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恒等变换的化简思路
三角函数化简的目的：通过化简求出的最终解析式，从而可以继续研究函数的单调性，对称性，函数的值域等性质。那么这就有一个前提就是必须把所有含的三角函数统一成相同的角度（也就是说统一成），而且最终的形式一定是转化为二次函数或者可以用辅助角合并成一个三角函数。
恒等变换： 这个式子的阶数为，在恒等变换（升幂降幂）的过程中不变的是阶数。
一阶 ，
二阶
口诀：同阶降幂扩角，跨阶升幂缩角；
具体统一角度的步骤如下：
（一）若为同阶
1．首先使用降幂（升幂）公式将次数均化为一次。
2．最后辅助角公式合并成一个三角函数。
【例1】函数的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】，
所以当，即，即，时，
取得最大值，故选：C.
【例2】已知函数f(x)=，化简
【详解】函数f(x)=
，
变式1 （1）已知函数．化简
【详解】，
（2）函数．化简
【详解】（1）
，
（3）化简：.
【详解】，
（4）化简：．
【详解】，
【例3】已知函数.化简
【详解】
变式2 （1）已知。化简
【详解】
，
（2）化简：．
【详解】
（3）化简：
【详解】
,
（二）若为跨阶
将高阶均转化为二次幂。（与低阶同名的三角函数的二次幂形式）
【例4】函数的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】由题意可得：，
令，则的对称轴为，
∴当时，取到最大值，
故函数的最大值为.
故选：D.
变式3 已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，
即，解方程得或（舍）.
因为，所以，，
所以.
故选：D
【例5】已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，则，则，
令，
所以，，则，
则，
函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，
当时，；当时，，则.
因此，当时，则函数的值域为.
故选：D.
变式4 函数的值域为_____________．
【答案】
【详解】令，，
则，即，所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
恒等变换的应用
【题型一】求函数值域
【例1】已知函数在区间上的最小值为．
(1)求常数的值；
(2)将函数向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数，请求出函数，的单调递减区间．
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）因为，
当时，，所以，则，
因为的最小值为，所以；
（2）由（1）得，，
将函数向右平移个单位得到，
再向下平移个单位，得到函数，
令，，则，，
即的单调递减区间为，，
由可得函数在上的单调递减区间为，
变式1已知函数的最大值为1．
(1)求实数a的值及函数的单调递减区间；
(2)若将函数图象上所有的点向上平移1个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域．
【答案】(1)实数a的值为，单调递减区间为，，(2)
【详解】（1）函数．
因为的最大值为1，所以当时，，则，
故实数a的值为．所以．
令，．解得，．
即函数的单调递减区间为，．
（2）将图象上所有的点向上平移1个单位长度得到的图象，
再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，
然后向右平移个单位长度得到的图象．
因为，所以，则，
所以，即函数的值域为．
【例2】已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则，
所以，且，又的值域为，所以，即实数的取值范围为.
故选：C.
变式2（多选）若函数在区间的最大值为2，则的可能取值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】CD
【详解】解：因为，
所以当时，即，，
又因为，所以，所以的可能取值为.
故选：CD.
【题型二】恒成立
【例3】已知函数，.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若在上恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为，，(2)
【详解】（1）解：.
由，，解得，，
所以函数的单调增区间为，.
（2）解：由得，所以，即，
因为在上恒成立，所以.
又因为，则，所以的取值范围为.
【例4】已知函数
（1）若函数，求函数在区间上的值域；
（2）若恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）由诱导公式，，，
知，
由，则，
故，则.
故在区间上的值域为.
（2）∵，
∴当时，，∵恒成立，
等价于，∴，即，解得，
∴实数的取值范围为．
变式3 已知函数．已知．
（1）求的最值及相应的值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），最大值，，最小值0；（2）
【详解】（1）由，得，所以，所以，
当时，即时，，
当时，即时，，
（2）由（1）结论可得，所以，
所以，即的取值范围是．
【例5】已知函数，.
(1)求函数的对称轴；
(2)解不等式；
(3)若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，(2)，(3)
【详解】（1）解：，
由可得，所以，函数图象的对称轴方程为.
（2）解：由可得，
所以，，解得，
所以，不等式的解集为.
（3）解：由得，
因为可得，则，则，
令，
因为，所以，，所以，，，
因为函数、在上单调递增，所以，函数在上为增函数，
所以，，即.
变式4 已知函数，．
(1)求函数的严格减区间；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：因为，
因为，则，由可得，所以，函数的严格减区间为.
解：由（1）可知，，则，
所以，，即，所以，，
由可得，所以，，所以，，
因此，实数的取值范围是.
【例6】已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且．
(1)求的值及函数在上的最小值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，最小值为，(2)
【详解】（1）解：函数，
则，
因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且，
所以，函数的最小正周期为，则，
可得．
由，得，所以，，
所以，，故函数在上的最小值为．
（2）解：设，因为，所以．
因为不等式恒成立，设，
所以在上恒成立．
则，即，
解得，故的取值范围为．
【例7】已知函数，．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数在区间上的最值，及取得最值时x的值．
(3)若，都有恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，(2)最大值为1，此时；最小值为，此时；(3)
【详解】（1）因为
，
令，则，
故函数的单调递增区间为.
（2）当时，，
由于在单调递减，在单调递增，
当，即时，,取得最小值；
当时，；
当，即时，取得最大值；
（3）若，都有恒成立，即，
由（2）可知，
故，即实数m的取值范围为.
变式5 已知函数 且在区间上有且只有两个零点.
(1)求的值;
(2)若，，使，求的取值范围.
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）
，
当时，，故有，解得，
由，故；
（2）由，故，
，，使，即，
由，故，故，
由，故，故有，，
或，，或且，，
对，解得，，
对，解得，，
对且，，
即且，，即，，
综上可得，.
【题型三】根据零点分布求参数
【例8】已知函数. 若函数有零点.求实数的取值范围．
【答案】
【详解】因为，
所以即，
令，则，
要使函数有零点，则有解.
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围.
变式6 已知函数．
(1)若，求函数的值域；
(2)若函数在区间上有且仅有两个零点，求m的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）由题意得，
当，则，则，则，
即函数的值域为；
（2）由题可得，当时，，
，且在区间上有且仅有两个零点，
而在有且仅有2个零点，分别为，
故，即.
变式7 已知函数，其中，__________.
请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：
①是的一个零点；②.
(1)求的值；
(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）选条件①，由题设.所以.
因为，所以.所以.所以.
选条件②.，由题设.
，，
，，，整理得.
因为，所以.所以.所以.
（2）由（1）.
令，所以在单调递增，在单调递减，
于是，当且仅当，即时，取得最大值1；
当且仅当，即时，取得最小值.
又，即时，.
所以的取值范围是.
【题型四】二次函数的零点问题
【例9】已知函数在区间上有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【详解】∵，令，，令，如下图所示：
要使得函数在上有个零点，则函数在上有个不同的零点，
显然，所以，，解得.
故选：A.
变式8 已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为π.
(1)求的解析式；
(2)若方程在上有实数解，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）由，得，
又因为当时，的最小值为π，所以，即，所以.
方程在上有实数解，
即在上有实数解，
令，所以，
由，所以，所以，则，
同时，所以，
所以在上有实数解，
等价于在上有解，即在上有解，
①时，方程无解；
②时，有解，即在有解
令，，则，，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的值域为，
所以，在有解等价于.
综上：实数a的取值范围为.
【例10】已知函数的最小正周期为．
(1)求的值并求函数在上的单调递增区间；
(2)设，已知函数在上存在零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)；单调递增区间为，，.，(2)
【详解】（1）依题意可得，得，所以，
令，得，
或或，
所以函数在上的单调递增区间为，，.
（2），，
由函数在上存在零点，得在上有解，
令，由，得，则，
则，所以，得.
变式9已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在上的单调递减区间；
(3)已知函数在上存在零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3).
【详解】（1），
由，则的最小正周期为.
（2）由（1）知，设，，所以，
又在的单调递减区间是，
由，得，所以在上的单调递减区间是.
（3）由（2）知，所以.
函数在上存在零点，
即在上有解.
由（2）知在，上单调递增，在上单调递减.
在上，.
令，，则，
所以，解得，所以实数的取值范围为.
【例11】已知函数，方程（其中）有6个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为当时，有，故在上图象与在上的图象关于对称，
故在上有3个不同的实数根.
下面仅在上讨论的解.
因为，故或，
当时，则有：，解得.
因为方程在上有3个不同的实数根.
故在上有2个不同的实数根且与相异，故有两个不同的解，
整理得到有两个不同的解.
设，则，解得，故.
故选：C.
变式10已知，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在上有4个零点，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】，
，
设，则，
，故，，故，
原方程变为，，
令，，
原方程有4个零点，而方程在至多两个根，
故，且在有两个零点，
则，解得，即.
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恒等变换的化简思路
三角函数化简的目的：通过化简求出的最终解析式，从而可以继续研究函数的单调性，对称性，函数的值域等性质。那么这就有一个前提就是必须把所有含的三角函数统一成相同的角度（也就是说统一成），而且最终的形式一定是转化为二次函数或者可以用辅助角合并成一个三角函数。
恒等变换： 这个式子的阶数为，在恒等变换（升幂降幂）的过程中不变的是阶数。
一阶 ，
二阶
口诀：同阶降幂扩角，跨阶升幂缩角；
具体统一角度的步骤如下：
（一）若为同阶
1．首先使用降幂（升幂）公式将次数均化为一次。
2．最后辅助角公式合并成一个三角函数。
【例1】函数的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】，
所以当，即，即，时，
取得最大值，故选：C.
【例2】已知函数f(x)=，化简
【详解】函数f(x)=
，
变式1 （1）已知函数．化简
（2）函数．化简
（3）化简：.
（4）化简：．
【例3】已知函数.化简
【详解】
变式2 （1）已知。化简
（2）化简：．
（3）化简：
（二）若为跨阶：将高阶均转化为二次幂。（与低阶同名的三角函数的二次幂形式）
【例4】函数的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】由题意可得：，
令，则的对称轴为，
∴当时，取到最大值，
故函数的最大值为，故选：D.
变式3 已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【例5】已知，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，则，则，
令，
所以，，则，
则，
函数在上单调递增，在上单调递减，所以，，
当时，；当时，，则.
因此，当时，则函数的值域为.
故选：D.
变式4 函数的值域为_____________．
恒等变换的应用
【题型一】求函数值域
【例1】已知函数在区间上的最小值为．
（1）求常数的值；
（2）将函数向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数，请求出函数，的单调递减区间．
【答案】(1)，(2)，
【详解】（1）因为
，
当时，，所以，则，
因为的最小值为，所以；
（2）由（1）得，，
将函数向右平移个单位得到，
再向下平移个单位，得到函数，
令，，则，，
即的单调递减区间为，，
由可得函数在上的单调递减区间为，
变式1已知函数的最大值为1．
（1）求实数a的值及函数的单调递减区间；
（2）若将函数图象上所有的点向上平移1个单位长度，再将横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，然后向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域．
【例2】已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设，则，
所以，且，又的值域为，所以，即实数的取值范围为.
故选：C.
变式2（多选）若函数在区间的最大值为2，则的可能取值为（ ）
A．0 B． C． D．
【题型二】恒成立
【例3】已知函数，.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若在上恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为，，(2)
【详解】（1）解：.
由，，解得，，
所以函数的单调增区间为，.
（2）解：由得，所以，即，
因为在上恒成立，所以.
又因为，则，所以的取值范围为.
【例4】已知函数
（1）若函数，求函数在区间上的值域；
（2）若恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）由诱导公式，，，
知，
由，则，
故，则.
故在区间上的值域为.
（2）∵，
∴当时，，∵恒成立，
等价于，∴，即，解得，
∴实数的取值范围为．
变式3 已知函数．已知．
（1）求的最值及相应的值；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【例5】已知函数，.
（1）求函数的对称轴；
（2）解不等式；
（3）若对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，(2)，(3)
【详解】（1）解：，
由可得，所以，函数图象的对称轴方程为.
（2）解：由可得，
所以，，解得，
所以，不等式的解集为.
（3）解：由得，
因为可得，则，则，
令，
因为，所以，，所以，，，
因为函数、在上单调递增，所以，函数在上为增函数，
所以，，即.
变式4 已知函数，．
（1）求函数的严格减区间；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围．
【例6】已知函数，、是的图象与直线的两个相邻交点，且．
（1）求的值及函数在上的最小值；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，最小值为，(2)
【详解】（1）解：函数，
则，
因为、是函数的图象与直线的两个相邻交点，且，
所以，函数的最小正周期为，则，
可得．
由，得，所以，，
所以，，故函数在上的最小值为．
（2）解：设，因为，所以．
因为不等式恒成立，设，
所以在上恒成立．
则，即，
解得，故的取值范围为．
【例7】已知函数，．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最值，及取得最值时x的值．
（3）若，都有恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，(2)最大值为1，此时；最小值为，此时；(3)
【详解】（1）因为
，
令，则，
故函数的单调递增区间为.
（2）当时，，
由于在单调递减，在单调递增，
当，即时，,取得最小值；
当时，；
当，即时，取得最大值；
（3）若，都有恒成立，即，
由（2）可知，
故，即实数m的取值范围为.
变式5 已知函数 且在区间上有且只有两个零点.
（1）求的值;
（2）若，，使，求的取值范围.
【题型三】根据零点分布求参数
【例8】已知函数. 若函数有零点.求实数的取值范围．
【答案】
【详解】因为，
所以即，
令，则，
要使函数有零点，则有解.
因为，所以，所以，
所以实数的取值范围.
变式6 已知函数．
（1）若，求函数的值域；
（2）若函数在区间上有且仅有两个零点，求m的取值范围．
变式7 已知函数，其中，__________.
请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：
①是的一个零点；②.
（1）求的值；
（2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.
【题型四】二次函数的零点问题
【例9】已知函数在区间上有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【详解】∵，令，，令，如下图所示：
要使得函数在上有个零点，则函数在上有个不同的零点，
显然，所以，，解得.
故选：A.
变式8 已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为π.
（1）求的解析式；
（2）若方程在上有实数解，求实数a的取值范围.
【例10】已知函数的最小正周期为．
（1）求的值并求函数在上的单调递增区间；
（2）设，已知函数在上存在零点，求实数的取值范围．
【答案】(1)；单调递增区间为，，.，(2)
【详解】（1）依题意可得，得，所以，
令，得，
或或，
所以函数在上的单调递增区间为，，.
（2），，
由函数在上存在零点，得在上有解，
令，由，得，则，
则，所以，得.
变式9已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的单调递减区间；
（3）已知函数在上存在零点，求实数的取值范围.
【例11】已知函数，方程（其中）有6个不同的实根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为当时，有，故在上图象与在上的图象关于对称，
故在上有3个不同的实数根.
下面仅在上讨论的解.
因为，故或，
当时，则有：，解得.
因为方程在上有3个不同的实数根.
故在上有2个不同的实数根且与相异，
故有两个不同的解，整理得到有两个不同的解.
设，则，解得，故.故选：C.
变式10 已知，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数在上有4个零点，求实数的取值范围.
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