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立体几何动点轨迹
【题型一】 动态产生圆锥曲线轨迹
基本轨迹：
1.空间一点到一定点的距离为定值，则轨迹为球面.
2.空间一点到一定直线的距离为定值，则轨迹为圆柱面.
3.空间一点到两定点的距离相等，则轨迹为两点连线的垂直平分面.
4.空间一点到一定角两边的距离相等，则轨迹为角平分面.
5.空间一直线与一定角两边成等角，则轨迹也为角平分面.
6.空间一点到两定点的距离成不为1定比，则轨迹为球面(阿波罗尼斯球).
7.圆锥曲线就可以看作圆锥被一个平面所截得到的截口曲线.
如图，设圆锥的轴截面顶角为，圆锥的轴与截面所成的角为，其中，.
当时，截口曲线为椭圆,平面两侧的圆锥内切球与平面的切点为两焦点.；当时，截口曲线为抛物线,平面一侧的圆锥内切球与平面的切点为焦点；当时，截口曲线为双曲线,平面两侧的圆锥内切球与平面的切点为两焦点.
.
【例1】已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在四边形内（包括边界）运动，则下列说法正确的是
①若是线段上，则三棱锥的体积为定值
②若在线段上，则与所成角的取值范围为
③若平面，则点的轨迹的长度为
④若，且，则点的轨迹的长度为
⑤若，则与平面所成角正切值的最大值为
⑥若点到平面的距离等于点到直线的距离，则点的轨迹为抛物线。
⑦若直线与直线形成的夹角为，则点的轨迹为双曲线
【答案】①③⑤⑥⑦
【详解】对于①，如下图所示：在正方体中，且，
故四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，所以，平面，
因为，所以，点到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值，进而可知三棱锥的体积为定值，①对；
对于②，因为，故与所成的角为或其补角，
易知是边长为的等边三角形，如①中的图所示：
当点与点或点重合时，此时与所成的角取最小值，
当点与线段的中点重合时，，此时与所成的角取最大值，
故与所成的角的取值范围是，②错；
对于③，取的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，则，因为，所以，，
所以，、、、四点共面，
因为，平面，平面，
所以，平面，
分别取、的中点、，连接、、、，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，且，
因为且，故且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，所以，平面，
因为、分别为、的中点，故，则，
平面，平面，则平面，
因为，所以平面平面，
若，则平面，故有平面，
所以，点的轨迹为线段，且，③对；
对于④，分别取、的中点、，连接，如下图所示：
因为、分别为、的中点，则且，
因为平面，故平面，
因为，则，
因为平面，平面，所以，，
故，所以，点在侧面上的轨迹是以为直径的半圆，
平面，故直线与平面所成角为，
当为与半圆的交点时，的长取最最小值，即，
此时，的正切值取最大值，即，⑤对.
（一）由动点保持平行求轨迹
【例2】（多选题）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q的轨迹为线段
B．与CD所成角的范围为
C．的最小值为
D．二面角的正切值为
【答案】ACD
【解析】对于A，取点，，使得，，连接，，如图，
由线段成比例可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又平面，，所以平面平面，
故当点时，总有面，所以点Q的轨迹为线段，故A正确；
对于B，由知与CD所成角即为与NE所成角，在中，，由余弦定理可得，由，可知，即运动到点时，异面直线所成的角小于，故B错误；
对于C，当时，最小，此时，故C正确；
对于D，二面角即平面与底面所成的锐角，连接相交于，连接，取点H，使得，连接MH，过H作于G，连接，如图，
由正四棱锥可知，面，由，知，
，由可得，
，面，，又，，平面，，即为二面角的平面角，，故D正确．
故选：ACD
变式1（多选题）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为
【答案】BCD
【解析】设正方体棱长为2，则，
所以，
由平面，得，即，化简可得：，
所以动点P在直线上，
对于选项A：，所以与不垂直，所以A选项错误；
对于选项B：平面平面，所以平面，B选项正确；
对于选项C：，C选项正确；
对于选项D：动点P在直线上，且P为侧面上的动点，则P在线段上，，所以，D选项正确；故选：BCD．
（二）由动点保持垂直求轨迹
【例3】已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．则三棱锥的体积为__________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为__________．
【答案】
【解析】取中点，则，
∴平面，，又，∴，
则三棱锥的高，
三棱锥体积为；
作，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，
设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，
易知平面平面，且四点共面，
由题可得，，
解Rt，得，又，
则三棱锥外接球半径，易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为．
故答案为：；．
变式2 点M是棱长为2的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上中点，若，则动点M的轨迹的长度为______．
【答案】
【解析】如图，正方体的内切球的半径，
由题意，分别取、的中点、，连接、、，
在正方体中，且，
、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，可得，，故，
所以，、、、四点共面，
则，，，所以，，
所以，，则，，
平面，平面，，，平面，
所以，动点的轨迹就是平面截内切球的交线，
取的中点，连接、，
且，、分别为、的中点，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，易知点为的中点，
过点在平面内作，
平面，平面，则，
，平面，，
所以，，
因为点为的中点，则到平面的距离为，截面圆的半径，
所以动点的轨迹的长度为截面圆的周长．
变式3 （多选题）正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当，时，与平面所成角为
B．当时，有且仅有一个点，使得
C．当，时，平面平面
D．若，则点的轨迹长度为
【答案】ACD
【详解】当，时，与重合，得，平面，所以就是与平面所成的角，
因为，所以，所以，即与平面所成角为，A正确；

当时，取线段中点分别为，连接，
因为，即，所以，则点在线段上，
设，则，则，
，，
若，则，则，则，所以或，
则点与、重合时，，
即当时，存在两个点使得，故B错；

当，时，，则，所以是中点，取中点，中点，
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，所以，，
，，
设平面和平面的一法向量分别为，
则，，解得，，
令，，可得，，因为，所以，
即平面平面，C正确；

若，因为，，，所以点在侧面上，
又平面，， 所以点的轨迹是以Q为圆心，半径为的半圆，轨迹长度为，故D准确.
故选：ACD
（三）由动点保持等距（或定长）求轨迹
【例4】如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为______．
【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量则有，令，则，则
设，则∵，则
又∵PM=PD，则
整理得：，联立方程，则
可得，可得，当时，，当时，
在空间中，满足PM=PD的P为过MD的中点且与MD垂直的平面，
两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为平面A′C′D，则
故答案为：．
变式4已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】连接、、，则，，，
∴⊥平面，∴，同理，∴平面．
设，连接BE交于O，
由△BOD∽△且BD=可知OD=，则，
连接OP，则，∴，
可得点P的轨迹为以点O为圆心，为半径的圆在内部及其边界上的部分，
OB=2OE，E为中点，及△为等边三角形可知O为△中心，
OE=，如图：
，，，
则∠OFE=∠=，∴OF∥，同理易知OG∥，
故四边形是菱形，则
∴的长度为，故点P的轨迹长度为．
故选：A．
（四）由动点保持等角（或定角）求轨迹
【例5】（多选题）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 分别是棱 的中点，为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则（ ）
A．平面
B．平面截正方体所得的截面图形为正六边形
C．点的轨迹长度为
D．能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
【答案】ABD
【详解】A选项，如图所示以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，
故.设平面的法向量为，则，
令得，易知，故平面，即A正确；
B选项，取的中点，连接，
结合题意可知，
所以四点共面且四点共面，两个平面都过点P，
所以六点共面，
易知，
所以平面截正方体所得的截面为正六边形，B正确；
C选项，由上知平面，设垂足为，以为圆心为半径在平面上作圆，
由题意可知Q轨迹即为该圆，结合B的结论可知平面平分正方体，
根据正方体的中心对称性可知平分，故半径，
故点Q的轨迹长度为，C错误；
D选项，由上知该两部分空间几何体相同，不妨求能放入含有顶点的这一空间几何体的球的半径最大值，
结合A项空间坐标系及正方体的对称性知该球球心在上，
该球与平面切于点S，与平面、平面、平面都相切，
设球心为，则球半径为，
易知，故，
故球的半径的最大值为，D正确.
故选：ABD
【例6】（多选题）已知在长方体中，，，，为矩形内（含边界）一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若．则（ ）
A．在矩形内的轨迹是抛物线的一部分
B．三棱锥体积的最小值是
C．长度的最小值为
D．存在唯一一点，满足
【答案】ABC
【详解】如图，作平面，垂足为，
再作，垂足为，
因为平面，，平面，
则平面，平面，所以，
连接，则，，
因为，所以，所以，
由抛物线定义可知，的轨迹为抛物线一部分，
所以的轨迹为抛物线一部分，A正确；
当点到线段距离最短时，
三角形面积最小，三棱锥体积最小，
建立如图所示直角坐标系，则，
直线的方程为，
抛物线方程为，则，
设与平行且与抛物线有一个交点直线为，
则联立，得，则，，联立得，
所以到直线的最短距离为，
因为，所以，B正确；
因为，所以最小时，最小，且最小为，
所以最小为，C正确；
结合上述，建立空间直角坐标系如图，
则，
，
，
令，解得，
所以不存在点，满足，D错.
故选：ABC
变式5 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为___________；若动点M在该三棱锥外接球上，且，则点M的轨迹长为___________．
【答案】
【解析】由平面，得，三棱锥为直三棱锥，其外接球相当于以为棱的长方体的外接球，故外接球半径为，故三棱锥外接球的表面积为；
如图，中点为F，则易得以为棱的正方体，由正方体的对称性，要使，则M在的角平分面上，即面，故M的轨迹为面与外接球相交出的圆．
取AP、HE中点I、J，由正方体的对称性易得面面，且，故，故IJ上的高，故M的轨迹圆的半径，故轨迹长为．
故答案为：；
变式6 （多选题）在长方体中，，，、、分别是、、 上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．对于任意给定的点，存在点使得
B．对于任意给定的点，存在点使得
C．当时，
D．当时，平面
【答案】ABD
【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，，
设，得到，.
，，，当时，，正确；
，，取时，，正确；
，则，解得：，
此时，不成立，错误；
，则，，
设平面的法向量为，则，解得，故，
故平面，正确.
故选：ABD.
【题型二】距离和
【例7】（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，N为线段的中点，若点P，M分别为线段，上的动点，，则下列 说法正确的是 ( )
A. 存在 P，M 使 PM // 平面 ABCD
B. 存在 P，M 使 B1N ⊥平面 MNP
C. PM + PB1的最小值为 3
D. PM + PN 的最小值为
【答案】ABD
【详解】选项A：当点 P 与点 D1 重合时，PM 平面 A1B1C1D1，又平面 A1B1C1D1 //平面 ABCD，
显然有 PM //平面 ABCD，故 A 正确；
选项B：当点 M 与点 F 重合且 P 为 BD1的中点时，PM // C1N ，
PN // A1B1，又 C1N ⊥ B1N ，A1B1⊥ 平面 B1BCC1，易得 B1N ⊥ 平面 MNP，故 B 正确；
选项C：当 M 为 EF 的中点时，PM 最小.如下图
过点 B1作关于 BD1的对称点 B2，过点 B2作 B2H ⊥ B1D1于点 H， 不妨设 B1B2 ∩ BD1 = G，
则当 B2，P，M 三点共线时，PM + PB1 最小，此时，，，，故，故C错误;
选项D：
连接交于点，连接，则平面，所以,
从而的最小值为，此时为的中点，为的四分之一，
连接，设其中点为，连接，则，从而，
连接交于点，则当为时，取得最小值，此时最小值为，
因为正方体的棱长为2，设DH的中点为O,连接GO,△GOH为直角三角形，
在直角中，可得,所以.
变式7 如图所示，在直三棱柱中．，，，是上的一动点，则的最小值为　　
A． B． C． D．3
【答案】B
【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，
设点的新位置为，连接，则有，
如图，当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，
由余弦定理得：,所以，即,
在中，，，
由勾股定理可得：,且.
同理可求：，因为，
所以为等边三角形，所以，
所以在中，,,
由余弦定理得：，故选：B.
【例8】 （多选题）在长方体中，，点满足，其中，，则（ ）
A．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
B．当时，面
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，的最小值为
【答案】BCD
【详解】对于A中，连接，在长方体中，可得平面，
所以即为与平面所成的角，即，在直角中，可得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，其周长为，所以A错误；
对于B中，当时，因为，且点满足，
所以点在线段，连接，
在长方体中，可得，
因为平面，且平面，所以平面，同理可证平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，所以B正确；
对于 C中，当时，因为，且点满足，
取的中点，连接，可得点在线段上运动，
若，因为平面，且平面，
所以，平面,故平面，
又平面，故,所以点在以为直径的圆上，
又因为，可得线段与以为直径的圆只有一个交点，
所以当点与重合时，即当且仅当为的中点时，能使得，所以C正确；
对于D中，当时，因为，且点满足，
取的中点，连接，可得点在线段上运动，
沿着将直角和平面展在一个平面上，如图所示，
在中，，
由余弦定理得，所以，
即的最小值为，所以D正确.
故选：BCD.
变式8 （多选题）已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，以下结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，最小值是
C．当时，BP的最大值
D．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
【答案】AB
【详解】以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
，，
则，，
当时，，则故，故，A正确；
对于B，当时，P在上，将平面和平面沿展开成为一个平面，
则展开图中线段AD的长即为的最小值，
由于为等边三角形，边长为，为等腰直角三角形，
故此时P恰为的中点，则，
故，即，最小值是，B正确；
对于C，，，
当时，，即，
，，
则，时取等号，即BP的最大值，C错误；
对于D，因为平面，为在平面上的射影，
故为与平面所成角，即，
故，故P点轨迹为四边形内以为圆心，1为半径的圆，
则P点轨迹长度为，D错误，
故选：AB
【题型三】 动态截面问题
（一）多面体的截面
多面体截面问题的关键是要找到截面与几何体外表面形成的交线，交线形成的封闭图形即为平面截几何体的截面。寻找截面的重点在于找到同时位于截面与几何体表面的截点，连接截点构成的平面即为截面。
正方体的基本截面如下:
任意三角形 正三角形 梯形 平行四边形 正方形
菱形 矩形 任意五边形 任意六边形 正六边形
正方体的截面不会出现以下图形:直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形
【例9】在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取中点，连接，
由题意知：为等边三角形，则为等边三角形，，
平面，平面平面，平面，
又平面，，
平面，平面，
不妨设，则，，，
，，
，，
，即截面分棱柱的两部分的体积比为.
故选：D.
变式9 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7
【答案】D
【详解】不妨令，且上下底面等边三角形，
又底面ABC，易知为直三棱柱，即侧面为矩形，
所以三棱柱体积，
而，故，
所以，故，
所以，故选：D
【例10】在四棱锥中，底面为梯形，且，．下列说法正确的是　　
A．当时，平面
B．当，平面时，直线与平面所成的角小于异面直线和所成的角
C．若平面将该四棱锥截得的新四棱锥的体积为原来的，则
D．若平面将该四棱锥截得的新四棱锥的体积为原来的，则
【答案】ABC
【详解】取中点F，连，因为E为的中点，所以EF是三角形PCD的中位线，所以EF∥CD，则可知四边形为平行四边形，所以∥AF，又平面PAD，平面PAD，
所以平面， 选项A正确；
取中点M；连，，由平面可知平面，故是BE与平面ABCD的夹角，又AB∥DM，且AB=DM，所以四边形ABMD是平行四边形，所以，所以是直线和所成的角，可知选项B正确；
由A选项知：平面ABE即为平面ABEF，且
∵，∴，∴，.
∴设，.
∴，∴.
又，∴.
又，，∴，即，解得：或（舍去）,故C正确，D错误.
故选：ABC
变式10 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，在堑堵中，是的中点，，若平面过点，且与平行，则　　
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．三棱锥的体积是该“堑堵”体积的
C．当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于
D．当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于
【答案】ABC
【详解】对于A，由题可知两两垂直，如图建立空间直角坐标系，则
，
所以，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故A正确；
对于B，，，所以B正确；
对于C，如图，，，分别为的中点，
则，，，，，
所以，共面，又，平面，平面，
所以平面，
则四边形为平面α截棱柱的截面图形，
所以四边形是等腰梯形，且高为，
当不是中点时，不平行平面，
则四边形不是梯形，等腰梯形有且仅有一个，，所以C正确；
对于D，如图，分别为的中点，
则，，，，
所以，
同理可得四边形为平面α截棱柱的截面图形，
由题可知平面，平面，
所以平面，所以平面，又平面，
所以，
故四边形是直角梯形，当不是中点时，不平行平面，
则四边形不是梯形，直角梯形有且仅有一个，其面积为，故D错误.
故选：ABC.
【例11】（多选题）正方体，棱长为2，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的最小值为
B．当与面所成角为时，则点的轨迹长度为
C．当时，的最小值为
D．当时，过三点的平面与正方体的截面面积的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于A，如图1所示，当时，点在上运动，在等边中，
的最小值为边上的高，故最小值为，故A正确；
对于B，如图2所示，当与平面所成角为时，易知，
所以为与平面所成角，所以，
故的轨迹为，故长度为，故B正确；
对于C，如图3，当时，在线段上运动，对于，
将平面与平面展开并绕旋转到同一平面，
如图4所示：此时在三点共线时取最小值，为与的交点，
过点作的垂线，垂足为点，
此时，故C错误；
对于D，如图5所示，点在正方形的边与中点连线上运动，
将截面补充完整，则截面为面，由对称性可得四边形为平行四边形，
故，其中为到的距离．
①当在或处时，此时到的距离最大为；
②当在中点或中点时，有最小距离，
故截面面积的取值范围是，故D正确．
故选：ABD.
变式11 在棱长为1的正方体—中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，则下列命题中不正确的是　　
A.与是异面直线
B．三棱锥的体积跟的取值有关
C．当时，
D．当时，过、、三点的平面截正方体所得截面的周长为
【答案】ABC
【详解】对选项A：在中，因为， 为 ， 的中点，
所以，所以 与 共面，所以A不正确；
对选项B：由，
因为到平面的距离为定值，且的面积为定值，
所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以B不正确；
对选项C：当时，,可得，，
取的中点分别为，连接,则
在直角三角形中,
则，所以不成立，所以C不正确．
对选项D：当时，取,连接,则,又所以
所以共面,即过 ， ，三点的正方体的截面为 ，
由,则是等腰梯形,且
所以平面截正方体所得截面的周长为，所以D正确；故选：ABD．
【例12】在如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，且，，则截面△面积的最小值为（ ）
B． C． D．
【答案】B
【详解】在中，由，，可得，，
设，在中，，由等面积法可知，
因为，，，，平面，所以平面，
又由平面，所以，
所以，
因为，
当且仅当时，等号成立，所以，故选：B.
变式12（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，是线段的中点，点，满足，其中，，则　　
存在，使得平面平面
B．存在，，使得平面平面
C．对任意，，的最小值为
D．当时，过，，三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为
【答案】BCD
【详解】以D为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
， 。
，
，
若，则 即,
因为，显然，所以不成立，A错误；
最小时，是的公垂线段，，，
，
，解得，B正确．
当 ， ， ， ，
设平面的法向量为，
则 取，则，
.故直线与平面所成角的正弦值为 ，C正确
当 时，在取靠近点的三等分点，连接并延长交于点，易得点是靠近点的三等分点，取靠近点的三等分点，如图所示，
过三点的平面截正方体得到的截面多边形为四边形，
则，且，又因为平面，所以，即，
则四边形为矩形，又，，求得面积为 ， D正确.
故选：BCD
（二）球的截面
大家都知道平面与球相交得到一个圆，关于求截面圆的面积问题，只需要根据球的半径，球心到平面的距离，列出，求出截面圆的半径即可．
【例13】已知球是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面中心的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】画出图象如下图所示，其中是球心，是等边三角形的中心.根据等边三角形中心的性质有，，设球的半径为，在三角形中，由勾股定理得，即，解得，故最大的截面面积为.在三角形中，，由余弦定理得.在三角形中，,过且垂直的截面圆的半径，故最小的截面面积为.综上所述，本小题选B.
变式13 已知直四棱柱的棱长均为，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．
【答案】
【详解】如图所示： 由已知，连接，则
因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，，
所以为等边三角形.
且平面，取的中点，连接,则,
又平面，所以，
又，所以平面，故平面截球面的截面圆的圆心是点，
取和的中点，连接,则，故在球面上，,，
所以为直角三角形，,
球面与侧面的交线是侧面上以为圆心，为半径的圆弧.
课后练习
1．（多选题）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
【答案】AC
【解析】取CD中点G，连接BG、EG，则等腰梯形为截面，而，，
故梯形面积为，A正确；
取中点M，中点N，连接，
则，故四边形为平行四边形，
则得，而平面，平面，
故平面，同理平面，
而，平面，故平面平面，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为，B错误；
取MN的中点F，则，
∴，∵，∴，C正确；
因为平面平面且，，
∴即为平面与平面所成二面角，，D错误．
故选：AC．
2．（多选题）在棱长为的正方体中，点为的中点，点是正方形内部（含边界）的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在唯一一点，使得
B．存在唯一一点，使得直线与平面所成角取到最小值
C．若直线平面，则点的轨迹长度为
D．若 ，则三棱锥的体积为
【答案】BCD
【详解】对于A，在正方体中，，，
，所以平面，所以当在线段上时，
都满足，此时点有无数个，故A错误；
对于B，在正方体中，平面，
所以是直线与平面所成的角，
因为，且，，
所以当直线与平面所成角取到最小时，最大，亦有最大，
所以当且仅当点与重合时，最大，故B正确；

对于C，分别取的中点为，连接，
在正方形中，因为分别是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
同理可证平面，平面，，
所以平面平面，所以若直线平面，
则点在线段上，点的轨迹长度即为线段的长度，
在中，，故C正确；

对于D，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，由得，，，，
设是平面的一个法向量，则，令得，
设点到平面的距离为，则，
在中，，，
则等腰底边上的高，，
所以三棱锥的体积，故D正确.
故选：BCD
3．直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________．
【答案】
【解析】由点为的中点可得，点到平面的距离是点到平面距离的一半，则点到平面的距离为，
故点到平面的距离为；
，点为的中点，
，
设以为球心，的长为半径的球与平面所截得的圆的半径为，则，
则动点的轨迹即为以正方形的中心为圆心，为半径的圆留在正方形内的圆弧，如图，为中点，所以，所以，
所以，点轨迹所形成的圆弧长为．
故答案为：；．
4．（多选题）如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥-的体积为定值
B．存在点P，使得
C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则平面α截正方体的截面周长为3
【答案】ACD
【解析】对于A，P为正方形底面ABCD时，三棱锥的高不变，底面积也不变，所以体积为定值，所以A正确；
对于B，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，；
若，则，即，与题意矛盾，所以B不正确；
对于C，，由得，所以的轨迹就是线段，所以C正确；
对于D，因为，所以平面；
因为平面平面，所以平面；
以为参照线作出平面与正方体各个侧面的交线，如图，易知每个侧面的交线均相等，长度为，所以截面周长为，所以D正确，故选：ACD．
5．（多选题）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A．若点满足，则动点的轨迹长度为
B．三棱锥体积的最大值为
C．当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
D．当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为
【答案】CD
【详解】对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形，
动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，所以错误；
对于B，因为，而等边的面积为定值，
要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大，
易知点是正方体到平面距离最大的点，
所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体，
其高为，所以，B错误；
对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示，
当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，
又，
弧长度，故点的轨迹长度为，故正确；
对于D，取的中点分别为，
连接，如图2所示，
因为平面平面，故平面，
，平面平面，故平面；
又平面，故平面平面；
又，
故平面与平面是同一个平面.
则点的轨迹为线段：
在三角形中，
则，
故三角形是以为直角的直角三角形；
故，故长度的最大值为，故正确.
故选：.
6．已知正方体的棱长为，过顶点的平面为，点是平面内的动点，，则点的轨迹长度等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
所以点到平面的距离，
设点在平面的射影为，即，
又，所以，
是边长为的等边三角形，其内切圆半径为，
所以为以为圆心，半径的圆上，
所以点的轨迹长度为；
故选：B
7．（多选题）在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为，又因为面，面，所以面，所以直线到平面的距离相等，又的面积为定值，故A正确；
对于B，取的中点分别为，连接，
则易证明：，面，面，所以面，
又因为，，面，面，所以面，
，所以平面面，面，所以平面
当时，AQ有最小值，则易求出，所以重合，所以则AQ的最小值为，故B正确；
对于C，若的外心为M，，过作于点，
则．故C错误；
对于D，过作于点，易知平面，
在上取点，使得，则，
所以若，则在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，
又因为所以，则圆弧等于，故D正确．
故选：ABD．
8．在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】因为平面，所以即为直线与平面所成的角，
所以，
因为，所以，
所以点位于矩形内的以点为圆心，2为半径的圆上，
则点的轨迹为圆弧．
连接，则，
因为，，
所以，
则弧的长度，
所以,故选：C．
9．(多选题)已知长方体中，，，点是四边形内（包含边界）的一动点，设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，则（ ）
A．点的轨迹为一条抛物线
B．线段长的最小值为
C．直线与直线所成角的最大值为
D．三棱锥体积的最大值为
【答案】BCD
【详解】过点作平面，垂足为，作，垂足为，
对于A，平面，平面，，
又，，平面，平面，
平面，，即为二面角的平面角，
即，又，，，
点轨迹为以为焦点，为准线的抛物线在四边形内（含边界）的部分，
则点轨迹为以为焦点，为准线的抛物线在四边形内（含边界）的部分，A错误；
对于B，由抛物线性质知：当为中点时，，
，B正确；
对于C，与所成角即为与所成角，
在平面中，以中点为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，
则当与抛物线相切时，取得最大值；
由题意知：抛物线方程为：，，
设切线方程为：，则由得：，
，解得：，
在四边形内（含边界），结合图形可知：，此时，
直线与所成角的最大值为，C正确；
对于D，，，
若三棱锥的体积最大，则点到的距离最大，即点到的距离最大；
由C中图象可知：当为中点时，点到的距离最大，最大值为，
即点到距离的最大值为，
，D正确.
故选：BCD.
(多选题)已知正方体的边长为2，E为正方体内（包括边界）上的一点，且满足，则下列说正确的有（ ）
A．若E为面内一点，则E点的轨迹长度为
B．过AB作面使得，若，则E的轨迹为椭圆的一部分
C．若F，G分别为，的中点，面FGBA，则E的轨迹为双曲线的一部分
D．若F，G分别为，的中点，DE与面FGBA所成角为，则的范围为
【答案】AD
【详解】对于A项，正方体中，平面，
若为面内一点，所以.
又因为，所以，
在中，，所以，
故点的轨迹是以为圆心为半径的个圆弧，
所以点的轨迹长度为，故A正确；
对于B项，若，则，则E只能在平面内运动，且，轨迹为一个点，B错误；
对于C项，平面与轴线所成的角即为平面与所成的角，
是平面与轴线所成的角，
在中，
而母线与轴线所成的角为，
在中，
即母线与轴线所成的角与截面与轴线所成的角，
所以点的轨迹应为抛物线，故C不正确；
对于D项，以为原点，建立如图所示的坐标系，
连接并延长交上底面于点，设，
则，，
则，设面的法向量为，
所以，
所以与面所成角的正弦值为
又因为，
所以，故D正确.
故选：AD.
(多选题)已知菱形的边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为直二面角，设为的中点，为三棱锥表面上的动点，则（ ）
A．四面体的外接球的半径为
B．与所成的角
C．线段的最大值是
D．若，则点轨迹的长度为
【答案】ABD
【详解】对A，对如图1，延长B1O至O1，使得OO1=OB1，由题意可知O1是△ACB1的外心，同理作出△ADC的外心O2，过O1作面AB1C的垂线，同理作面ADC的垂线，两条垂线交于，容易判断四面体的外心.易得DO2=2，，由勾股定理可得外接球半径，A正确；
对B，如图建立空间直角坐标系，易得，，∴，所以B正确；
容易判断C错误；
对D，
若，分别取，的中点，，连接，，，则点轨迹的长度为， D正确.
故选：ABD.
12．（多选题）如图，在长方体中，，点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．存在点F，使得 B．满足的点F的轨迹长度为
C．的最小值为 D．若平面，则线段长度的最小值为
【答案】BD
【详解】以A为原点，分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
对于选项A，若，则，
又，所以，
即，此方程无解，所以不存在点F，使得，故A错误；
对于选项B，由，得，
化简可得，即F点轨迹为矩形内的线段，
又，所以当时，得，
当时，得，即满足的点F的轨迹长度为，故B正确；
对于选项C，设点C关于平面的对称点为G，则G的坐标为，
则，共线时取等号，故C错误；
对于选项D，，
设平面的一个法向量为，则，即，
令，则，
所以平面的一个法向量为，
因为平面，所以，即，
又点，所以，
当时，取得最小值，故D正确．
故选：BD．
13．如图所示，二面角的平面角的大小为，是上的两个定点，且，满足与平面所成的角为，且点在平面上的射影在的内部（包括边界），则点的轨迹的长度等于 ．
【答案】
【详解】如图所示：因为与平面所成的角为30°，点在平面上的射影，，
所以，
所以的轨迹为直角三角形绕斜边旋转所形成的轨迹，
在直角中，作，垂足为，
因为，可得，
即点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆弧，
又因为二面角的平面角的大小为，
所以点的轨迹的长度等于.
故答案为：.
14．（多选题）在棱长为的正方体中，点为正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）
A．当为棱的中点时，则四棱锥的外接球的表面积为
B．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D．点是线段的中点，当点在平面内，且时，点的轨迹为一个圆
【答案】ABD
【详解】A选项：由正方体可知平面平面，
又正方形的中心为，所以球心满足平面，
在中，，，，
所以外接圆半径，且平面，
所以四棱锥外接球半径，所以外接球表面积，A选项正确；
B选项：由直线与平面所成的角为，且平面，则，
可知点在以顶点，为轴，为母线长的圆锥表面，
所以当点在平面时，点的轨迹为线段，长度为，
同理当点在平面时，点的轨迹为线段，长度为，
当点在平面时，由，所以，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆上，长度为，
点在其他平面时不成立，综上所述，点的轨迹长度为，B选项正确；
C选项：如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，
又，，，，则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，
又平面，则，即，则，
所以，，
所以当时，取最小值为，C选项错误；
D选项：由正方体可知平面平面，所以平面的法向量为，
且平面，又，，
所以点与G到平面的距离分别为，，
所以，，
则，
则，所以，，所以，，
又由正方体可知，即为正三角形，且为中心，
所以点到三角形三边的距离为，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，D选项正确；
故选：ABD.
15．已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________．
【答案】
【解析】设的外心为，的中点为，过作的平行线，则以为坐标原点，可建立如图所示空间直角坐标系，
为等边三角形，，，，
，，，
设，由得：，
整理可得：，
动点的轨迹是以为球心，为半径的球；
延长到点，使得，，，
则，，又平面，平面，
平面，平面，由，平面，
平面平面，即平面为平面，
则点到平面的距离即为点到直线的距离，
，，，即，
点到直线的距离，
截面圆的半径，球被平面截得的截面圆周长为，
即平面截点的轨迹所形成的图形的周长为，故答案为：．
3．（多选题）如图，棱长为2的正方体中， 分别为棱 的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值.
B．存在线段，使平面平面.
C．为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小.
D．若平面EFG与棱AB，BC有交点，记交点分别为M，N，则的取值范围是.
【答案】ACD
【分析】利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BC选项的正误；设则，则，根据的范围可判断D选项的正误．
【详解】对于A选项，因为平面，平面平面，
所以，点到平面的距离等于，
的面积为，
所以，，A选项正确；
对于BC选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则、、、、、
、、，、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
设，可得点，其中，
则，
所以，解得，
故平面与平面不平行，B选项错误，
，，
设直线与所成角为，
则
，
当时，取得最大值，此时最小，C选项正确；
对于D选项，延长和并相交于点，作交于，
P在线段上，此时PN与的交点即为G，连接交于，如图所示：
设则，所以
则
由于，得，所以，D正确．
故选：ACD
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立体几何动点轨迹
【题型一】 动态产生圆锥曲线轨迹
基本轨迹：
1.空间一点到一定点的距离为定值，则轨迹为球面.
2.空间一点到一定直线的距离为定值，则轨迹为圆柱面.
3.空间一点到两定点的距离相等，则轨迹为两点连线的垂直平分面.
4.空间一点到一定角两边的距离相等，则轨迹为角平分面.
5.空间一直线与一定角两边成等角，则轨迹也为角平分面.
6.空间一点到两定点的距离成不为1定比，则轨迹为球面(阿波罗尼斯球).
7.圆锥曲线就可以看作圆锥被一个平面所截得到的截口曲线.
如图，设圆锥的轴截面顶角为，圆锥的轴与截面所成的角为，其中，.
当时，截口曲线为椭圆,平面两侧的圆锥内切球与平面的切点为两焦点.；当时，截口曲线为抛物线,平面一侧的圆锥内切球与平面的切点为焦点；当时，截口曲线为双曲线,平面两侧的圆锥内切球与平面的切点为两焦点.
.
【例1】已知正方体的棱长为，点是棱的中点，点在四边形内（包括边界）运动，则下列说法正确的是
①若是线段上，则三棱锥的体积为定值
②若在线段上，则与所成角的取值范围为
③若平面，则点的轨迹的长度为
④若，且，则点的轨迹的长度为
⑤若，则与平面所成角正切值的最大值为
⑥若点到平面的距离等于点到直线的距离，则点的轨迹为抛物线。
⑦若直线与直线形成的夹角为，则点的轨迹为双曲线
【答案】①③⑤⑥⑦
【详解】对于①，如下图所示：在正方体中，且，
故四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，所以，平面，
因为，所以，点到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值，进而可知三棱锥的体积为定值，①对；
对于②，因为，故与所成的角为或其补角，
易知是边长为的等边三角形，如①中的图所示：
当点与点或点重合时，此时与所成的角取最小值，
当点与线段的中点重合时，，此时与所成的角取最大值，
故与所成的角的取值范围是，②错；
对于③，取的中点，连接、，
因为、分别为、的中点，则，因为，所以，，
所以，、、、四点共面，
因为，平面，平面，
所以，平面，
分别取、的中点、，连接、、、，
因为且，、分别为、的中点，则且，
所以，四边形为平行四边形，所以，且，
因为且，故且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，所以，平面，
因为、分别为、的中点，故，则，
平面，平面，则平面，
因为，所以平面平面，
若，则平面，故有平面，
所以，点的轨迹为线段，且，③对；
对于④，分别取、的中点、，连接，如下图所示：
因为、分别为、的中点，则且，
因为平面，故平面，
因为，则，
因为平面，平面，所以，，
故，所以，点在侧面上的轨迹是以为直径的半圆，
平面，故直线与平面所成角为，
当为与半圆的交点时，的长取最最小值，即，
此时，的正切值取最大值，即，⑤对.
（一）由动点保持平行求轨迹
【例2】（多选题）已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（ ）
A．点Q的轨迹为线段
B．与CD所成角的范围为
C．的最小值为
D．二面角的正切值为
【答案】ACD
【解析】对于A，取点，，使得，，连接，，如图，
由线段成比例可得，平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
又平面，，所以平面平面，
故当点时，总有面，所以点Q的轨迹为线段，故A正确；
对于B，由知与CD所成角即为与NE所成角，在中，，由余弦定理可得，由，可知，即运动到点时，异面直线所成的角小于，故B错误；
对于C，当时，最小，此时，故C正确；
对于D，二面角即平面与底面所成的锐角，连接相交于，连接，取点H，使得，连接MH，过H作于G，连接，如图，
由正四棱锥可知，面，由，知，
，由可得，
，面，，又，，平面，，即为二面角的平面角，，故D正确．
故选：ACD
变式1（多选题）已知正方体的边长为2，M为的中点，P为侧面上的动点，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面
C．与所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为
（二）由动点保持垂直求轨迹
【例3】已知菱形的各边长为．如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时．则三棱锥的体积为__________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为__________．
【答案】
【解析】取中点，则，
∴平面，，又，∴，
则三棱锥的高，
三棱锥体积为；
作，设点轨迹所在平面为，
则平面经过点且，
设三棱锥外接球的球心为的中心分别为，
易知平面平面，且四点共面，
由题可得，，
解Rt，得，又，
则三棱锥外接球半径，易知到平面的距离，
故平面截外接球所得截面圆的半径为，
∴截面圆的周长为，即点轨迹的周长为．
故答案为：；．
变式2 点M是棱长为2的正方体的内切球O球面上的动点，点N为BC边上中点，若，则动点M的轨迹的长度为______．
变式3 （多选题）正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A．当，时，与平面所成角为
B．当时，有且仅有一个点，使得
C．当，时，平面平面
D．若，则点的轨迹长度为
（三）由动点保持等距（或定长）求轨迹
【例4】如图，已知棱长为2的正方体A′B′C′D′－ABCD，M是正方形BB′C′C的中心，P是△A′C′D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为______．
【答案】
【解析】如图建立空间直角坐标系，则
设平面的法向量则有，令，则，则
设，则∵，则
又∵PM=PD，则
整理得：，联立方程，则
可得，可得，当时，，当时，
在空间中，满足PM=PD的P为过MD的中点且与MD垂直的平面，
两个平面的公共部分为直线，即点P的轨迹为平面A′C′D，则，故答案为：．
变式4已知正方体的棱长为3，点P在的内部及其边界上运动，且，则点P的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
（四）由动点保持等角（或定角）求轨迹
【例5】（多选题）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 分别是棱 的中点，为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则（ ）
A．平面
B．平面截正方体所得的截面图形为正六边形
C．点的轨迹长度为
D．能放入由平面分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的半径的最大值为
【答案】ABD
【详解】A选项，如图所示以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，
故.设平面的法向量为，则，
令得，易知，故平面，即A正确；
B选项，取的中点，连接，
结合题意可知，
所以四点共面且四点共面，两个平面都过点P，
所以六点共面，
易知，
所以平面截正方体所得的截面为正六边形，B正确；
C选项，由上知平面，设垂足为，以为圆心为半径在平面上作圆，
由题意可知Q轨迹即为该圆，结合B的结论可知平面平分正方体，
根据正方体的中心对称性可知平分，故半径，
故点Q的轨迹长度为，C错误；
D选项，由上知该两部分空间几何体相同，不妨求能放入含有顶点的这一空间几何体的球的半径最大值，
结合A项空间坐标系及正方体的对称性知该球球心在上，
该球与平面切于点S，与平面、平面、平面都相切，
设球心为，则球半径为，
易知，故，
故球的半径的最大值为，D正确.
故选：ABD
【例6】（多选题）已知在长方体中，，，，为矩形内（含边界）一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若．则（ ）
A．在矩形内的轨迹是抛物线的一部分
B．三棱锥体积的最小值是
C．长度的最小值为
D．存在唯一一点，满足
【答案】ABC
【详解】如图，作平面，垂足为，
再作，垂足为，
因为平面，，平面，
则平面，平面，所以，
连接，则，，
因为，所以，所以，
由抛物线定义可知，的轨迹为抛物线一部分，
所以的轨迹为抛物线一部分，A正确；
当点到线段距离最短时，
三角形面积最小，三棱锥体积最小，
建立如图所示直角坐标系，则，
直线的方程为，
抛物线方程为，则，
设与平行且与抛物线有一个交点直线为，
则联立，得，则，，联立得，
所以到直线的最短距离为，
因为，所以，B正确；
因为，所以最小时，最小，且最小为，
所以最小为，C正确；
结合上述，建立空间直角坐标系如图，则，
，，
令，解得，所以不存在点，满足，D错.
故选：ABC
变式5 在三棱锥中，平面，，，则三棱锥外接球的表面积为___________；若动点M在该三棱锥外接球上，且，则点M的轨迹长为___________．
变式6 （多选题）在长方体中，，，、、分别是、、 上的动点，下列结论正确的是（ ）
A．对于任意给定的点，存在点使得
B．对于任意给定的点，存在点使得
C．当时，
D．当时，平面
【题型二】距离和
【例7】（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，N为线段的中点，若点P，M分别为线段，上的动点，，则下列 说法正确的是 ( )
A. 存在 P，M 使 PM // 平面 ABCD
B. 存在 P，M 使 B1N ⊥平面 MNP
C. PM + PB1的最小值为 3
D. PM + PN 的最小值为
【答案】ABD
【详解】选项A：当点 P 与点 D1 重合时，PM 平面 A1B1C1D1，又平面 A1B1C1D1 //平面 ABCD，
显然有 PM //平面 ABCD，故 A 正确；
选项B：当点 M 与点 F 重合且 P 为 BD1的中点时，PM // C1N ，
PN // A1B1，又 C1N ⊥ B1N ，A1B1⊥ 平面 B1BCC1，易得 B1N ⊥ 平面 MNP，故 B 正确；
选项C：当 M 为 EF 的中点时，PM 最小.如下图
过点 B1作关于 BD1的对称点 B2，过点 B2作 B2H ⊥ B1D1于点 H， 不妨设 B1B2 ∩ BD1 = G，
则当 B2，P，M 三点共线时，PM + PB1 最小，此时，，，，故，故C错误;
选项D：
连接交于点，连接，则平面，所以,
从而的最小值为，此时为的中点，为的四分之一，
连接，设其中点为，连接，则，从而，
连接交于点，则当为时，取得最小值，此时最小值为，
因为正方体的棱长为2，设DH的中点为O,连接GO,△GOH为直角三角形，
在直角中，可得,所以.
变式7 如图所示，在直三棱柱中．，，，是上的一动点，则的最小值为　　
A． B． C． D．3
【例8】 （多选题）在长方体中，，点满足，其中，，则（ ）
A．若与平面所成角为，则点的轨迹长度为
B．当时，面
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，的最小值为
【答案】BCD
【详解】对于A中，连接，在长方体中，可得平面，
所以即为与平面所成的角，即，
在直角中，可得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，其周长为，所以A错误；
对于B中，当时，因为，且点满足，
所以点在线段，连接，
在长方体中，可得，
因为平面，且平面，所以平面，同理可证平面，
又因为，且平面，所以平面平面，
因为平面，所以平面，所以B正确；
对于 C中，当时，因为，且点满足，
取的中点，连接，可得点在线段上运动，
若，因为平面，且平面，
所以，平面,故平面，
又平面，故,所以点在以为直径的圆上，
又因为，可得线段与以为直径的圆只有一个交点，
所以当点与重合时，即当且仅当为的中点时，能使得，所以C正确；
对于D中，当时，因为，且点满足，
取的中点，连接，可得点在线段上运动，
沿着将直角和平面展在一个平面上，如图所示，
在中，，
由余弦定理得，
所以，即的最小值为，所以D正确.故选：BCD.
变式8 （多选题）已知正方体的棱长为1，点P满足，其中，以下结论正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，最小值是
C．当时，BP的最大值
D．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
【题型三】 动态截面问题
（一）多面体的截面
多面体截面问题的关键是要找到截面与几何体外表面形成的交线，交线形成的封闭图形即为平面截几何体的截面。寻找截面的重点在于找到同时位于截面与几何体表面的截点，连接截点构成的平面即为截面。
正方体的基本截面如下:
任意三角形 正三角形 梯形 平行四边形 正方形
菱形 矩形 任意五边形 任意六边形 正六边形
正方体的截面不会出现以下图形:直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形
【例9】在三棱柱中，底面，，点是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】取中点，连接，
由题意知：为等边三角形，则为等边三角形，，
平面，平面平面，平面，
又平面，，
平面，平面，
不妨设，则，，，
，，
，，
，即截面分棱柱的两部分的体积比为.
故选：D.
变式9 如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（ ）
A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7
【例10】在四棱锥中，底面为梯形，且，．下列说法正确的是　　
A．当时，平面
B．当，平面时，直线与平面所成的角小于异面直线和所成的角
C．若平面将该四棱锥截得的新四棱锥的体积为原来的，则
D．若平面将该四棱锥截得的新四棱锥的体积为原来的，则
【答案】ABC
【详解】取中点F，连，因为E为的中点，所以EF是三角形PCD的中位线，所以EF∥CD，则可知四边形为平行四边形，
所以∥AF，又平面PAD，平面PAD，
所以平面， 选项A正确；
取中点M；连，，由平面可知平面，故是BE与平面ABCD的夹角，又AB∥DM，且AB=DM，所以四边形ABMD是平行四边形，所以，所以是直线和所成的角，可知选项B正确；
由A选项知：平面ABE即为平面ABEF，且
∵，∴，∴，.
∴设，.
∴，∴.
又，∴.
又，，∴，即，解得：或（舍去）,故C正确，D错误.
故选：ABC
变式10 在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”．如图，在堑堵中，是的中点，，若平面过点，且与平行，则　　
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．三棱锥的体积是该“堑堵”体积的
C．当平面截棱柱的截面图形为等腰梯形时，该图形的面积等于
D．当平面截棱柱的截面图形为直角梯形时，该图形的面积等于
【例11】（多选题）正方体，棱长为2，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的最小值为
B．当与面所成角为时，则点的轨迹长度为
C．当时，的最小值为
D．当时，过三点的平面与正方体的截面面积的取值范围为
【答案】ABD
【详解】对于A，如图1所示，当时，点在上运动，在等边中，
的最小值为边上的高，故最小值为，故A正确；
对于B，如图2所示，当与平面所成角为时，易知，
所以为与平面所成角，所以，
故的轨迹为，故长度为，故B正确；
对于C，如图3，当时，在线段上运动，对于，
将平面与平面展开并绕旋转到同一平面，
如图4所示：此时在三点共线时取最小值，为与的交点，
过点作的垂线，垂足为点，
此时，故C错误；
对于D，如图5所示，点在正方形的边与中点连线上运动，
将截面补充完整，则截面为面，由对称性可得四边形为平行四边形，
故，其中为到的距离．
①当在或处时，此时到的距离最大为；
②当在中点或中点时，有最小距离，
故截面面积的取值范围是，故D正确．
故选：ABD.
变式11 在棱长为1的正方体—中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，则下列命题中不正确的是　　
A.与是异面直线
B．三棱锥的体积跟的取值有关
C．当时，
D．当时，过、、三点的平面截正方体所得截面的周长为
【例12】在如图所示的直三棱柱中，，，过点作平面分别交棱，于点，，且，，则截面△面积的最小值为（ ）
B． C． D．
【答案】B
【详解】在中，由，，可得，，
设，在中，，由等面积法可知，
因为，，，，平面，所以平面，
又由平面，所以，所以，
因为，
当且仅当时，等号成立，所以，故选：B.
变式12（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，是线段的中点，点，满足，其中，，则　　
存在，使得平面平面
B．存在，，使得平面平面
C．对任意，，的最小值为
D．当时，过，，三点的平面截正方体得到的截面多边形的面积为
（二）球的截面
大家都知道平面与球相交得到一个圆，关于求截面圆的面积问题，只需要根据球的半径，球心到平面的距离，列出，求出截面圆的半径即可．
【例13】已知球是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面中心的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】画出图象如下图所示，其中是球心，是等边三角形的中心.根据等边三角形中心的性质有，，设球的半径为，在三角形中，由勾股定理得，即，解得，故最大的截面面积为.在三角形中，，由余弦定理得.在三角形中，,过且垂直的截面圆的半径，故最小的截面面积为.综上所述，本小题选B.
变式13 已知直四棱柱的棱长均为，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．
课后练习
1．（多选题）如图，正方体的棱长为2，E是棱的中点，F是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．平面截正方体所得截面面积为
B．点F的轨迹长度为
C．存在点F，使得
D．平面与平面所成二面角的正弦值为
2．（多选题）在棱长为的正方体中，点为的中点，点是正方形内部（含边界）的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．存在唯一一点，使得
B．存在唯一一点，使得直线与平面所成角取到最小值
C．若直线平面，则点的轨迹长度为
D．若 ，则三棱锥的体积为
3．直四棱柱的底面是边长为的正方形，，点为的中点，点为的中点，则点到底面的距离为__________若为底面内的动点，且，则动点的轨迹长度为__________．
4．（多选题）如图，已知正方体ABCD—的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有（ ）
A．三棱锥-的体积为定值
B．存在点P，使得
C．若，则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC
D．若点P是AD的中点，点Q是的中点，过P，Q作平面α垂直于平面，则平面α截正方体的截面周长为3
5．（多选题）如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ）
A．若点满足，则动点的轨迹长度为
B．三棱锥体积的最大值为
C．当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为
D．当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为
6．已知正方体的棱长为，过顶点的平面为，点是平面内的动点，，则点的轨迹长度等于（ ）
A． B． C． D．
7．（多选题）在直四棱柱中，所有棱长均2，，P为的中点，点Q在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（ ）
A．当点Q在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．若平面，则AQ的最小值为
C．若的外心为M，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
8．在四棱锥中，平面，点M是矩形内（含边界）的动点，且，直线与平面所成的角为．记点M的轨迹长度为，则（ ）
A． B．1 C． D．2
9．（多选题）已知长方体中，，，点是四边形内（包含边界）的一动点，设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，若，则（ ）
A．点的轨迹为一条抛物线
B．线段长的最小值为
C．直线与直线所成角的最大值为
D．三棱锥体积的最大值为
（多选题）已知正方体的边长为2，E为正方体内（包括边界）上的一点，且满足，则下列说正确的有（ ）
A．若E为面内一点，则E点的轨迹长度为
B．过AB作面使得，若，则E的轨迹为椭圆的一部分
C．若F，G分别为，的中点，面FGBA，则E的轨迹为双曲线的一部分
D．若F，G分别为，的中点，DE与面FGBA所成角为，则的范围为
（多选题）已知菱形的边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为直二面角，设为的中点，为三棱锥表面上的动点，则（ ）
A．四面体的外接球的半径为
B．与所成的角
C．线段的最大值是
D．若，则点轨迹的长度为
12．（多选题）如图，在长方体中，，点E为的中点，点F为侧面（含边界）上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A．存在点F，使得 B．满足的点F的轨迹长度为
C．的最小值为 D．若平面，则线段长度的最小值为
13．如图所示，二面角的平面角的大小为，是上的两个定点，且，满足与平面所成的角为，且点在平面上的射影在的内部（包括边界），则点的轨迹的长度等于 ．
14．（多选题）在棱长为的正方体中，点为正方体表面上的一动点，则下列说法中正确的有（ ）
A．当为棱的中点时，则四棱锥的外接球的表面积为
B．使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
C．若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D．点是线段的中点，当点在平面内，且时，点的轨迹为一个圆
15．已知棱长为的正四面体，为的中点，动点满足，平面经过点，且平面平面，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为_________．
16．（多选题）如图，棱长为2的正方体中， 分别为棱 的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值.
B．存在线段，使平面平面.
C．为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小.
D．若平面EFG与棱AB，BC有交点，记交点分别为M，N，则的取值范围是.
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