圆上，
而，即点到定点距离的最大值，
所以的最大值为.
故答案为：
10．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.
【答案】
【分析】利用复数的几何意义知复数对应的点到点的距离满足，表示复数对应的点到点的距离，数形结合可求得结果.
【详解】复数满足，即
即复数对应的点到点的距离满足
设，表示复数对应的点到点的距离
数形结合可知的最大值
故答案为：
11．已知复数，其中i为虚数单位.
(1)若复数z为纯虚数，求m的值；
(2)若，求m的值.
【答案】(1)或；(2)
【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以满足，解得:或.
（2）设，则，将其代入，
则，整理得:，
且，解得:，或，
或，
解得:
12．已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，则的最小值为1
【答案】ACD
【详解】对于A，设，则，故A正确；
对于B，令，满足，故B错误；
对于C，设，，则
，所以，故C正确；
对于D，设，则，
即，表示以为圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.
故选：ACD
13.已知复数（，i为虚数单位），z在复平面上对应的点在第四象限，且满足．
(1)求实数b的值；
(2)若复数z是关于x的方程（，且）的一个复数根，求的值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）∵z在复平面上对应的点在第四象限，∴，
∵，∴，∴；
（2）（由题可知，为关于x方程的两个复数根，
∴，解得，
∴；
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