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赋值法求解双变量的抽象函数
【例1】已知函数的定义域为，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】D
【详解】因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
故选：D.
【例2】（多选题）已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（　　）
A．为偶函数 B．为偶函数 C． D．
【答案】ACD
【详解】令，则，注意到不恒为，故，故A正确；
因为的图象关于点(2，0)对称，所以，
令，得，故，故B错误；
令，得，
令，得，故，
从而，故,
令，得，化简得，故C正确；
令，得，而，故D正确.
故选：ACD.
【例3】（多选题）已知定义域为的函数，满足 ，且，，则（ ）
A． B．是偶函数
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A项，由，
令，则，故A项错误；
对于B项，令，则，
因，故，
令，则①，
知函数关于点成中心对称，
令，则，
令，则②，
由①可得：③，由①③可知：，
且函数的定义域为，则函数是偶函数，故B项正确；
对于C项，令，则，
因为，，，代入上式中得，
故得：，故C项正确；
对于D项，由上可知：，则，
故函数的一个周期为8.
令，则，即有，
因函数是偶函数，故有，
由函数的一个周期为8，则，
由上知：，
于是：，
则，故D项正确.
故选：BCD.
变式1（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】令，得，因为，所以，所以A错误；
令，得①，所以，
因为是奇函数，所以是偶函数，
所以②，由①②，
得，即，
所以，
所以，是周期为3的函数，所以，
，所以B正确，C错误；
因为，在①中令得，所以，
，所以D正确．
故选：BD．
变式2已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【详解】令，得，即，
令，得，得，所以函数为偶函数，
令，得，
令，得，
，或，
若，解得与已知矛盾，
，即，解得，，
令，得，
，，，
，所以函数的周期为4.
.
故选：A.
【例4】 （多选题）已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（ ）
A．是奇函数 B．是减函数
C． D．是的极小值点
【答案】ACD
【详解】对于选项A：令，可得，解得；
令，可得，
且函数的定义域为，所以是奇函数，故A正确；
对于选项B：因为，
可得，
令，可得；
又因为，则，可得，
且，可得，
即，所以，故C正确；
对于选项D：因为，
令，解得或；令，解得；
可知在和上为增函数，在上为减函数，
所以是的极小值点，故B错误，D正确.
故选：ACD.
变式3 （多选题）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．为奇函数 B．在处的切线斜率为7
C． D．对
【答案】ACD
【详解】由题意定义域为的函数满足
令，则，
令，则，即，
故为奇函数，A正确；
由于，故，即，
则为偶函数，由可得，
由，令得，
故，令，则，B错误；
又，
则，
令，则，
由柯西方程知，，故，
则，由于，故，
即，则，C正确；
对
,
故，D正确，
故选：ACD
课后作业
1.（多选题）已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ）
A． B．为偶函数
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，
令，则，故，则，故A正确；
对于B，因为的定义域为，关于原点对称，
令，则，又不恒为0，故，
所以为奇函数，故B错误；
对于C，因为为偶函数，所以，
令，则，故，
令，则，故，
又为奇函数，故，
所以，即，故C正确；
对于D，由选项C可知，
所以，故的一个周期为6，
因为，所以，
对于，
令，得，则，令，得，则，
令，得，令，得，令，得，
所以，
又，
所以由的周期性可得：
，故D正确．
故选：ACD．
2．（多选题）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．
【答案】BD
【详解】定义域为的函数对任意实数都有，
令，则，而，因此，A错误；
，令，则，则，B正确；
显然，则函数的图象关于点不对称，C错误；
令，则，同理，
因此，即，
从而，即函数的周期是6，
由，得，则，
显然，
所以，D正确.
故选：BD
3．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）
①；②必为奇函数；③；④若，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】令，则由可得，
故或，故①错误；
当时，令，则，则，
故，函数既是奇函数又是偶函数；
当时，令，则，所以，
则，即，则为奇函数，
综合以上可知必为奇函数，②正确；
令，则，故.
由于，令，即，即有，故③正确；
对于D，若，令 ，则，则，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
，
由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，
故，故④正确，
即正确的是②③④，
故选：C.
4．（多选题）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】令，得，代入，得，
当为正整数时，，
所以，
所以，代入，得，
所以，又当时，也符合题意，
所以.
当不为正整数时，经验证也满足，
故为任意实数时，都有.
所以，故A正确；，故B正确；
所以，，故C不正确；
所以，
令，
则，
所以，
所以，所以，故D正确.，故选：ABD
5．（多选题）已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对A：令，，则，
因为，所以，故A正确；
对B：令得：，结合可得，
所以为偶函数，故B错误；
对C：令可得：，因为，
所以，
进一步可得：，
又，，故，
故，依次有,
所以，故C正确；
对D：令可得：;
用代替，得：，
结合C的结果，可得：，故D正确.
故选：ACD
6．（多选题）定义域为的函数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】令可得选项正确；
令，则，即，则为上的偶函数；
令，则，即①；
令，则②，由①②得，即；
若，则，与条件不符，故，
此时有，因为，所以，B选项错误；
令，则，即，
所以，从而，故为函数的一个周期，
所以选项正确；
因为，所以，
此时有，则选项正确，
故选：ACD.
7.（多选题）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．3是函数的周期 D．
【答案】BCD
【详解】令，则，解得．
令，则，即．
又，所以，所以A错误．
令，则，
即，所以，
所以为奇函数，B正确．
令，则．
又，
所以，所以．
又，所以．
由，得，
则．
由，得．
又因为，所以．
又因为，
所以，
即．
用代替上式中的，得．
又，
所以，即，
所以3是函数的周期，所以C正确．
由，函数为奇函数，得，
所以．
又，所以，
所以，所以D正确．
故选：BCD．
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赋值法求解双变量的抽象函数
【例1】已知函数的定义域为，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】D
【详解】因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
故选：D.
【例2】（多选题）已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（　　）
A．为偶函数 B．为偶函数 C． D．
【答案】ACD
【详解】令，则，注意到不恒为，故，故A正确；
因为的图象关于点(2，0)对称，所以，
令，得，故，故B错误；
令，得，
令，得，故，
从而，故,
令，得，化简得，故C正确；
令，得，而，故D正确.
故选：ACD.
【例3】（多选题）已知定义域为的函数，满足 ，且，，则（ ）
A． B．是偶函数
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A项，由，
令，则，故A项错误；
对于B项，令，则，
因，故，
令，则①，知函数关于点成中心对称，
令，则，
令，则②，
由①可得：③，由①③可知：，
且函数的定义域为，则函数是偶函数，故B项正确；
对于C项，令，则，
因为，，，代入上式中得，
故得：，故C项正确；
对于D项，由上可知：，则，故函数的一个周期为8.
令，则，即有，
因函数是偶函数，故有，
由函数的一个周期为8，则，
由上知：，
于是：，
则，故D项正确，故选：BCD.
变式1（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，，且对任意x，，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【例4】（多选题）已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（ ）
A．是奇函数 B．是减函数
C． D．是的极小值点
【答案】ACD
【详解】对于选项A：令，可得，解得；
令，可得，
且函数的定义域为，所以是奇函数，故A正确；
对于选项B：因为，可得，
令，可得；
又因为，则，可得，且，可得，
即，所以，故C正确；
对于选项D：因为，
令，解得或；令，解得；
可知在和上为增函数，在上为减函数，
所以是的极小值点，故B错误，D正确.
故选：ACD.
变式3 （多选题）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．为奇函数 B．在处的切线斜率为7
C． D．对
课后作业
1.（多选题）已知函数的定义域为R，且为偶函数，则（ ）
A． B．为偶函数
C． D．
2.（多选题）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数的图象关于点对称
D．
3．已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（ ）
①；②必为奇函数；③；④若，则.
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（多选题）函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的x，均满足：，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选题）已知函数的定义域为R，满足，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．
D．
6．（多选题）定义域为的函数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（多选题）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A． B．为奇函数
C．3是函数的周期 D．
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函数的对称性
一、原函数的周期性（同为周期则相减）
（1）若，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
二、原函数的对称性（异为对称则相加除2）
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于对称．
(5)若，则函数关于对称．
(6)若，则函数关于对称．
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于，对称则函数的周期
(2)若函数同时关于，对称则函数的周期
(3)若函数同时关于，对称则函数的周期
(4)若偶函数关于对称则函数的周期
(5)若奇函数关于对称则函数的周期
四、复合函数的对称性
(1)若函数关于轴对称，则关于轴对称。
(2)若函数关于中心对称，则关于中心对称。
五、对称性的加减运算
若关于中心对称，关于中心对称，则关于中心对称。
若关于轴对称，关于轴对称，则关于轴对称。
对称轴不一样的两个函数，或者对称中心不一样的两个函数，相加（减）之后不再具有对称性。
函数的对称性
原函数的周期性（同为周期则相减）
（1）若，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
二、原函数的对称性（异为对称则相加除2）
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于对称．
(5)若，则函数关于对称．
(6)若，则函数关于对称．
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于，对称则函数的周期
(2)若函数同时关于，对称则函数的周期
(3)若函数同时关于，对称则函数的周期
(4)若偶函数关于对称则函数的周期
(5)若奇函数关于对称则函数的周期
四、复合函数的对称性
(1)若函数关于轴对称，则关于轴对称。
(2)若函数关于中心对称，则关于中心对称。
五、对称性的加减运算
（1）若关于中心对称，关于中心对称，则关于中心对称。
（2）若关于轴对称，关于轴对称，则关于轴对称。
（3）对称轴不一样的两个函数，或者对称中心不一样的两个函数，相加（减）之后不再具有对称性。
六、导数的对称性和周期性
原函数 导函数
对称性 关于轴对称 关于中心对称，此时
关于中心对称 关于轴对称
口诀：同为周期则相减，异为对称则相加除2；y相等为轴对称，y相加为中心对称；将复合函数的对称性带入内函数，即为外函数的对称性。
函数周期性与对称性默写模板
一、函数的周期性（同为周期则相减）
1.若，则
2.若，则
3.若，则
4.若，则
5.若，则
6 若，则
二、函数的对称性（异为对称则相加除2）
(1)若函数为偶函数，则函数关于 对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于 对称．
(3)若，则函数关于 对称．
(4)若，则函数关于 对称．
(5)若，则函数关于 对称．
(6)若，则函数关于 对称．
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于，对称则函数的周期 。
(2)若函数同时关于，对称则函数的周期 。
(3)若函数同时关于，对称则函数的周期 。
(4)若偶函数关于对称，则函数的周期 。
(5)若奇函数关于对称，则函数的周期 。
四、复合函数的对称性
(1)若函数关于轴对称，则关于 轴对称。
(2)若函数关于中心对称，则关于 中心对称。
五、对称性的加减运算
（1）若关于中心对称，关于中心对称，则关于 中心对称。
（2）若关于轴对称，关于轴对称，则关于 轴对称。
（3）对称轴不一样的两个函数，或者对称中心不一样的两个函数，相加（减）之后不再具有对称性。
六、导数的对称性和周期性
原函数 导函数
对称性 关于轴对称 关于中心对称，此时
关于中心对称 关于轴对称
口诀：
同为周期则相减，异为对称则相加除2；
y相等为轴对称，y相加为中心对称；
将复合函数的对称性带入内函数，即为外函数的对称性。
原函数的对称性与周期性
【例1】（多选题）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】BCD
【解析】由，得．
由是奇函数，得，即，
所以，即，所以，故选项A错误；
由，得，由，得，所以，故选项B正确；
由，，得，即为偶函数，故选项C正确；
由，，得，则，
即为奇函数，故选项D正确．
故选：BCD
变式1 已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为对任意，都有
令 得 解得
则 即
所以函数的图象关于直线对称.
又函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，
即函数为奇函数，所以
所以 所以8是函数的一个周期，
所以，故选：D.
【例2】（多选题）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（ ）
A．的图象关于对称 B．是的一个周期
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，由函数的图象关于对称，可推得，
令等价于，则，的图象关于对称，所以A正确.
对于B，令由，，
所以，，所以关于对称.
由，所以，
所以，，所以，关于对称.
令等价于，则，
又因为，所以
令等价于，
所以，
所以可得出最小正周期为.
，，所以不是的周期，所以B错误.
对于C，令，则，所以，所以C正确.
对于D，因为图象关于对称，所以，
因为，，因为最小正周期为，
所以，所以，
，
有，选项D正确，故选：ACD.
变式2 （多选题）定义在上的函数满足，，则（ ）
A．的图象关于对称 B．4是的一个周期
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，令可得，即可得到的对称性，对于B，令，即可得到4为的一个周期，从而得到，对于C，令，对于D，结合前面的结论，求出函数值即可.
【详解】因为，即，
令，则，所以关于对称，
则的图象关于对称，故A正确；
因为，则，
令，则，则的图象于对称，
因为，所以，
即，则的图象关于对称.
所以，又，所以，
所以，所以，
所以4为的一个周期，即，
则，故B不正确；
对于C：因为，令可得，故C正确；
对于D：因为，则，，，
又，，，
所以，，
，，
，
，，，
，，，
，，，
，所以，故D正确；
故选：ACD
变式3（多选题）已知函数的定义域为，函数是定义在上的奇函数，函数），则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据为奇函数，利用奇函数性质可得，从而可得且，从而可对A、B、D判断；取特殊函数，从而可得，从而对C判断.
【详解】对A、B、D：由条件可知，
因为，所以，且，
可得，
所以，所以A、B、D均正确.
对C：取，
则，
此时满足是定义在上的奇函数，，所以未必成立，故C错误.故选：ABD.
导数的对称性和周期性
原函数 导函数
对称性 关于轴对称 关于中心对称，此时
关于中心对称 关于轴对称
口诀：同为周期则相减，异为对称则相加除2；y相等为轴对称，y相加为中心对称；将复合函数的对称性带入内函数，即为外函数的对称性。
定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．
定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．
以下证明定理1，定理2：
证明：
若函数图象关于直线对称，则，
则，所以导函数图象关于点对称．
若导函数图象关于点对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于直线对称．
若函数图象关于点对称，则，
则，所以图象关于直线对称．
若导函数图象关于直线对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于点对称．
【例1】已知函数，并判断下列选项中正确的是（ ）
A．有对称中心 B．有对称中心
C．有对称轴 D．有对称轴
【答案】B
【详解】因为函数，定义域为，
所以，
导函数关于对称，所以关于即对称，
故选：B
【例2】（多选题）已知连续函数及其导函数的定义域均为，记，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则（ ）
A． B．
C．在上至少有2个零点 D．
【答案】AC
【详解】由的图象关于y轴对称，
则，两边求导得，
即，的图象关于点对称，
又由定理2，所以的图象关于直线对称．
又为奇函数，则，
的图象关于点对称，
又由定理1，则的图象关于对称．
为和的一个周期，，∴A正确；
，∴B错误；
由，得在上至少有2个零点．∴C正确；
由的图象关于对称，且周期为3，则的图象关于对称，
，，，，，，
，，D错误．
故选：AC．
变式1 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由函数为偶函数，可得，则，所以函数关于成轴对称；
由函数为偶函数，可得，所以函数关于成轴对称；
对于A，设，，显然符合题意，但，故A错误；
对于B，假设不关于成中心对称，，
求导可得，即，显然与题设矛盾，
所以必定关于成中心对称，
由，且为函数图象的对称轴，则，
由，
则函数图象的对称轴为直线，
由，则，所以，故B正确；
对于C，设，令，解得，则的对称轴为；
，令，解得，则的对称中心为；
所以此时函数符合题意，，故C错误；
对于D，由选项C，符合题意，则，
，故D错误.
故选：B.
【例3】 （多选题）已知函数，的定义域均为R，若的图象关于直线对称，，，且，则正确的是（ ）
为偶函数 B.的图象关于点(3，3)对称 C. D.
【答案】BCD
【详解】由的图象关于直线对称，则，
即，所以，
即，则，即的图象关于直线对称，
由，可得，又，
所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数，
所以，即，即函数的周期为，
由，可得，因为的周期为，所以，
则，即，
所以的图象关于点对称，故B正确；
因为的图象关于直线对称，则，所以，所以，
因为的周期为4，所以的周期也为4.由，
可得，所以，故C正确；
由，可得，
所以，即，
，
故D正确.故选：BCD
变式2（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C． D．（）
【答案】ABD
【详解】因为，所以，即，
令，得，故A正确；
因为，当时，，
所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，假设成立，
求导得，即，又，
所以，所以与矛盾，故C错误；
对于D，因为，，
所以，，，，所以有，
所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，
又，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
所以，故D正确．
故选：ABD．
【例4】（多选题）已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（ ）
A．函数为偶函数 B．函数的图像关于点对称
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以．
又因为，所以．
于是可得，令，则，所以．
所以，即函数的图像关于直线对称，即．
因为，所以函数的图像关于点对称，即，所以，即，于是，所以函数是周期为4的周期函数．
因为函数的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称，所以为偶函数，所以A选项正确．
将的图像作关于轴对称的图像可得到的图像，再向右平移3个单位长度，可得到的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到的图像，因此函数也是周期为4的函数．又的图像关于点对称，所以的图像关于点对称，所以B选项不正确．
因为，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C选项正确．
因为，所以，，，，，
则有，
可得，所以D选项正确．
故选：ACD．
变式3 已知函数，，的定义域均为，为的导函数.若为偶函数，且，.则以下四个命题：①；②的图象关于直线对称；③；④中一定成立的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【详解】对②：由，可得，则（与为常数），
令，则，所以，则，
故的图象关于直线对称，②正确；
对①：∵为偶函数，则，
∴，则为奇函数，
故，即，则是以4为周期的周期函数，
由，令，则，可得，故，①正确；
由，令，则，即，
令，则，即，
故，则，
对③：由，即，则，
由于无法得出的值，③错误；
对④：，④正确.
故选：D.
变式4（多选题）设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若， ，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于对称
C． D．
【答案】AC
【解析】因为为奇函数，所以，取可得，A对，
因为，所以；
所以，又，，
故，所以函数的图象关于点对称，B错，
因为，所以，所以，为常数，
因为，所以，
所以，取可得，所以，
又，所以，所以，
所以，故函数为周期为4的函数，
因为，所以，，
所以，
所以，
所以，
由已知无法确定的值，故的值不一定为0，D错；
因为，所以，，
所以，故函数为周期为4的函数，
所以函数为周期为4的函数，
又，，，，
所以，
所以
，C对，
故选：AC．
课后练习
1．（多选题）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．的图象关于直线对称 D．
【答案】ABD
【详解】对于选项，∵是偶函数，∴，
∴函数关于直线对称，∴，
∵，∴，∴是奇函数，则正确；
对于选项，∵，∴，∴,
∴的周期为，∴，则正确；
对于选项，若的图象关于直线对称，则，
但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；
对于选项，将代入，得，
将，代入，得，
同理可知，
又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，
∴
，则正确.
故选：ABD.
2.已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
【答案】C
【详解】因为函数的图象关于点对称，则函数的图象关于点对称，即函数为奇函数；
因为对任意，都有，令，得，又函数为奇函数，故，解得，则，即，所以4是函数的一个周期；
所以.故选：C.
3．（多选题）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，且，，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．是以3为周期的周期函数 D．是以4为周期的周期函数
【答案】ABD
【详解】由，可得，
又，所以，则，
所以，所以周期为4，故D正确；
同理可得，所以周期为4，故C错误；．
因为为偶函数，所以，
所以的图象关于直线对称，故A正确；
因为，可得，
又，所以，
由，可得，即，
所以的图象关于点对称，故B正确；
故选：ABD．
4．设函数的定义域为，其导函数为，若，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A：
令，得，则函数图象关于点对称.
若，则函数图象关于点对称，符合题意，故A正确；
B：由选项A的分析知，等式两边同时求导，
得，即①，
又，为偶函数，所以②，
由①②得，所以函数的周期为2.
所以，即，故B正确；
C：由选项B的分析知，则函数图象关于直线对称.
令，若，
则函数图象关于直线对称，不符合题意，故C错误；
D：由选项B的分析可知函数的周期为2，则，
所以，故D正确.
故选：C.
5．（多选题）设定义在上的函数和的导函数分别为和，若，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．的图象关于对称
C．2为函数的周期 D．为奇函数
【答案】ACD
【详解】∵为偶函数，∴，∴的图象关于对称，故A正确；
∵，∴，∴，
∴，∴的图象关于对称，故B错误；
因为，所以，（为常数），则，
又因为，所以，
所以，令，则，所以，
所以，，，
因为，且，
所以，所以2为函数的周期，故C正确；
∵，∴，，
又，∴，
故为奇函数，故D正确.
故选：ACD.
6．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足，，，记，则下列说法中正确的有（ ）.
A．函数的图象关于对称
B．函数为奇函数
C．函数的图象关于对称
D．数列的前2023项之和为－4050
【答案】BD
【详解】且关于对称
由知关于对称，故A错，由这两个对称可得周期
又，综上及有
故，的前2024项之和为，前2023项之和为，故D对
记，由得
则，故B对
不妨取，由得
故
不关于对称，C错
故选：BD
7．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】由为奇函数可得，即，
，即，即，
所以函数的图像关于直线对称，
由是偶函数可得为奇函数，
，
即，
所以函数的图像关于点对称；
将代入，得，
将代入，得，B选项正确；
将代入得，得，A选项错误；
，C选项正确；
将代入，得，故，，D选项错误.
故选：BC.
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函数的对称性
原函数的周期性（同为周期则相减）
（1）若，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
若，则
二、原函数的对称性（异为对称则相加除2）
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于对称．
(5)若，则函数关于对称．
(6)若，则函数关于对称．
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于，对称则函数的周期
(2)若函数同时关于，对称则函数的周期
(3)若函数同时关于，对称则函数的周期
(4)若偶函数关于对称则函数的周期
(5)若奇函数关于对称则函数的周期
四、复合函数的对称性
(1)若函数关于轴对称，则关于轴对称。
(2)若函数关于中心对称，则关于中心对称。
五、对称性的加减运算
（1）若关于中心对称，关于中心对称，则关于中心对称。
（2）若关于轴对称，关于轴对称，则关于轴对称。
（3）对称轴不一样的两个函数，或者对称中心不一样的两个函数，相加（减）之后不再具有对称性。
六、导数的对称性和周期性
原函数 导函数
对称性 关于轴对称 关于中心对称，此时
关于中心对称 关于轴对称
口诀：
同为周期则相减，异为对称则相加除2；
y相等为轴对称，y相加为中心对称；
将复合函数的对称性带入内函数，即为外函数的对称性。
函数周期性与对称性默写模板
一、函数的周期性（同为周期则相减）
1.若，则
2.若，则
3.若，则
4.若，则
5.若，则
6 若，则
二、函数的对称性（异为对称则相加除2）
(1)若函数为偶函数，则函数关于 对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于 对称．
(3)若，则函数关于 对称．
(4)若，则函数关于 对称．
(5)若，则函数关于 对称．
(6)若，则函数关于 对称．
三、函数的对称性与周期性的转换--借助波浪图理解记忆
(1)若函数同时关于，对称则函数的周期 。
(2)若函数同时关于，对称则函数的周期 。
(3)若函数同时关于，对称则函数的周期 。
(4)若偶函数关于对称，则函数的周期 。
(5)若奇函数关于对称，则函数的周期 。
四、复合函数的对称性
(1)若函数关于轴对称，则关于 轴对称。
(2)若函数关于中心对称，则关于 中心对称。
五、对称性的加减运算
（1）若关于中心对称，关于中心对称，则关于 中心对称。
（2）若关于轴对称，关于轴对称，则关于 轴对称。
（3）对称轴不一样的两个函数，或者对称中心不一样的两个函数，相加（减）之后不再具有对称性。
六、导数的对称性和周期性
原函数 导函数
对称性 关于轴对称 关于 中心对称，
关于中心对称 关于 轴对称
口诀：（默写）
原函数的对称性与周期性
【例1】（多选题）已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则（ ）
A． B．
C．为偶函数 D．为奇函数
【答案】BCD
【解析】由，得．
由是奇函数，得，即，
所以，即，所以，故选项A错误；
由，得，由，得，所以，故选项B正确；
由，，得，即为偶函数，故选项C正确；
由，，得，则，
即为奇函数，故选项D正确，故选：BCD
变式1 已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（ ）
A． B． C． D．
【例2】（多选题）定义在上的函数满足，函数的图象关于对称，则（ ）
A．的图象关于对称 B．是的一个周期
C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，由函数的图象关于对称，可推得，
令等价于，则，的图象关于对称，所以A正确.
对于B，令由，，
所以，，所以关于对称.
由，所以，
所以，，所以，关于对称.
令等价于，则，
又因为，所以
令等价于，
所以，
所以可得出最小正周期为.
，，所以不是的周期，所以B错误.
对于C，令，则，所以，所以C正确.
对于D，因为图象关于对称，所以，
因为，，因为最小正周期为，
所以，所以，
，
有，选项D正确，故选：ACD.
变式2 （多选题）定义在上的函数满足，，则（ ）
A．的图象关于对称 B．4是的一个周期
C． D．
变式3（多选题）已知函数的定义域为，函数是定义在上的奇函数，函数），则必有（ ）
A． B．
C． D．
导数的对称性和周期性
原函数 导函数
对称性 关于轴对称 关于中心对称，此时
关于中心对称 关于轴对称
口诀：同为周期则相减，异为对称则相加除2；y相等为轴对称，y相加为中心对称；将复合函数的对称性带入内函数，即为外函数的对称性。
定理1：若函数连续且可导，则图象关于直线对称导函数图象关于点对称．
定理2：若函数连续且可导，则图象关于点对称导函数图象关于直线对称．
以下证明定理1，定理2：
证明：
若函数图象关于直线对称，则，
则，所以导函数图象关于点对称．
若导函数图象关于点对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于直线对称．
若函数图象关于点对称，则，
则，所以图象关于直线对称．
若导函数图象关于直线对称，则，
令，则，则(c为常数)，
又，所以，
则，所以图象关于点对称．
【例1】已知函数，并判断下列选项中正确的是（ ）
A．有对称中心 B．有对称中心
C．有对称轴 D．有对称轴
【答案】B
【详解】因为函数，定义域为，
所以，
导函数关于对称，所以关于即对称，故选：B
【例2】（多选题）记，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则（ ）
A． B．
C．在上至少有2个零点 D．
【答案】AC
【解析】由的图象关于y轴对称，则，
两边求导得，即，的图象关于点对称，
又由定理2，所以的图象关于直线对称．
又为奇函数，则，的图象关于点对称，
又由定理1，则的图象关于对称．
为和的一个周期，，∴A正确；
，∴B错误；
由，得在上至少有2个零点．∴C正确；
由的图象关于对称，且周期为3，则的图象关于对称，
，，，，，，
，，D错误，故选：AC．
变式1 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例3】 （多选题）已知函数，的定义域均为R，若的图象关于直线对称，，，且，则正确的是（ ）
为偶函数 B.的图象关于点(3，3)对称 C. D.
【答案】BCD
【详解】由的图象关于直线对称，则，
即，所以，
即，则，即的图象关于直线对称，
由，可得，又，
所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数，
所以，即，即函数的周期为，
由，可得，因为的周期为，所以，
则，即，所以的图象关于点对称，故B正确；
因为的图象关于直线对称，则，所以，所以，
因为的周期为4，所以的周期也为4.由，
可得，所以，故C正确；
由，可得，
所以，即，
，
故D正确.故选：BCD
变式2（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（ ）
A． B．的图象关于点对称
C． D．（）
【例4】（多选题）已知函数，的定义域均为，其导函数分别为，．若，，且，则（ ）
A．函数为偶函数 B．函数的图像关于点对称
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为，所以．
又因为，所以．
于是可得，令，则，所以．
所以，即函数的图像关于直线对称，即．
因为，所以函数的图像关于点对称，即，所以，即，于是，所以函数是周期为4的周期函数．
因为函数的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称，所以为偶函数，所以A选项正确．
将的图像作关于轴对称的图像可得到的图像，再向右平移3个单位长度，可得到的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到的图像，因此函数也是周期为4的函数．又的图像关于点对称，所以的图像关于点对称，所以B选项不正确．
因为，令，得，即，所以；令，得，所以，所以，所以，所以C选项正确．
因为，所以，，
，，，
则有，
可得，所以D选项正确．故选：ACD．
变式3 已知函数，，的定义域均为，为的导函数.若为偶函数，且，.则以下四个命题：①；②的图象关于直线对称；③；④中一定成立的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
变式4（多选题）设定义在R上的函数与的导函数分别为和，若， ，且为奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于对称
C． D．
课后练习
1．（多选题）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ ）
A．是奇函数 B．
C．的图象关于直线对称 D．
2.已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则（ ）
A．2021 B． C．2022 D．
3．（多选题）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，且，，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．是以3为周期的周期函数 D．是以4为周期的周期函数
4．设函数的定义域为，其导函数为，若，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多选题）设定义在上的函数和的导函数分别为和，若，且为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．的图象关于对称 B．的图象关于对称
C．2为函数的周期 D．为奇函数
6．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足，，，记，则下列说法中正确的有（ ）.
A．函数的图象关于对称
B．函数为奇函数
C．函数的图象关于对称
D．数列的前2023项之和为－4050
7．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ）
A． B．
C． D．
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