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平面向量的数量积的7种求法
【方法一】公式法
（未知夹角的两向量的数量积，用已知夹角的基底去表示出来，转化为已知夹角的数量积问题）
【例1】如图，在边长为的正三角形ABC中, 设,，则 ．
【答案】A
【详解】，，
又，
，故选：A.
【例2】在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接，，如图，可知.
由，即，可得.
从而，，所以.
故选：B.
变式1在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【方法二】坐标法
记，，则，建立坐标系，求出点坐标，从而求出向量的数量积。
【例3】在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为　　 ．
【答案】C
【详解】设点，点，，则，，
∴；
当时，的最小值为-3，故选：C
【例4】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
变式2 如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为（ ）
B． C． D．3
变式3 在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则　　 ．
【方法三】投影法（数量积的几何意义）
（其中OC为OB在OA方向上的投影，若投影和OA同方向，则为+，反之为-）
【例5】如图，在圆中，已知弦，弦，那么的值为（ ）
【答案】A
【详解】由已知得．
如图：作于，则就是在上的射影，且．
根据数量积的几何性质可知．
同理可得，
故．故选：A．
【例6】在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）
. B． C． D．
【答案】A
【详解】由，
可得为与在方向上的投影之积.
正六边形ABCDEF中，以D为圆心的圆与DE交于M，
过M作于，设以C为圆心的圆与垂直的
切线与圆切于点N与延长线交点为，
则在方向上的投影最小值为，最大值为,
又，，
则，
则的取值范围是，故选：A
变式4如图，在中，，，是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，则的最大值是 .
变式5 在中，，，是的外心，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
【例7】已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据，可得，
即可得；
即可知点轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示：
由图可知，当与圆相切时，取到最大，
又，可知此时.
故选：B.
【例8】设，，为平面向量，，若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，若与的夹角为知
∴， 令，设
而= 2x，故求它的最大值即是求x的最大值
故，，又即
∴，即
方程有解：,解得：
∴的最大值为，故选：B
★变式6设为平面向量，，若，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．5
【方法四】极化恒等式（主要用于求解动点有关的取值范围问题）
极化恒等式：
在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：
定理1 若AM是的中线，则.
定理2 在中，若M是BC的中点，则有(三角形两邻边的数量积等于中线的平方减去对边一半的平方)。
【例9】设点P是边长为2的三边上的一动点，则的取值范围是 ．
【详解】如图，则，设的中点为，则，
显然，当在点时，的值最大，此时；
当时，的值最小，此时，
所以的取值范围为
【例10】如图，在中，，，，是的中点，、分别是边、上的动点，且EF=1，则的最小值等 ．
【答案】
【详解】如图所示，取的中点，可得，
因为，则，
可得
，
又因为，且，，，是的中点，
所以，
所以，即则的最小值为.故答案为：#.
变式7 如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是___________.
变式8 如图，在中，，，是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，则的最大值是 ；
变式9（多选题）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.点F为边AB中点，若点E为边CD上的动点，则（ ）
A．三角形EAB面积的最小值为 B．当点E为边CD中点时，
C． D．的最小值为
★思考题：已知在中，，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
【方法五】余弦定理
=
由余弦定理可知 带入上式,则
结论：构造三角形之后，两向量的数量积等于两邻边的平方和减对边的平方，之后再除以2。
【例11】在中，已知，，求的值
【答案】
【详解】=
变式10 在中，已知，且，求的取值范围，
【方法六】矩形大法
如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ；②
证明：①连接，根据极化恒等式，可得；
②根据极化恒等式，可得
【例12】在矩形中，，，为矩形所在平面上一点，满足，，则 .
【详解】如图.设AC与BD交于点E，联结PE.则E为AC、BD的中点.
.
类似地，.又,
于是，.
由，故.
【例13】在平面内，，，若，则的取值范围是（ ）
B. C. D.
【详解】如图在三角形中为中点，，又因为,即，即，即，即选.
【例14】 已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【详解】辅助圆法，如图，构造，，，取中点M，根据题意可知，，显然C在以为斜边的圆上，故，根据几何意义可知，四点共圆，故当C位于图中C'时，。
变式11在中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于（ ）
A．2 B．4 C． 5 D． 10
变式12已知向量、、满足，，，且，则的取值范围是 _ .
★【方法七】对角线定理
对角线向量定理（斯坦纳定理） 。（外外+内内）-（前前+后后）
如图所示，在中，由余弦定理的向量式有；在中，同理有．所以在四边形ABCD中，,即,这就是对角线向量定理（斯坦纳定理）．
【例15】如图，在圆O中，若弦，弦，则的值是（ ）
B． C． D．
【详解】如图所示，由对角向量定理得，所以选;
变式13 如图，在四边形ABCD中，，若，，，则等于（ ）
B． C． D．
课后练习
1．如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设．
(1)求的值；
(2)若为边长等于2的正三角形，求的值．
2．在正方形中，，，分别为线段，上的动点，且，则的取值范围为______.
3．如图，在菱形ABCD中，，，E，F分别在边BC和CD上，且，.
(1)当时，用向量，表示；
(2)求的取值范围.
4．在中，，点是边上的一点（包括端点），点是的中点，则的取值范围是__________.
5．点M在边长为4的正△ABC内（包括边界），满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形的边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知菱形的边长为2，．若为菱形内部（含边界）任一点，则的最大值是（ ）
A．2 B．4
C． D．
9．平行四边形中，，，，点P在边上，则的取值范围是___________.
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平面向量的数量积的7种求法
【方法一】公式法
（未知夹角的两向量的数量积，用已知夹角的基底去表示出来，转化为已知夹角的数量积问题）
【例1】如图，在边长为的正三角形ABC中, 设,，则 ．
【答案】A
【详解】，，
又，
，故选：A.
【例2】在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】连接，，如图，可知.
由，即，可得.
从而，，所以.
故选：B.
变式1在边长为的正三角形中，设，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可得：D为BC中点，即
由得，，
又因为在边长为的正三角形中，所以，故，
解得，故选：D
【方法二】坐标法
记，，则，建立坐标系，求出点坐标，从而求出向量的数量积。
【例3】在平面直角坐标系中，已知点，，，是轴上的两个动点，且，则的最小值为　　 ．
【答案】C
【详解】设点，点，，则，，
∴；
当时，的最小值为-3，故选：C
【例4】已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【详解】如图，则，，，设，则，，，则，
当，时，取最小值。
变式2 如图，在平面四边形中，，，，．若点为边上的动点，则的最小值为（ ）
B． C． D．3
【答案】A
【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
变式3 在四边形中，，，，，点在线段的延长线上，且，则　　 ．
【答案】.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，．
因为∥，，所以，
因为，所以，所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为．由得，，所以．
所以．
【方法三】投影法（数量积的几何意义）
（其中OC为OB在OA方向上的投影，若投影和OA同方向，则为+，反之为-）
【例5】如图，在圆中，已知弦，弦，那么的值为（ ）
【答案】A
【详解】由已知得．
如图：作于，则就是在上的射影，且．
根据数量积的几何性质可知．
同理可得，
故．故选：A．
【例6】在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆的半径为1、圆心在线段CD（含端点）上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则的取值范围是（ ）
. B． C． D．
【答案】A
【详解】由，
可得为与在方向上的投影之积.
正六边形ABCDEF中，以D为圆心的圆与DE交于M，
过M作于，设以C为圆心的圆与垂直的
切线与圆切于点N与延长线交点为，
则在方向上的投影最小值为，最大值为,
又，，
则，
则的取值范围是，故选：A
变式4如图，在中，，，是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，则的最大值是 .
【答案】6
【详解】取的中点，连接交半圆与点，则，
又，
即，
当且仅当与重合时取等号，故的最大值是6.
故答案为：6.
变式5 在中，，，是的外心，则的最大值为（ ）
A．2 B．
C． D．4
【答案】B
【详解】设角所对的边分别为，，，
因为是的外心，记中点为，则有，即，
可得，
在中，由正弦定理可得：，
则，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：B.
【例7】已知O是所在平面内一点，且，，，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据，可得，
即可得；
即可知点轨迹是以为圆心，半径为的圆，如下图所示：
由图可知，当与圆相切时，取到最大，
又，可知此时.
故选：B.
【例8】设，，为平面向量，，若，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵，若与的夹角为知
∴， 令，设
而= 2x，故求它的最大值即是求x的最大值
故，，又即
∴，即
方程有解：,解得：
∴的最大值为，故选：B
★变式6设为平面向量，，若，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．5
【答案】C
【详解】根据题意不妨设，，，
则，求的最大值，即求的最大值，，，
，，
关于的方程有解，，
令，则，
，
令，则，
当时，，，，
的最大值为：．故选：．
【方法四】极化恒等式（积化平方差）
主要用于求解动点有关的取值范围问题
极化恒等式：
在中，若AM是的BC边中线，有以下两个重要的向量关系：
定理1 平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.
以此类推到三角形，若AM是的中线，则.
定理2 在中，若M是BC的中点，则有(三角形两邻边的数量积等于中线的平方减去对边一半的平方)。
【例9】设点P是边长为2的三边上的一动点，则的取值范围是 ．
【详解】如图，则，设的中点为，则，
显然，当在点时，的值最大，此时；
当时，的值最小，此时，
所以的取值范围为
【例10】如图，在中，，，，是的中点，、分别是边、上的动点，且EF=1，则的最小值等 ．
【答案】#.
【详解】如图所示，取的中点，可得，
因为，则，
可得
，
又因为，且，，，是的中点，
所以，
所以，即则的最小值为.
故答案为：#.
变式7 如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度为6的线段EF的中点为点B，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由线段EF的中点为点B，得出.
.当点P位于点A或点C时，取最大值8.
当点P位于的中点时，取最小值，即，
∴的取值范围为，∴的取值范围为.
故答案为：.
变式8 如图，在中，，，是以为直径的上半圆上的动点（包含端点，），是的中点，则的最大值是 ；
【答案】 2
【详解】因为，，所以，即,
所以,
当且仅当与重合时取等号，故的最大值是2.
故答案为：2；
变式9（多选题）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.点F为边AB中点，若点E为边CD上的动点，则（ ）
A．三角形EAB面积的最小值为 B．当点E为边CD中点时，
C． D．的最小值为
【答案】AB
【详解】由题，当E在D点时，取得最小值，，故A项正确；
当E为CD中点时，，
又因为，所以，故B项正确；
当E在D点时，由余弦定理计算可得，所以，故C项错误；
因为，而，
所以，又,
所以，故D项错误.
故选: AB
★思考题：已知在中，，若斜边上有异于端点的两点，且，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】有题可知.
建立如图所示的坐标系，有点.
设，则.
所以
.
因为点到边的距离，
所以的面积为定值.
所以，故，故选C.
【方法五】余弦定理
=
由余弦定理可知 带入上式,则
结论：构造三角形之后，两向量的数量积等于两邻边的平方和减对边的平方，之后再除以2。
【例11】在中，已知，，求的值
【答案】
【详解】=
变式10 在中，已知，且，求的取值范围，
【答案】
【方法六】极化恒等式之矩形大法
如图，在矩形中，若对角线和交于点，为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系：① ；②
证明：①连接，根据极化恒等式，可得；
②根据极化恒等式，可得
【例12】在矩形中，，，为矩形所在平面上一点，满足，，则 .
【详解】如图.设AC与BD交于点E，联结PE.则E为AC、BD的中点.
.
类似地，.
又,于是，.
由
故.
【例13】在平面内，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B. C. D.
【详解】如图在三角形中为中点，，又因为,即，即，即，即选.
【例14】已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．1 B．2 C． D．
【详解】辅助圆法，如图，构造，，，取中点M，根据题意可知，，显然C在以为斜边的圆上，故，根据几何意义可知，四点共圆，故当C位于图中C'时，。
变式11在中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于（ ）
A．2 B．4 C． 5 D． 10
【答案】D
【详解】如图，将补全成矩形，,故
变式12已知向量、、满足，，，且，则的取值范围是 _ .
【详解】如图所示，令，，，易知,则作矩形ACBD，根据矩形大法可知，即，根据，，即，.
★【方法七】对角线定理
对角线向量定理（斯坦纳定理） 。（外外+内内）-（前前+后后）
如图所示，在中，由余弦定理的向量式有；在中，同理有．所以在四边形ABCD中，,即,这就是对角线向量定理（斯坦纳定理）．
【例15】如图，在圆O中，若弦，弦，则的值是（ ）
B． C． D．
【详解】如图所示，由对角向量定理得，所以选;
变式13 如图，在四边形ABCD中，，若，，，则等于（ ）
B． C． D．
【答案】A
【详解】如图所示，由对角向量定理得，所以选;
课后练习
1．如图，在中，D是线段上的点，且，O是线段的中点延长交于E点，设．
(1)求的值；
(2)若为边长等于2的正三角形，求的值．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）因为O为的中点，，
又，故
（2）法一，设，因为O为的中点，，
∴
∵B，O，E三点共线，所以，得
故
因为为边长为2的正三角形
故
（法二）设
又由（1）知与为非零的共线向量.
与为非零的共线向量，所以，得
∴
因为为边长为2的正三角形
故
.
2．在正方形中，，，分别为线段，上的动点，且，则的取值范围为______.
【答案】
【详解】设，则，，
得，，
所以
,
由，得，得，
所以,
故答案为：
3．如图，在菱形ABCD中，，，E，F分别在边BC和CD上，且，.
(1)当时，用向量，表示；
(2)求的取值范围.
【答案】(1);，(2).
【详解】（1）根据题意，由向量的线性运算可知，
当时，.
（2）因为，，
由向量的线性运算，可得.
因为，
所以，
因为，所以
4．在中，，点是边上的一点（包括端点），点是的中点，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】依题意，过点作交的延长线于点，
因为，，所以，，，
所以，又因为点是的中点，所以是的中位线，
则，，所以，
因为点是边上的一点（包括端点），过点作于，则，
结合图形可知：当点在点位置时，最小，最小为0，
此时；
当点在点位置时，最大，最大值与相等，
此时；
综上，的取值范围是.
故答案为：.
5．点M在边长为4的正△ABC内（包括边界），满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设分别是的中点，则，
由于在三角形内（包括边界），且，
所以点的轨迹是，所以.
.
故选：B
6．如图，正方形的边长为2，圆半径为1，点在圆上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设与的夹角为，则，
，
因为，所以，
故选：C
7．已知边长为2的正方形ABCD内接于圆O，点P是正方形ABCD四条边上的动点，MN是圆O的一条直径，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设圆的半径为，则，所以.
如图，根据向量加法的三角形法则可知
，，且，
所以.
由已知可得，正方形上的点到点的距离，
所以，所以.
故选：D.
8．如图，已知菱形的边长为2，．若为菱形内部（含边界）任一点，则的最大值是（ ）
A．2 B．4
C． D．
【答案】D
【详解】取线段的中点，连接，如图，
有，因此，
因此最大，当且仅当最长，即点与点重合，
显然，，，
因此，即的最大值为，
所以的最大值是.
故选：D
9．平行四边形中，，，，点P在边上，则的取值范围是___________.
【答案】
【详解】,
且在平行四边形中，， .
以A为原点建坐标系，则
点P在边上，设,;
，
所以.
故答案为：
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