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外接球与内切球
模型一：墙角，鳖臑，对棱相等的三棱锥外接球--补全长方体模型
墙角，鳖臑等模型，计算公式：
对棱相等模型方法：对棱相等的三棱锥分别为 m、n、k 可以补到长方体中边长为a、b、c 中，则如图可以推导：
公式为：
【例1】如图，已知球O的球面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于 ．
【答案】
【详解】如图，以DA、AB、BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝，所以R＝，故球O的体积V＝.
【例2】四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以为三边的三角形作为底面，
且分别以为长，两两垂直的侧棱的三棱锥，
从而可得到一个长、宽、高分别为的长方体，
并且，
设球半径为，则有，∴，∴球的表面积为．
故选:A．
变式1 在三棱锥A—BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为、、．则三棱锥A—BCD的外接球的体积为
A． B． D．
【答案】A
【详解】由已知三棱锥的外接球是长为，宽为，高为的长方体的外接球，由长方体对角线长为，得外接球半径为，故所求球体体积为．
模型二：圆柱/直棱柱的外接球--圆柱模型
方法：直棱柱或圆柱外接球的球心位于上下底面外接圆的圆心连线的中点为球心。由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.
立着放的模型 躺着放的模型
公式：
【例3】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得BC=2
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，
设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径R=，
故此球的表面积为4πR2=20π
故选A．
模型三：一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球--等同圆柱模型
方法：一条侧棱垂直于底面棱锥的球心位于过底面外接圆的圆心作 垂线长为侧棱长一半的点球心。
公式：，其中垂直于底面的侧棱长；被垂直的三角形所在外接圆半径；
【例4】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为平面BCD，所以，，∴，
在中，，∴，∴.
如图所示：三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，
设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积为，
故选：A.
变式2 已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】C
【详解】在直三棱柱中，所以为直角三角形，
则外接圆的圆心为斜边的中点，同理外接圆的圆心为斜边的中点，如图，
直三棱柱外接球的直径为，外接球的半径，
设上下底面的中心分别为，，连接，则外接球的球心为的中点，
连接，则，设，所以，则，
在中，，则，
该棱柱的体积．
当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
模型四：圆锥/正棱锥的外接球--圆锥模型
特点：侧棱均相等（AB=AC=AD）--圆锥模型。
圆锥 三棱锥补成圆锥 三棱锥的外接球
方法：在正棱锥（或圆锥）中， R为外接球半径； h为正棱锥（或圆锥）的高；r为底面外接圆半径，为侧棱的侧棱长度（圆锥的母线长）且满足，
公式： 或者，或者，特别是正四面体，为棱长。
【例5】 在三棱锥中，，且，则该三棱锥外接球的表面积为________.
【详解】设顶点在底面中的射影为，由于，所以，即点是底面的外心，又，所以为的中点，
因为，所以，
设外接球的球心为，半径为，则必在上，，
在中，，解得，所以.
【例6】 校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（ ）
B． C． D．
【答案】C
【详解】如图：连接、、，取、、中点、、，连接、、，
由已知侧棱长为的正三棱锥，
即，又因为，
所以，
因为平面，，均与平面垂直，
设，，三点所在的圆为圆，底面的中心为，
则，又因为奖杯总高度为，
设球半径为，球心到圆面的距离为，
则，即，
如图，易知≌，
因为，所以是边长为的等边三角形，
设的外接圆半径为，则，
则在直角中，，即，解得，所以．
故选：C．
变式3 已知四棱锥的的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为和的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
B. C. D.
【详解】因为底面是矩形，所以矩形的对角线为截面圆的直径.
由题意知该四棱锥外接球的球心在截面中的射影为的中点，
此时，
在中，由勾股定理得，解得.
设该四棱锥外接球的半径为，则，
所以在中，由勾股定理得，解得，
所以外接球的表面积为.故选C.
底面固定，在球面上运动，最值问题，也适用于圆锥模型
【例7】点在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】由题知，所以∠ABC=90o,设AC中点为E，
球的半级为R,过A，B，C三点的截面圆半径=AE= AC=1，
由球的表面积为 知，=，解得R=，所以球心到过A，B，C三点的截面，则=，
因△ABC的面积为=1，
所以要四面体ABCD体积最大，则D为直线DE与球的交点且球心在线段DE上，
所以DE=+ =2，所以四面体ABCD体积最大值为=，
故选C．
变式4 已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【详解】设三棱锥外接球球心为，
在三角形中，由余弦定理得，
由于，所以，
设三角形外接圆半径为，外心为.由正弦定理得.
设三棱锥体积最大时，到平面的距离为，则.
设外接球的半径为，则，即.
故选：B
模型五：有两个面相互垂直的三棱锥外接球--面面垂直模型
方法：过两个面的外接圆的圆心作垂线的交点为球心
已知平面平面，分别为两个垂面的外接圆半径，为两个垂面的交线，
公式：
【例8】已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，，，平面平面，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，由，知：，又，，
∴，则．取的中点，则，
∵，由面面，面面，
∴平面．
设△的外接圆的圆心为，则在的延长线上，且，
∴．设为△的外接圆的圆心，则为的中点，．
连结，，由球的性质可知，平面，
∴，，同理，，，
∴四边形为正方形．
∴球的半径为，即，则球的体积，
故选：C．
变式5 如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）
A．4π B．24π C．π D．8π
【答案】A
【详解】平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'﹣BCD，
使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'﹣BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，
BC的中点就是球心，所以BC=2，球的半径为：；
所以球的体积为：=4．
故选A．
【例9】如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是 .
【答案】
【详解】当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，
所以此时到底面的距离最大，平面平面，
且平面平面，
取的中点，则，故平面，
取的中点，则，又，且，则，
又∵，
故是三棱锥的外接球球心，且该外接球的半径；
显然，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小，
此时，截面的圆心就是点，记其半径为，则；
由于，平面，所以平面，
而平面，则，则，
在中，，故；
又，故，又，
故由余弦定理有，
∴，故所求面积为.
故答案为：
变式6 在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 .
【答案】
【详解】如下图所示，连接，则，
则，故，
设二面角的平面角为，
设三棱锥的高为，则，
，
当且仅当时，等号成立，即当平面平面时，三棱锥的体积最大，
，，，故为等腰直角三角形，且，
在梯形中，，则，所以，，
在中，，，，
由余弦定理可得，故，，
因为平面平面，平面平面，，平面，平面，
平面，则，
因为，，平面，
平面，所以，，
记中点为，由得为三棱锥的外接球的球心，且球的半径为，
设与过点的平面所成的角为，设点到截面的距离为，则，
故截面圆的半径为，
当且仅当时，过点的平面截三棱锥外接球所得截面面积最小，所以截面圆面积的最小值为.故答案为：.
模型六：圆台/棱台模型
方法：做圆台的母线（或者棱台的侧棱）的垂直平分线与圆台的旋转轴的交点为球心，画出轴截面展开图，根据勾股求解球半径。
圆台外接球：
已知上平面的圆半径为，下平面的圆半径为，圆台高为，母线长，其中。设，根据，，解出，在中，
棱台外接球：（注意不管是几棱台，都可以把上下底面当做两个外接圆来看，且两个外接圆圆心的连线一定垂直于上下底面）
【例10】如图所示，在上、下底面均为正方形的四棱台中，已知，则该四棱台外接球的体积为 ．

【答案】
【详解】由已知可知正四棱台的外接球的球心在轴线上，如图所示，，设，
当球心在线段延长线上时，有，解得， 显然不可能，
当球心在线段上时，有，解得，则，
所以正四棱台的外接球的体积为．故答案为：
变式7 在三棱台中，，，平面平面，则该三棱台外接球的体积为 ．
【答案】
【详解】分别取的中点，则平面，且外接球球心在直线上，
由题意，．
设，
若球心在线段上，则，得；
若球心不在线段上，则，无正数解．
所以外接球体积为．故答案为：
变式8 《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，则平面.取BC的中点G，
连接FG，作，垂足为H，如图所示，
由题意得，，，，，
∴，∴，
又∵，∴，
∴，
即：这个羡除的外接球的球心为O，半径为2，
∴这个羡除的外接球体积为.
∵，面，面，
∴面，即：点A到面的距离等于点B到面的距离，
又∵，∴，
∴这个羡除的体积为，
∴羡除的外接球体积与羡除体积之比为.故选：A.
总结多面体的外接球求法转化为旋转体，具体如下：把各个平面的三角形转化为所在的外接圆，如此可以把多面体通过上述方法转化为旋转体（圆柱，圆锥，圆台），再找到母线的垂直平分线于旋转轴的交点，则交点为外接球的球心，旋转体相比多面体图形更为规则，更容易找到球心。
模型七：二面角模型
含二面角的外接球终极公式
公式：
如下图，若空间四边形中，二面角的平面角大小为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，为公共弦中点，则，，，，，由于四点共圆，且，根据余弦定理，．
其中，，为底边边上的中线，为的外接圆的半径。为底边边上的中线，为的外接圆的半径，为二面角，为交线。
同时也可以理解为：为各自所在外接圆的圆心到交线的距离，但是也要注意的正负，当顶角为钝角时，为负值，其中，。
思考：如果形成二面角的两个平面不是等腰三角形怎么办？
【例11】在四面体中，，，为等边三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，记AC的中点为，因为，为等边三角形，所以，
所以二面角的平面角为，则，
记的外接圆圆心为，又的外接圆圆心为，
分别过，作平面ABC，平面SAC的垂线，两垂线交于点O，则O为四面体的外接球球心．
由，，得，
因为为等边三角形，所以，，
因为，，
所以，所以，所以,解得，
因此四面体的外接球的半径，所以外接球的表面积为．
故选：B
变式9 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
B． C． D．
【答案】D
【详解】取中点，连接，如图，因为，所以，
所以在中，，，，所以，
设外接圆圆心为，半径为，则，即；
同理可得：，的外接圆半径也为2，
因为，所以是等边三角形，则，即二面角为，
球心在平面上，过平面的截面如图所示，则，
所以在中，，
所以，即，所以外接球的表面积．
故选：D.
模型八：双直角模型
【例12】已知平面ABC，，，交PB于D，交PC于E，M为PA的中点．若MB，MC与三棱锥的外接球的交点分别为N，Q（分别异于B，C），则 ．
【答案】
【详解】如图1，因为平面ABC，平面，所以，又，，平面，所以平面PAB，
因为平面，所以，又，，平面，
所以平面PBC，又平面PBC，所以，即为直角．
又为直角，所以AC为三棱锥的外接球的直径．
又为直角，所以点B也在该外接球上，易知．连接AQ，
因为MC与外接球的交点为Q，AC为球的直径，所以，
在中，，易知，，所以．
连接AN，NC．因为MB与外接球的交点为N，所以，
又平面PAB，平面PAB，所以，
又因为，且平面NBC，所以平面NBC，
又因为平面NBC，所以，所以．
在中，，易知，则，所以．
如图2，在中，，
在中，由余弦定理得，．
故答案为：
模型九：四棱锥转化为三棱锥。
方法：四点唯一确定一个外接圆，而四棱锥一共5个点，所以我们只需要选择底面上的3个点，外加一个顶点。转化为三棱锥去求就行。再运用前面的模型。但是要求四棱锥的底面必须满足四点共圆。如下图：四棱锥可转化为求三棱锥的外接球。
内切球
正三棱锥的内切球
其与棱锥的四个面都相切，且底面一定为等边三角形，其实是和四个三角形的中线相切。画出正三棱锥的轴截面展开图，在中和中，,即，解出，
公式：，其中为底面外心到底边的距离，且，为底面等边三角形的边长，为三棱锥的高。特别是所有边长为的正四面体，内切球。
一般三棱锥的内切球
公式
【例1】如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
【详解】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，
在三棱锥中，，，
三棱锥是正四面体，是的重心，平面，
三棱锥的内切球的表面积为，
，解得球的半径，
设，则，，
，
，，，
解得，，
此三棱锥的体积为．
故选：．
【例2】 在三棱锥中，平面，，且，，，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【详解】因为平面，，平面，平面，平面，
所以，，，
又，，所以平面，所以，
所以，，，均为直角三角形，
设球的半径为，则，
而，，
所以，解得，
所以球的表面积为，
故选：．
变式1 已知四面体中的所有棱长为，球是其内切球．若在该四面体中再放入一个球，使其与平面、平面、平面以及球均相切，则球与球的半径之比为　　
A． B． C． D．
【详解】如图，设在平面内的射影为，为球的半径，为球的半径，，分别为球，球与侧面的切点，
在中，该四面体的高，
又四面体的表面积，则，解得，
所以，即，解得，故．
故选：．
变式2 四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图1所示，正四面体ABCD中，AH⊥底面BCD，E、F、G、K为四个球的球心，M为CD中点，连接BM，AM，易知B、H、M三点共线，直线AH交平面EFG于点，连接，交GF于点N，则N为GF的中点，因为内切球半径为2，故EF=4，画出截面ABM如图2所示，正四棱锥EFGK外接球球心设为O，则正四面体ABCD的外接球球心与正四面体EFGK外接球球心重合，设正四面体ABCD的外接球半径为R，正四面体EFGK外接球半径为r，在图2中，EK=4，，，，所以
由，即，解得：，所以
过点E作EP⊥BM于点P，则EP=2，则△BEP∽△
∴，，解得：，∴
∴正四面体ABCD的外接球表面积
故选：A
正棱柱的内切球
找到侧棱的垂面，即横截面三角形DEF，然后球心O必在截面三角形DEF内上，且球半径等于该三角形的内切圆半径。
斜三棱柱的内切球
方法同上，找到侧棱的垂面，这是垂面不是横截面，需要自己做垂直画出来。
【例3】斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱的高为 ．
【答案】
【详解】在斜三棱柱中，与平面相切的球的球心为，与平面相切的球的球心为，
因为球、球与平面都相切，令切点分别这，有，
又球、球与平面都相切，则平面，又平面，
于是平面，而平面，平面平面，因此，且，
在平面内过点作，在平面过点作，
因为平面平面，平面平面，则平面，
以点作原点，射线的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

在中，，，则，
的方向向量，的方向向量，
由，得的方向向量，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
令球的半径为，设点，则，
由，得，
显然点到平面的距离等于等腰底边上的高，即有，
由，得，代入，解得，
，线段在轴上的投影为，
显然三棱柱的高等于点到平面的距离，到平面的距离与在轴上的投影的和，所以三棱柱的高为.
故答案为：
【例4】（多选题）如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点Q为上一点，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．正三棱台的高为
B．点P的轨迹长度为
C．高为，底面半径为的圆柱可以放进棱台内
D．过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
【答案】CD
【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，
在等腰梯形中，因为，，，则.
即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.
对于选项A：设为等边的中心，
由正四面体的性质可知：侧面，且，
即点到底面的距离为，
又因为，，所以正三棱台的高为，
故A错误；
对于选项B：因为与平面所成角的正切值为，
即，解得，
且等边的内切圆半径，
可知点的轨迹为等边的内切圆，所以点的轨迹长度为，故B错误；
对于选项C：因为正三棱台的高，且的内切圆半径为，
所以高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内，故C正确；
对于选项D：设正四面体的内切球半径，
由等体积法可得：，解得.
因为，则该棱台内最大的球即为正四面体的内切球.
又因为，，，
则为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心，
所以截面面积为，故D正确.
故选：CD.
变式3 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是________．
【答案】
【详解】由题意，考虑小球与正四面体的一个面相切时的情况，易知小球在面上最靠近变得切点的轨迹仍为正三角形，正四面体的棱长为，故小三角形的边长为，小球与一个面不能接触到的部分的面积为，
所以几何体的四个面永远不可能接触到容器的内壁的面积是.
【例5】（多选题）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体作勒洛四面体，如图，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截勒洛四面体所得截面的面积为
B．记勒洛四面体上以C，D为球心的两球球面交线为弧，则其长度为
C．该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4
D．该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
【答案】AD
【详解】对于A，平面截勒洛四面体所得截面如图甲，它的面积为三个半径为4，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为4的正三角形的面积；即，故A正确；
对于B，如图乙，取中点，在中，，，记该勒洛四面体上以，为球心的两球交线为弧，则该弧是以的中点为圆心，以为半径的圆弧，
设圆心角为，则，可知，
所以弧长不等于，故B错误；
对于C，如图丙，设弧的中点是，线段的中点是，设弧的中点是，线段的中点是，则根据图形的对称性，四点共线且过正四面体的中心，则，，，，即勒洛四面体表面上任意两点间距离可能大于4，最大值为，故C错误；
对于D，勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图乙，其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，由对称性可知为该球的球心，内半径为，连接，易知三点共线，设正四面体的外接球半径为，
如图丁，则由题意得：正四面体的高，，，
则，解得：，所以，，内半径，故D正确.
故选：AD.
变式4 某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而成，球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切，正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，球的体积为，则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
【详解】设球的半径为，三棱柱上底面正三角形的内切圆半径为，
因为球的体积为，则，解得，
因为正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，
所以底面正三角形的内切圆半径为，正三棱柱的高为4，
设球心为，正三角形的内切圆圆心为，取的中点，并将这三点顺次连接，
则由球的几何知识可得△为直角三角形，所以，
于是该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为．
故选：．
课后练习答案解析
1 2 3 4 5 6 7 8
C C C D D C B A
9 10 11 12 13 14 15 16 17
C A C D D A
15．米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2.侧棱长为.则其外接球的表面积为____.
【答案】
【详解】由题意，米斗的示意图如下：设棱台上底面中心为，下底面中心为，
由棱台的性质可知，外接球的球心落在直线上，
由题意该四棱台上下底面边长分别为4和2，侧棱长为，
则，，，
所以，
设外接球的半径为，，则，
因为垂直于上下底面，所以，即，
又，即，
联立解得，，
所以该米斗的外接球的表面积为.
故答案为：
16．中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，连接AC，BD，设，
因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接，
则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，
根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M．
连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以，
连接EP，FQ，在与中，易知，
所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且．
设，球O的半径为R，连接OE，OA，
当O在线段上时，由球的性质可知，
易得，则，此时无解．
当O在线段的延长线上时，由球的性质可知，
，解得，所以，
所以球O的表面积，
故选：D．
17．已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
如图，正四面体，设点是底面的中心，点是的中点，连接.
则由已知可得，平面，球心在线段上，球切平面的切点在线段上，分别设为.
则易知，，设球的半径分别为.因为，
根据重心定理可知，.
，，，，.
由可得，，即，解得，，所以.
由可得，，即，解得，
所以，球的体积为.
故选：A.
已知正六棱锥的高为，侧面与底面所成角的正切值为4，则该正六棱锥的内接正六棱柱（即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱和底面上）的外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，设正六棱锥的底面中心为，正六棱柱为，
其中底面在棱锥底面上，
设底面的中心为，外接球球心为，由题意得，
底面的中心为，底面的所有顶点均在正六棱锥的侧棱上，
则，因为正六棱锥的底面为正六边形，
设边长为，侧面与底面所成角为，作,易知,
则，解得，
即正六棱锥的底面边长为1，设，则，
由题意得，故，
故正六棱柱外接球半径的平方
，
当且仅当时取得最小值，此时外接球表面积，
故正六棱柱的外接球表面积的最小值为，
故选：D.
外接球和内切球的应用
一、单选题
1．如图所示，该几何体是由两个全等的直四棱柱相嵌而成的，且前后、左右、上下均对称，两个四棱柱的侧棱互相垂直，已知该几何体外接球的体积为，四棱柱的底面是正方形，且侧棱长为4，则两个直四棱柱公共部分的几何体的内切球体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意，该几何体的直观图如图所示：

这两个直四棱柱的中心既是外接球的球心也是内切球的球心，
设外接球的半径为R，直四棱柱的底面边长为a，
则，所以，所以，解得，
该几何体是由两个全等的四棱锥和组成，
该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形是边长为的菱形，
侧面均为全等的等腰三角形，腰长为，底边为，
设的中点为H，连接BH，SH，可知SH即为四棱锥的高，
在等腰三角形中，，边上的高为2，则，
在中，，又，
所以，又，
所以，
设内切球的半径为，由八个侧面的面积均为，
内切球的球心到各个侧面的距离都是，
利用等体积法得，解得，
故几何体的内切球的体积为.
故选：D
2．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，取的中点，连接，，则，，
过点作⊥底面，垂足在上，且，
所以，故，
点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥，
设最大球的半径为，则，
因为∽，所以，即，解得，
即，则，故
设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为，
连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为，
则，则，
又，所以，解得，
又，故，解得，
所以，
模型中九个球的表面积和为.
故选：B
3．在三棱锥中，平面平面，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在中，，，，
由余弦定理可得：，
所以，的外接圆半径为，所以，故，
过作交于点，连接，

因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
在中，，，所以，
，，，
在中，由余弦定理可得：
，
又因为，解得：，
所以设三角形的外接圆半径为，，故，
设三棱锥的外接球的半径为，

分别取的外接圆的圆心为，
则分别过作直线，且平面，平面，
交点为即为外接球的球心，
取的中点，连接，
则，又因为平面平面，
所以四边形为矩形，连接，
，
故三棱锥的外接球的表面积为：
故选：B.
4．在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知，E是AB的中点，所以，又，，
所以为等腰直角三角形，故为等腰直角三角形，取的中点为，则，
因为，又，，所以，同理可得，又，
所以，取的中点为，连接，则，所以，
所以为二面角的平面角，所以，
因为，，，
所以为等边三角形，取的中点为，则，
因为，，，平面，
所以平面，平面，
所以，又，，平面，所以平面，
因为为直角三角形，为斜边，
所以，所以为的外接圆的圆心，
设为三棱锥外接球的球心，则平面，
设，三棱锥外接球的半径为，则，
若球心和点位于平面的两侧，
延长到点，使得，
因为平面，平面，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，，所以，
所以，所以，，
所以三棱锥外接球的表面积，
若球心和点位于平面的同侧，
因为平面，平面，所以，
过点作，则四边形为平行四边形，
所以，，所以，
所以，所以，舍去 ，
故选：A.
5．如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
① 若是的中点，则直线与所成角为
② 的周长最小值为
③ 如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
④ 如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
【答案】D
【详解】对于①：连接，
在正四面体中，D是PB的中点，所以.
因为平面，平面，，
所以直线平面，
因为平面，
所以，所以直线与所成角为，故①正确；
对于②，如图，把沿着CD展开与面同一个平面内，则周长最小值为,
由，，，
所以
所以，所以，所以的周长最小值为不正确，故②错误；
对于③，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设半径为.
由等体积法可得，所以半径.故③正确；
对于④，10个小球分三层（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径要最大，则外层小球与四个面相切，设小球半径为，四个角小球球心连线是棱长为的正四面体，其高为，由正四面体内切球的半径是高的得，
如图正四面体，
则，正四面体高为，得.故④正确.
故选：D
6．（多选题）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）

A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值可能大于4
C．勒洛四面体的体积是
D．勒洛四面体内切球的半径是
【答案】BD
【详解】对选项A：勒洛四面体最大的截面即经过四面体表面的截面，如图1所示，错误；
对选项B：如图2，设弧的中点是，线段的中点是，
设弧的中点是，线段的中点是，
则根据图形的对称性，四点共线且过正四面体的中心，
则，
，，
故，正确；
对选项C：如图3，由对称性可知内切球的球心是正四面体外接球的球心，
连接并延长交勒洛四面体的曲面于点，则就是勒洛四面体内切球的半径，

如图4，为的中心，是正四面体外接球的球心，
连接，由正四面体的性质可知在上.
因为，所以，则.
因为，
即，解得，
则正四面体外接球的体积是，
因为勒洛四面体的体积小于正四面体外接球的体积，错误；
对选项D：因为，所以，正确；
故选：BD.
7．（多选题）半正多面体亦称“阿基米德体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体．点、、是该多面体的三个顶点，且棱长，则下列结论正确的是（ ）
A．该多面体的表面积为
B．该多面体的体积为
C．该多面体的外接球的表面积为
D．若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为
【答案】BCD
【详解】对于A选项，因为，“阿基米德体”一共有八个面，
其中有四个面是边长为的正六边形，有四个面是边长为的正三角形，
因此，“阿基米德体”的表面积为，A错；
对于B选项，如下图所示，在棱长为的正四面体中，设顶点在底面的射影点为点，
延长交于点，则为的中点，
因为为等边三角形，则，且，
易知点为的中心，则，
因为平面，平面，所以，，
故，
，
即棱长为的正四面体的体积为，
因为“阿基米德体”是在棱长为的正四面体上截去了个棱长为的正四面体，
因此，“阿基米德体”的体积为，B对；
对于C选项，设等边的中心为，与平面平行的底面正六边形的中心记为点，
则平面，
原正四面体（棱长为）的高为，则，
由题意可知，“阿基米德体”的外接球球心在直线上，
易知，即正的外接圆半径为，
底面正六边形的外接圆半径为，
设，“阿基米德体”的外接球半径为，则，
解得，则，
因此，该多面体的外接球的表面积为，C对；
对于D选项，如下图所示：
由正六边形的几何性质可知，
因为，则，所以，，
即，同理可知，
因为，、平面，则平面，
因为平面，所以，，
由余弦定理可得，
同理可得，易知，
所以，点的轨迹长度为，D对.
故选：BCD.
8．（多选题）如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得
B．面积的最大值为
C．
D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积
【答案】BCD
【详解】对于A，取的中点，连接，，
显然，且，又，且，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又，，且为的中点，
则与不垂直，所以与也不垂直，故A错误；
对于B，由，，则，
所以当时，最大，且最大值为，故B正确；
对于C，取的中点，的中点，作平面，且点在平面内，
连接，，，
由，则，又，且，则，
则在平面上的射影在直线上，即点在直线上，
则平面与平面所成的二面角，则，所以，
又在平面上的射影为，则，所以，
所以，故C正确；
对于D，结合C可知，，
则当点与点重合，即平面时，最大，且最大值为，
则，又，且，则平面，
所以，，两两垂直，且，，，
则三棱锥的外接球的半径和长、宽、高分别为，，的长方体的外接球的半径相等，
所以其外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
9．近年我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破，载人航天、探月探火、深海深地探测、超级计算机、卫星导航、量子信息等都取得重大成果．如图正方体为制作某深海探测器零件的新型材料，其棱长为2厘米，制作中要用与正方体内切球相切的平面去裁切正方体的一个角，要求截面为正三角形．若正方体八个角都做这样的裁切，则所剩几何体体积为______．
【答案】
【详解】
由正方体棱长为2，可知其内切球球心为正方体中心，半径为1，
正方体顶点到球心距离，由题意截面为正三角形，切点，
三点共线，则，
设正三棱锥侧棱，则，
为正三角形中心，所以，则，解得，
所以，
又因为相邻两个三棱锥重叠部分为三棱锥，可得，
则直角三角形中，，
，
所以剩下的体积为：.
故答案为：
如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为的大球放置在底面半径和高均为的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入 个小球.
【详解】过球心与圆柱底面圆圆心的平面截该几何体的平面图，如图所示，
设球的半径，实心小球的半径，
由题意可得，，
，
小球的球心在以为圆心，为半径的圆上，，周长为，
，即，
故该工艺品最多放15个小球．
11．已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为 .
【答案】/
【详解】设球的半径为，正四棱锥的高、底面外接圆的半径分别为，.
如图，球心在正四棱锥内时，由，可得，
即（*）.

球心在正四棱锥外时，亦能得到（*）式.
又正四棱锥的体积为，则，代入（*）式可得.
通过对关于的函数求导，即，
易得函数在单调递减，在单调递增，
则.从而，球的体积的最小值.
故答案为：.
培优练习(二)
1．
【分析】先计算出正四面体的外接球半径，再分析该球与圆锥S与内部相切的情形即可．
【详解】解：先计算正四面体的外接球半径，如图所示：
记正四面体的底面三角形的中心为，
由正四面体的性质可知，平面，正四面体的外接球的球心在上，设其半径为，
∵平面，∴，
可知，，
则有，
，即，解得，
当正四面体的外接球在圆锥内部相切时，正四面体可在圆锥内任意转动，
取圆锥的一个轴截面，如图所示：
为正四面体的外接球球心，为圆锥S底面圆的圆心，
为圆和圆锥的其中一个切点，为圆锥的高，
可知，，，
则，，
则，圆锥的体积为．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：本题考查几何体的组合问题，解题的关键是先求出正四面体的外接球半径，将问题转化为外接球在圆锥内部相切的情况.
2．
【分析】由线面垂直关系，利用分割法求三棱锥体积，由垂直关系结合球心性质找到球心位置，再运算求解球半径即可.
【详解】如图，

取的中点，连接，，
因为，，
又平面，平面，，
所以平面，平面，
所以平面平面，
同理可证，平面平面，
设和的中心分别为、，
在平面内，过、分别作的垂线，设交点为，
即，
又平面平面，由面面垂直的性质定理可知：平面，
同理可得：平面，即球心为，
设“鞠”的半径为，连接，
则，
即：，
又因为，，所以，
又顶点A在底面的射影落在内，则，
由，为公共边，得与全等，
则为的角平分线，所以.
在中，因为，则，
在中，，则，
所以该“鞠”的表面积.
故答案为：.
3．
【分析】先根据二面角的定义，求出P的位置，再把四面体提取出来，根据球心就在小圆圆心的正上方，构建直角三角形进行求解.
【详解】
如图，连接交于点，
因为，所以，同理，
由二面角的定义知，为二面角的平面角，，
在棱长为2的正方体中，设，
，
，
，解得，
提取出四面体，如下图，
则，，
又因为面角为直二面角，取中点，连接，
在底面等边，其外接圆圆心为三角形的重心，
则
所以，
在等腰三角形中，设外接圆半径为，其外接圆圆心在上，设为，
过作垂线，其交点为，则为球心，连接，
，
由正弦定理，，求得，
，
设外接球半径为，则
所以外接球的表面积为.
故答案为：

4．
【分析】设，利用表示出AD，CD，由正弦定理可得外接圆的半径，由已知条件和平面可得，然后用换元法和基本不等式可得.
【详解】在平面四边形中设，
即在Rt中，.
在等腰中，.设外接圆圆心为，外接圆半径为，由正弦定理可得.
设三棱锥外接球球心为，则平面.
又平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，则，所以四边形为直角梯形.
设外接球的半径为，在平面四边形中，过做于，
在中，为的中点，，
由，
所以
.
令，则，
因为，当且仅当，即时（满足）等号成立.
所以，
所以外接球表面积的最小值为.

故答案为：
【点睛】本题考察几何体的外接球问题，主要方法有定义法，补形法，坐标法等，本题主要利用球心到个顶点的距离相等，以及底面外接圆圆心与球心的连线垂直于底面求解.
5．
【分析】第一空：由题意先画出图形，算出外接圆的半径，然后再算出点到平面的距离，从而即可得解.第二空：若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小，所以只需球心到截面的距离为最大即可，而当且仅当与截面垂直时，球心到截面的距离为最大，即，所以只需算出的长度即可.
【详解】如图所示：

因为，
所以，
且，点为外接圆的圆心，
所以四面体的外接球的球心一定在过点且垂直面的直线上，
如图不妨设面，面，四面体的外接球的半径，，
则由对称性可知点也在直线上且，，
由题意，，，
在中，有，即，
在中，有，即，
联立以上两式解得，
所以，
从而四面体的外接球的表面积为；
如图所示：

由题意将上述第一空中的点用现在的点来代替，而现在的点为线段的靠近点的三等分点，
此时过点作球的截面，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小，
设球心到截面的距离为，截面半径为，则，
所以只需球心到截面的距离为最大即可，
而当且仅当与截面垂直时，球心到截面的距离为最大，即，
由以上分析可知此时，，
所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：第一空的关键是明确要分别求底面三角形外接圆的半径、以及，点到平面的距离；第二空的关键是明确只需垂直截面即可，从而算出的长度即可顺利求解.
6．
【分析】确定四棱锥P－ABCD的外接球球心的位置，进而根据外接球表面积求得正四棱锥棱长；先求得四棱锥P－ABCD的内切球的半径，那么在四棱锥P－ABCD内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，由此可求得答案.
【详解】连接AC，BD交于点O，
则易得是等腰直角三角形，
则O是正四棱锥外接球的球心，正四棱锥的所有棱都相等，设其为x，
则外接球的半径是OA=，
所以，，即，
因此，
故四棱锥P－ABCD的体积.
设四棱锥P－ABCD的内切球半径为R，
四棱锥的表面积：，
所以四棱锥的体积，
则 ，
在四棱锥P－ABCD内放一个正方体的体对角线不超过内切球直径时，便可以在四棱锥内部任意转动，设放入四棱锥S－ABCD内部的小正方体棱长为a，
则，故，
故a最大为，
故答案为：，.
7．
【分析】首先找到外接球的球心，再利用勾股定理计算即可；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小，然后根据正四面体内切球的相关计算求解即可.
【详解】由题意知，该半正多面体的外接球的球心是正方体的中心，正方体棱长为，
所以该半正多面体外接球的半径，故其表面积为.
若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小.
此时，设正四面体的棱长为a，则正四面体的高为，考查轴截面，则有，解得，
所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题第②空的关键点是探究出结论：若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该半正多面体的外接球是正四面体的内切球时，该正四面体体积最小.
8．ABC
【分析】根据题意取的中点为，截取平面，利用正四棱台性质可知平面，由线面角定义可知点的轨迹是以为直径在平面内的半圆，再利用圆外一点到圆上点距离的最值问题可知A正确；利用线面垂直的判定定理可知当与以为直径的半圆相切时，满足，即B正确；根据线面平行的判定定理可得当点与点重合时满足，即C正确；易知此棱台可放入的最大球的直径为，而棱长为1.5的正方体的外接球直径为，可知D错误.
【详解】对于A，分别取的中点为，连接，如下图所示：

由题意得，，又，平面，
所以可得平面，
又平面，所以；
又因为正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，
即可得，易得，
所以在梯形中，，可得，
满足，所以；
又，平面，所以平面；
又因为与平面所成角的正切值为，
可得，即，
所以点的轨迹是为圆心，即以为直径在平面内的半圆，
故长度的最小值为，故A正确；
对于B，由选项A可知，平面，平面，所以；
若（即与以为直径的半圆相切时），平面，
又平面，所以，
即存在点，使得，故B正确；
对于C，当点与点重合时，，且，
此时四边形为平行四边形，所以，即，故C正确；
对于D，若正方体在此容器内部可以任意转动，则正方体的外接球可以放进容器，
棱长为1.5的正方体的外接球直径为，
由等腰梯形可知，其高，如下图所示：

可知此棱台可放入的最大球的直径为，小于正方体外接球直径，
故不可以在此空心棱台容器内部任意转动，所以D不正确．
故选：ABC
9．ACD
【分析】A选项，根据，推导出的面积最小时，点到平面AEF的距离最大，要想的面积最小，则要点E到边AF的距离最小，其最小值为异面直线AF与的距离，根据体积相等列出方程，得到；B选项，外接球的球心O是上、下底面外接圆的圆心连线的中心，由正弦定理和余弦定理得到外接圆半径，从而得到外接球半径和表面积；C选项，作出辅助线，推导出当取最小值时，最小，即最小，此时，因为是AF的中点，则是的中点，则E是棱的中点，进而求出各边长，得到；D选项，作出辅助线，得到过A，E，F三点的截面，并求出面积.
【详解】A选项：因为，所以三棱锥的体积为定值.
设点到平面AEF的距离为d，若d最大，则的面积最小，
即点E到边AF的距离最小，其最小值为异面直线AF与的距离，
即为与平面的距离，即点B与平面的距离，记为h，
由，得，所以，
解得，故A项正确；
B选项：外接球的球心O是上、下底面外接圆的圆心连线的中点，
设上底面外接圆圆心为，外接圆半径为r，

在中，由余弦定理可得，
所以，
由正弦定理得，所以，
设外接球的半径为R，则，
所以外接球的表面积为，故B项错误；
C选项：作，垂足为H，作，垂足为H1，

易证棱在平面上的射影为，
则点E在平面上的射影在线段上，
由B选项可知，，故，解得，
故，则，
设AF的中点为，外接球的球心为，半径为，则平面，
即，在中，①，
又因为②，

由①②可得，所以当取最小值时，最小，即最小，
此时，因为是AF的中点，则是的中点，则E是棱的中点.
因为，所以直线EF与所成角即为直线EF与所成角.
由B项中，再由余弦定理可得，
因为，所以，，故C项正确；
D项：延长AF，交于点P，连接PE交于点M，

则四边形AEMF是截面，且点F是AP的中点，点M是上靠近的三等分点，
由勾股定理求得，，，
因为，所以为直角，
故，
又，，
易知，
所以四边形AEMF的面积为，故D项正确.
故选：ACD
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外接球模型核心思想总结：补全成对应的旋转体，再做母线的垂直平分线与旋转轴交点为球心
模型名称 对应三棱锥的特征 计算公式 公式中的变量对于三棱锥的几何意义
长方体模型 1.三条棱两两互相垂直 为互相垂直的棱长；
2.三组对棱相等 为三组相等的棱长；
圆柱模型 一条侧棱垂直于底面 例如： 垂直于底面的侧棱长； 被垂直的三角形所在外接圆半径；
圆锥模型 三条侧棱均相等 顶点在底面的投影为底面的外心 或 其中 相等的侧棱长； 底面三角形所在外接圆半径； 三棱锥的高； 正四面体：
已知外接球半径，求三棱锥体积最大值模型等同于圆锥模型
面面垂直 两个面互相垂直 分别为两个垂面的外接圆半径； 两个垂面的交线；
翻折过程中的三棱锥体积最大值等同于面面垂直模型
圆台模型 符合多面体棱台的特征，可把棱台补全成圆台 上下底面分别补成对应的外接圆，从而还原成圆台，然后做圆台的母线（或者棱台的侧棱）的垂直平分线与圆台的旋转轴的交点为球心，画出轴截面展开图，根据勾股列方程求解球半径。
二面角模型 已知三棱锥的其中的两个平面所形成二面角的值 （分式整体为正弦定理，其中分子为余弦定理的形式）
若三角形为等腰三角形，则，，，为两个共底边的等腰三角形底边上的中线，，为两个等腰三角形的外接圆的半径，为二面角，为交线。注意当顶角为钝角是，即时，为负值，同理当时，为负值， （2）若三角形不是等腰三角形，则也可以当做各自所在外接圆的圆心到交线的距离，但是也要注意的正负，，。
外接球模型默写模版
外接球模型核心思想总结：
模型名称 对应三棱锥的特征 计算公式 公式中的变量对于三棱锥的几何意义
长方体模型 三条棱两两互相垂直
三组对棱相等
圆柱模型
圆锥模型
已知外接球半径，求三棱锥体积最大值模型等同于 模型
面面垂直 两个面互相垂直
翻折过程中的三棱锥体积最大值等同于 模型
二面角模型
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外接球与内切球
模型一：墙角，鳖臑，对棱相等的三棱锥外接球--补全长方体模型
墙角，鳖臑等模型，计算公式：；
对棱相等模型方法：对棱相等的三棱锥分别为 m、n、k 可以补到长方体中边长为a、b、c 中，则如图可以推导：
公式为：；
【例1】如图，已知球O的球面上有四点A、B、C、D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于 ．
【答案】
【详解】如图，以DA、AB、BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝，
所以R＝，故球O的体积V＝.
【例2】四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可采用割补法，考虑到四面体的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以为三边的三角形作为底面，
且分别以为长，两两垂直的侧棱的三棱锥，
从而可得到一个长、宽、高分别为的长方体，
并且，
设球半径为，则有，∴，∴球的表面积为．
故选:A．
变式1 在三棱锥A—BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，△ABC、△ACD、△ADB的面积分别为、、．则三棱锥A—BCD的外接球的体积为
A． B． D．
模型二：圆柱/直棱柱的外接球--圆柱模型
方法：直棱柱或圆柱外接球的球心位于上下底面外接圆的圆心连线的中点为球心。由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径.
立着放的模型 躺着放的模型
公式：
【例3】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，可得BC=2
由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，
设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径R=，
故此球的表面积为4πR2=20π
故选A．
模型三：一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球--等同圆柱模型
方法：一条侧棱垂直于底面棱锥的球心位于过底面外接圆的圆心作 垂线长为侧棱长一半的点球心。
公式：, 其中垂直于底面的侧棱长；被垂直的三角形所在外接圆半径；
【例4】已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为平面BCD，所以，，∴，
在中，，∴，∴.
如图所示：三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，
设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积为，
故选：A.
变式2 已知直三棱柱外接球的直径为6，且，，则该棱柱体积的最大值为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
模型四：圆锥/正棱锥的外接球--圆锥模型
特点：侧棱均相等（AB=AC=AD）--圆锥模型。
圆锥 三棱锥补成圆锥 三棱锥的外接球
方法：在正棱锥（或圆锥）中， R为外接球半径； h为正棱锥（或圆锥）的高；r为底面外接圆半径，为侧棱的侧棱长度（圆锥的母线长）且满足，
公式： 或者，或者，
特别是正四面体，为棱长。
【例5】 在三棱锥中，，且，则该三棱锥外接球的表面积为________.
【详解】设顶点在底面中的射影为，由于，所以，即点是底面的外心，又，所以为的中点，
因为，所以，
设外接球的球心为，半径为，则必在上，，
在中，，解得，所以.
【例6】 校足球社团为学校足球比赛设计了一个奖杯，如图，奖杯的设计思路是将侧棱长为6的正三棱锥的三个侧面沿AB，BC，AC展开得到面，使得平面均与平面ABC垂直，再将球放到上面使得三个点在球的表面上，若奖杯的总高度为，且，则球的表面积为（ ）
B． C． D．
【答案】C
【详解】如图：连接、、，取、、中点、、，连接、、，
由已知侧棱长为的正三棱锥，
即，又因为，
所以，
因为平面，，均与平面垂直，
设，，三点所在的圆为圆，底面的中心为，
则，又因为奖杯总高度为，
设球半径为，球心到圆面的距离为，
则，即，
如图，易知≌，
因为，所以是边长为的等边三角形，
设的外接圆半径为，则，
则在直角中，，即，解得，所以．
故选：C．
变式3 已知四棱锥的的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为和的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
B. C. D.
底面固定，在球面上运动，最值问题，也适用于圆锥模型
【例7】点在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【详解】由题知，所以∠ABC=90o,设AC中点为E，
球的半级为R,过A，B，C三点的截面圆半径=AE= AC=1，
由球的表面积为 知，=，解得R=，所以球心到过A，B，C三点的截面，则=，
因△ABC的面积为=1，
所以要四面体ABCD体积最大，则D为直线DE与球的交点且球心在线段DE上，
所以DE=+ =2，所以四面体ABCD体积最大值为=，
故选C．
变式4 已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．
模型五：有两个面相互垂直的三棱锥外接球--面面垂直模型
方法：过两个面的外接圆的圆心作垂线的交点为球心
已知平面平面，分别为两个垂面的外接圆半径，为两个垂面的交线，
公式：；
【例8】已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，，，平面平面，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，由，知：，又，，
∴，则．取的中点，则，
∵，由面面，面面，
∴平面．
设△的外接圆的圆心为，则在的延长线上，且，
∴．设为△的外接圆的圆心，则为的中点，．
连结，，由球的性质可知，平面，
∴，，同理，，，
∴四边形为正方形．
∴球的半径为，即，则球的体积，
故选：C．
变式5 如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）
A．4π B．24π C．π D．8π
【例9】如图，在梯形中，，将沿直线翻折至的位置，，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得的截面面积的最小值是 .
【答案】
【详解】当三棱锥的体积最大时，由于底面的面积是定值，
所以此时到底面的距离最大，平面平面，且平面平面，
取的中点，则，故平面，
取的中点，则，又，且，则，
又∵，故是三棱锥的外接球球心，且该外接球的半径；
显然，当且仅当过点的平面与垂直时，截外接球的截面面积最小，
此时，截面的圆心就是点，记其半径为，则；
由于，平面，所以平面，而平面，则，则，
在中，，故；又，故，又，
故由余弦定理有，∴，故所求面积为.
故答案为：
变式6 在梯形中，，，为的中点，将沿直线翻折成，当三棱锥的体积最大时，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面面积的最小值为 .
模型六：圆台/棱台模型
方法：做圆台的母线（或者棱台的侧棱）的垂直平分线与圆台的旋转轴的交点为球心，画出轴截面展开图，根据勾股求解球半径。
圆台外接球：
已知上平面的圆半径为，下平面的圆半径为，圆台高为，母线长，其中。设，根据，，解出，在中，
棱台外接球：（注意不管是几棱台，都可以把上下底面当做两个外接圆来看，且两个外接圆圆心的连线一定垂直于上下底面）
【例10】如图所示，在上、下底面均为正方形的四棱台中，已知，则该四棱台外接球的体积为 ．

【答案】
【详解】由已知可知正四棱台的外接球的球心在轴线上，如图所示，，设，
当球心在线段延长线上时，
有，解得， 显然不可能，
当球心在线段上时，
有，解得，则，
所以正四棱台的外接球的体积为．
故答案为：
变式7 在三棱台中，，，平面平面，则该三棱台外接球的体积为 ．
变式8 《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除如图所示，底面为正方形，，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（ ）
A． B． C． D．
总结多面体的外接球求法转化为旋转体，具体如下：把各个平面的三角形转化为所在的外接圆，如此可以把多面体通过上述方法转化为旋转体（圆柱，圆锥，圆台），再找到母线的垂直平分线于旋转轴的交点，则交点为外接球的球心，旋转体相比多面体图形更为规则，更容易找到球心。
模型七：二面角模型
含二面角的外接球终极公式
公式：
如下图，若空间四边形中，二面角的平面角大小为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，为公共弦中点，则，，，，，由于四点共圆，且，根据余弦定理，．
其中，，为底边边上的中线，为的外接圆的半径。为底边边上的中线，为的外接圆的半径，为二面角，为交线。
同时也可以理解为：为各自所在外接圆的圆心到交线的距离，但是也要注意的正负，当顶角为钝角时，为负值，其中，。
思考：如果形成二面角的两个平面不是等腰三角形怎么办？
【例11】在四面体中，，，为等边三角形，二面角的余弦值为，则四面体的外接球的表面积为（ ）
B． C． D．
【答案】B
【详解】如图，记AC的中点为，因为，为等边三角形，所以，
所以二面角的平面角为，则，
记的外接圆圆心为，又的外接圆圆心为，
分别过，作平面ABC，平面SAC的垂线，两垂线交于点O，
则O为四面体的外接球球心．
由，，得，因为为等边三角形，所以，，
因为，，
所以，所以，所以,解得，
因此四面体的外接球的半径，
所以外接球的表面积为．故选：B
变式9 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
B． C． D．
模型八：双直角模型
【例12】已知平面ABC，，，交PB于D，交PC于E，M为PA的中点．若MB，MC与三棱锥的外接球的交点分别为N，Q（分别异于B，C），则 ．
【答案】
【详解】如图1，因为平面ABC，平面，所以，又，，平面，所以平面PAB，
因为平面，所以，又，，平面，
所以平面PBC，又平面PBC，所以，即为直角．
又为直角，所以AC为三棱锥的外接球的直径．
又为直角，所以点B也在该外接球上，易知．连接AQ，
因为MC与外接球的交点为Q，AC为球的直径，所以，
在中，，易知，，所以．
连接AN，NC．因为MB与外接球的交点为N，所以，
又平面PAB，平面PAB，所以，
又因为，且平面NBC，所以平面NBC，
又因为平面NBC，所以，所以．
在中，，易知，则，所以．
如图2，在中，，
在中，由余弦定理得，．
故答案为：
模型九：四棱锥转化为三棱锥。
方法：四点唯一确定一个外接圆，而四棱锥一共5个点，所以我们只需要选择底面上的3个点，外加一个顶点。转化为三棱锥去求就行。再运用前面的模型。但是要求四棱锥的底面必须满足四点共圆。如下图：四棱锥可转化为求三棱锥的外接球。
外接球模型核心思想总结：补全成对应的旋转体，再做母线的垂直平分线与旋转轴交点为球心
模型名称 对应三棱锥的特征 计算公式 公式中的变量对于三棱锥的几何意义
长方体模型 1.三条棱两两互相垂直 为互相垂直的棱长；
2.三组对棱相等 为三组相等的棱长；
圆柱模型 一条侧棱垂直于底面 例如： 垂直于底面的侧棱长； 被垂直的三角形所在外接圆半径；
圆锥模型 三条侧棱均相等 顶点在底面的投影为底面的外心 或 其中 相等的侧棱长； 底面三角形所在外接圆半径； 三棱锥的高； 正四面体：
已知外接球半径，求三棱锥体积最大值模型等同于圆锥模型
面面垂直 两个面互相垂直 分别为两个垂面的外接圆半径； 两个垂面的交线；
翻折过程中的三棱锥体积最大值等同于面面垂直模型
圆台模型 符合多面体棱台的特征，可把棱台补全成圆台 上下底面分别补成对应的外接圆，从而还原成圆台，然后做圆台的母线（或者棱台的侧棱）的垂直平分线与圆台的旋转轴的交点为球心，画出轴截面展开图，根据勾股列方程求解球半径。
二面角模型 已知三棱锥的其中的两个平面所形成二面角的值 （分式整体为正弦定理，其中分子为余弦定理的形式）
若三角形为等腰三角形，则，，，为两个共底边的等腰三角形底边上的中线，，为两个等腰三角形的外接圆的半径，为二面角，为交线。注意当顶角为钝角是，即时，为负值，同理当时，为负值， （2）若三角形不是等腰三角形，则也可以当做各自所在外接圆的圆心到交线的距离，但是也要注意的正负，，。
外接球模型默写模版
外接球模型核心思想总结：
模型名称 对应三棱锥的特征 计算公式 公式中的变量对于三棱锥的几何意义
长方体模型 三条棱两两互相垂直
三组对棱相等
圆柱模型
圆锥模型
已知外接球半径，求三棱锥体积最大值模型等同于 模型
面面垂直 两个面互相垂直
翻折过程中的三棱锥体积最大值等同于 模型
二面角模型
内切球
正三棱锥的内切球
其与棱锥的四个面都相切，且底面一定为等边三角形，其实是和四个三角形的中线相切。画出正三棱锥的轴截面展开图，在中和中，,即，解出，
公式：，其中为底面外心到底边的距离，且，为底面等边三角形的边长，为三棱锥的高。特别是所有边长为的正四面体，内切球。
一般三棱锥的内切球
公式
【例1】如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为　　
A． B． C． D．
【详解】连接，并延长交底面于点，连接，并延长交于，
在三棱锥中，，，
三棱锥是正四面体，是的重心，平面，
三棱锥的内切球的表面积为，
，解得球的半径，
设，则，，
，
，，，解得，，
此三棱锥的体积为．故选：．
【例2】 在三棱锥中，平面，，且，，，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为　　
A． B． C． D．
【详解】因为平面，，平面，平面，平面，
所以，，，
又，，所以平面，所以，
所以，，，均为直角三角形，
设球的半径为，则，
而，，
所以，解得，所以球的表面积为，
故选：．
变式1 已知四面体中的所有棱长为，球是其内切球．若在该四面体中再放入一个球，使其与平面、平面、平面以及球均相切，则球与球的半径之比为　　
A． B． C． D．
变式2 四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为
正棱柱的内切球
找到侧棱的垂面，即横截面三角形DEF，然后球心O必在截面三角形DEF内上，且球半径等于该三角形的内切圆半径。
斜三棱柱的内切球
方法同上，找到侧棱的垂面，这是垂面不是横截面，需要自己做垂直画出来。
【例3】斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱的高为 ．
【答案】
【详解】在斜三棱柱中，与平面相切的球的球心为，与平面相切的球的球心为，
因为球、球与平面都相切，令切点分别这，有，
又球、球与平面都相切，则平面，又平面，
于是平面，而平面，平面平面，因此，且，
在平面内过点作，在平面过点作，
因为平面平面，平面平面，则平面，
以点作原点，射线的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，

在中，，，则，
的方向向量，的方向向量，
由，得的方向向量，
设平面的法向量，则，令，得，
设平面的法向量，则，令，得，
令球的半径为，设点，则，
由，得，
显然点到平面的距离等于等腰底边上的高，即有，
由，得，代入，解得，
，线段在轴上的投影为，
显然三棱柱的高等于点到平面的距离，到平面的距离与在轴上的投影的和，所以三棱柱的高为.
故答案为：
【例4】（多选题）如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点Q为上一点，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．正三棱台的高为
B．点P的轨迹长度为
C．高为，底面半径为的圆柱可以放进棱台内
D．过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为
【答案】CD
【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：，
在等腰梯形中，因为，，，则.
即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且.
对于选项A：设为等边的中心，
由正四面体的性质可知：侧面，且，
即点到底面的距离为，
又因为，，所以正三棱台的高为，
故A错误；
对于选项B：因为与平面所成角的正切值为，
即，解得，
且等边的内切圆半径，
可知点的轨迹为等边的内切圆，所以点的轨迹长度为，故B错误；
对于选项C：因为正三棱台的高，且的内切圆半径为，
所以高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内，故C正确；
对于选项D：设正四面体的内切球半径，
由等体积法可得：，解得.
因为，则该棱台内最大的球即为正四面体的内切球.
又因为，，，
则为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心，
所以截面面积为，故D正确.
故选：CD.
变式 3 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是________．
【例5】（多选题）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体作勒洛四面体，如图，则下列说法正确的是（ ）
A．平面截勒洛四面体所得截面的面积为
B．记勒洛四面体上以C，D为球心的两球球面交线为弧，则其长度为
C．该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4
D．该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
【答案】AD
【详解】对于A，平面截勒洛四面体所得截面如图甲，它的面积为三个半径为4，圆心角为的扇形的面积减去两个边长为4的正三角形的面积；即，故A正确；
对于B，如图乙，取中点，在中，，，记该勒洛四面体上以，为球心的两球交线为弧，则该弧是以的中点为圆心，以为半径的圆弧，
设圆心角为，则，可知，所以弧长不等于，故B错误；
对于C，如图丙，设弧的中点是，线段的中点是，设弧的中点是，线段的中点是，则根据图形的对称性，四点共线且过正四面体的中心，则，，，，即勒洛四面体表面上任意两点间距离可能大于4，最大值为，故C错误；
对于D，勒洛四面体能容纳的最大球，与勒洛四面体的弧面相切，如图乙，其中点为该球与勒洛四面体的一个切点，由对称性可知为该球的球心，内半径为，连接，易知三点共线，设正四面体的外接球半径为，
如图丁，则由题意得：正四面体的高，，，
则，解得：，所以，，内半径，故D正确.
故选：AD.
变式4 某礼品店销售的一装饰摆件如图所示，由球和正三棱柱加工组合而成，球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切，正三棱柱的高为4，底面正三角形边长为6，球的体积为，则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为　　
A．5 B．6 C．7 D．8
课后练习
1．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知三棱锥的顶点都在球的表面上，若，，两两互相垂直，且，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（ ）
A． B．
C． D．
5．已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，且，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．三棱锥的四个顶点都在球的球面上，已知，，两两垂直，，，当三棱锥的体积最大时，球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．四面体的四个顶点都在球的表面上，平面，三角形是边长为的等边三角形，若，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，是同一球面上的四个点，其中是正三角形，平面，，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．矩形中，，，沿将矩形折起，使面⊥面，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．在四面体中，，，，平面平面，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在三棱锥中，，二面角的正弦值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
B． A． D．
12．在三棱锥中，，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球体积为（ ）
A． B． C． D．
13．三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为
已知在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为
米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为4和2.侧棱长为.则其外接球的表面积为____.
中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（ ）
B． C． D．
已知正六棱锥的高为，侧面与底面所成角的正切值为4，则该正六棱锥的内接正六棱柱（即正六棱柱的所有顶点均在正六棱锥的侧棱和底面上）的外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
练习(一)
1．如图所示，该几何体是由两个全等的直四棱柱相嵌而成的，且前后、左右、上下均对称，两个四棱柱的侧棱互相垂直，已知该几何体外接球的体积为，四棱柱的底面是正方形，且侧棱长为4，则两个直四棱柱公共部分的几何体的内切球体积为（ ）

A． B． C． D．
2．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程 高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊 平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（ ）
A． B． C． D．
3．在三棱锥中，平面平面，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）

A． B． C． D．
4．在矩形ABCD中，已知，E是AB的中点，将沿直线DE翻折成，连接，当二面角的平面角的大小为时，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，是的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
① 若是的中点，则直线与所成角为
② 的周长最小值为
③ 如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
④ 如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
6．（多选题）数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）

A．勒洛四面体最大的截面是正三角形
B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值可能大于4
C．勒洛四面体的体积是
D．勒洛四面体内切球的半径是
7．（多选题）半正多面体亦称“阿基米德体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体．点、、是该多面体的三个顶点，且棱长，则下列结论正确的是（ ）
A．该多面体的表面积为
B．该多面体的体积为
C．该多面体的外接球的表面积为
D．若点是该多面体表面上的动点，满足时，点的轨迹长度为
8．（多选题）如图，矩形中，，，为边的中点，沿将折起，点折至处（平面），若为线段的中点，平面与平面所成锐二面角，直线与平面所成角为，则在折起过程中，下列说法正确的是（ ）
A．存在某个位置，使得
B．面积的最大值为
C．
D．三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积
9．如图正方体为制作某深海探测器零件的新型材料，其棱长为2厘米，制作中要用与正方体内切球相切的平面去裁切正方体的一个角，要求截面为正三角形．若正方体八个角都做这样的裁切，则所剩几何体体积为______．
如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为的大球放置在底面半径和高均为的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入 个小球.
已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为 .
培优练习(二)
1．已知正四面体的棱长为，若该正四面体能在底面半径为2的圆锥内任意转动，则该圆锥体积的最小值为 ．
2．贵州榕江“村超”火爆全网，引起旅游爱好者、社会名流等的广泛关注．足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗蹴鞠的场景．已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥A-BCD如图所示，顶点A在底面的射影落在内，它的体积为，其中和都是边长为2的正三角形，则该“鞠”的表面积为 ．

3．如图，在棱长为2的正方体中，在棱上运动，当二面角为直二面角时，四面体的外接球表面积为 ．

4．如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为 .

5．在平面四边形中，，将四边形沿折起，使，则四面体的外接球的表面积为 ；若点在线段上，且，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为 ．
6．在一个正方形内有一个小正方形ABCD和四个全等的等边三角形（如图1）．将四个等边三角形折起来，使、、、重合于点P，且折叠后的四棱锥（如图2）的外接球的表面积是，则四棱锥的侧棱PA的长为 ；若在四棱锥内放一个正方体，使正方体可以在四棱锥内任意转动，则该正方体棱长的最大值为 ．
7．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美，以正方体每条棱的中点为顶点构造一个半正多面体，如图，它由八个正三角形和六个正方形构成，它的所有棱长都为2，则该半正多面体外接球的表面积为 ；若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为 .
8．（多选题）如图，已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，点为棱的中点，点在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则（ ）

A．长度的最小值为
B．存在点，使得
C．存在点，使得
D．棱长为1.5的正方体可以在此空心棱台容器内部任意转动
9．（多选题）如图，已知在直三棱柱中，F为的中点，E为棱上的动点，，，，，则下列结论正确的是（ ）

A．点到平面AEF的距离的最大值为
B．该直三棱柱的外接球的表面积为
C．当三棱锥的外接球的半径最小时，直线EF与所成角的余弦值为
D．若E是棱的中点，过A，E，F三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面的面积为
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