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三角函数的定义
在角的终边上任取一点，记：，
正弦： 余弦： 正切：
三角函数值在各象限的符号
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
特殊角的三角函数值：（背诵方法：0-1-3-4）
角度
弧度
正弦函数图像：（每一格为30°）
余弦函数图像：（每一格为30°）
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
递增区间
递减区间
对称中心
对称轴方程
【题型一】定义域（解不等式）
【例1】函数的定义域为 .
【答案】
【详解】对于函数，有，可得，解得，
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
【例2】函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，
对于函数有，可得，解得，
故函数的定义域为.
故选：D.
变式1 函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
变式2 .函数的定义域为______.
【题型二】单调性
【例3】求函数的单调区间：
【详解】因为求的单调增区间即求的单调减区间，
因为求的单调减区间即求的单调增区间，
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，.
变式3 求的单调增区间
【题型三】值域
【例4】已知，求函数的值域．
【答案】.
【详解】因为，所以，
又，
所以，当时，，当时，，
故函数的值域为.
变式4 求函数，的值域
【例5】已知函数的定义域为，值域为，则的最大值和最小值之差等于___________.
【答案】
【详解】解：函数的值域为，
由的图象在一个周期内：的最大值为：；
最小值为．则的最大值和最小值之差等于．
故答案为：．
变式5 已知函数，的值域为，则实数的取值范围为__________.
【题型四】奇偶性
【例6】已知，若，求______.
【答案】-2017
【详解】令，则的定义域为R，
且，故为奇函数，
从而，即，
因为，所以.
故答案为：.
变式6 已知m，均为实数，且函数，若，则m=（ ）
A．3 B．4 C．6 D．无法确定
【题型五】函数的零点，方程的根
【例7】 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
如图所示，
要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需.
故选：C.
变式7 设，关于x的方程有四个实根，则实数k的取值范围是____.
【例8】函数，当时恒有解，则实数的范围是______．
【答案】
【详解】，令，得，
令，，其对称轴，
所以在上递增，当时，取得最小值，当时，取得最大值.
所以的取值范围是，故答案为：
变式8 已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【题型六】恒成立
【例9】不等式在上有解，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【详解】令，则，其中在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，
故，实数m的取值范围是.
故答案为：
变式9 不等式在恒成立，则实数m的取值范围是 .
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三角函数的定义
在角的终边上任取一点，记：，
正弦： 余弦：
正切：
三角函数值在各象限的符号
三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号
特殊角的三角函数值：（背诵方法：0-1-3-4）
角度
弧度
正弦函数图像：（每一格为30°）
余弦函数图像：（每一格为30°）
正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中)
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性
递增区间
递减区间
对称中心
对称轴方程
【题型一】定义域（解不等式）
【例1】函数的定义域为 .
【答案】
【详解】对于函数，有，可得，解得，
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
【例2】函数的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，
对于函数有，可得，解得，
故函数的定义域为.
故选：D.
变式1 函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于函数，
令，即，解得，所以函数的定义域为.
故选：A
变式2 .函数的定义域为______.
【答案】
【详解】要使函数有意义，则有，解得：，
所以或，
则函数的定义域为，
故答案为：.
【题型二】单调性
【例3】求函数的单调区间：
【详解】因为求的单调增区间即求的单调减区间，
因为求的单调减区间即求的单调增区间，
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，.
变式3 求的单调增区间
【题型三】值域
【例4】已知，求函数的值域．
【答案】.
【详解】因为，所以，
又，
所以，当时，，当时，，
故函数的值域为.
变式4 求函数，的值域
【答案】
【详解】，因为，
所以当时，即时，函数取最小值，，
当时，即时，函数取最大值，，
【例5】已知函数的定义域为，值域为，则的最大值和最小值之差等于___________.
【答案】
【详解】解：函数的值域为，
由的图象在一个周期内：的最大值为：；
最小值为．则的最大值和最小值之差等于．
故答案为：．
变式5 已知函数，的值域为，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【详解】设，则，
∵，∴必须取到，∴，又时，，，∴，∴.
故答案为：
【题型四】奇偶性
【例6】已知，若，求______.
【答案】-2017
【详解】令，则的定义域为R，
且，故为奇函数，
从而，即，
因为，所以.
故答案为：.
变式6 已知m，均为实数，且函数，若，则m=（ ）
A．3 B．4 C．6 D．无法确定
【答案】A
【详解】注意到，
则为奇函数，则.
故选：A
【题型五】函数的零点，方程的根
【例7】 函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，
如图所示，
要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需.
故选：C.
变式7 设，关于x的方程有四个实根，则实数k的取值范围是____.
【答案】
【详解】当时，关于x的方程，可化为，，
作出函数和（）的图象
如图所示，因为方程有四个实根，故，
解得或.
∴实数k的取值范围是.
故答案为：.
【例8】函数，当时恒有解，则实数的范围是______．
【答案】
【详解】，令，得，
令，，其对称轴，
所以在上递增，当时，取得最小值，当时，取得最大值.
所以的取值范围是.
故答案为：
变式8 已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】方程在内有解，即在内有解，
令，，则，
所以，解得.
故选：C.
【题型六】恒成立
【例9】不等式在上有解，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【详解】令，则，其中在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，
故，实数m的取值范围是.
故答案为：
变式9 不等式在恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【详解】令，则，其中在上单调递增，
故当时，取得最大值，最小值为1，故，实数m的取值范围是.
故答案为：
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