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含参函数单调性讨论
所谓的讨论单调性，本质就是找出含参函数的所有可能的不同的单调性的情况。
那么高中阶段涉及的含参函数的单调性主要有以下四种情况：
所以我们分类讨论单调性主要分两大类：①先讨论单调，②再讨论不单调。
另外所谓单调无变号零点，不单调有变号零点，据此求出函数单调时参数的范围。
【题型一】导函数为（准）一次函数
先讨论一阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及讨论后续的单调性，画出对应的一阶导图像。这时注意变号零点的情况。
若一阶导后续的单调性无法判断（原因有二：①一阶导过于复杂，②一阶导含参），则求二阶导。
再讨论二阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及确定后续的单调性，画出对应的二阶导图像，目的是推断出一阶导的单调性，从而画出一阶导的图像。
若二阶导后续的单调性无法判断，则求三阶导，如此反复步骤2,3，直到画出一阶导图像，即可得出原函数的单调性。
【关键】当可以判断该阶导函数的单调性了，则无需再次求导。
【例1】已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】由题知，则，
①当时，在上恒成立，故函数在上递增；
②当时，令，解得，
令，解得；故在上递减，在上递增，
综上：当时，在上递增；
当时，在上递减，在上递增
【例2】已知函数．讨论的单调性；
【详解】由题意可得的定义域为，且．
①当时，恒成立，则在上单调递增；
②当时，由，得，由，得，
则在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
变式1 已知函数，，讨论函数的的单调性；
【例3】已知函数(a≠0)．讨论函数f(x)的单调性；
【详解】∵，
①当时，，，
∴在上单调递减，在单调递增；
②当时，，，
∴在上单调递增，在单调递减；
综述：当时，在上单调递减，在单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减；
【例4】已知，讨论函数的单调性;
【详解】
①若 ，在上单调递增；
②若
当时，，所以在单调递增，在单调递减；
当时，，所以在单调递增；
变式2 已知函数，.讨论的单调性；
【题型二】导数为二次函数可因式分解
（1）若二次项系数含参，优先讨论二次项系数的正负，分三类，之后求出两根再去讨论两根的大小，也分三类，具体按以下情况分类： ，
【例5】已知函数，讨论函数的单调性.
【详解】，
①若时，，在上单调递增；
②若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
③若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上，时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
变式3 已知函数．试讨论函数的单调性．
（2）但是如果有限定定义域，还需要讨论含参的根和定义域的大小关系，讨论情况增加至4类：
（3）若因式分解之后的因式为准一次函数，一定存在的根先不管，先讨论可能存在根的因式起点处的导数值的正负。
【例6】已知函数，讨论的单调性.
【详解】由题意得：定义域为，
①当时，，∴在上恒成立，∴在上单调递增；
②当时，令，解得：，∴当时，；当时，；
∴在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【例7】已知，讨论函数的单调性；
【详解】，
①当时，，，，在递增，在递减.
当时，，或，即或，
②当时，，当或时，，当时，，
所以在递增，在递减，在递增.
③当时，，，在上单调递增；
④当时，，当或时，，当时，，
所以在递增，在递减，在递增.
【例8】已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】，，
①若，则，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
②若，则，所以函数在上递增，
③若，则，当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
④若，则，当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
综上所述：当时，函数在上递减，在上递增，
当时，函数在上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增；
变式4 已知函数，讨论的单调性.
变式5 已知函数．试讨论函数的单调性．
【题型三】导函数为二次函数不可因式分解
（1）若二次项系数含参，①优先讨论二次项系数的正负，分三类，②再根据有无变号零点，讨论判别式，分两类：
（2）若限制了定义域，还必须结合韦达定理和判别式一起讨论两根是否大于0（在定义域内），不限于以下情况：
① 两根之积为定值，则讨论两根之和的正负。
② 两根之和为定值，则讨论两根之积的正负。
【例9】已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】（1）函数的定义域为，，
令，，，
①当，即时，在上恒成立，
此时在上恒成立，在上单调递增，
②当，即时，根据韦达定理；
当时，由，解得，此时，由，
可解得，此时，在上单调递减，在上单调递增；
（ii）当时，在上恒成立，此时在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，无单调减区间，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【例10】已知函数，，讨论函数的单调性.
【详解】的定义域为，，，
令，，
①若，即，则，当时，，单调递增，
②若，即，则，仅当时，等号成立，当时，，单调递增.
③若，即，则有两个零点，，
由，得，当时，，单调递增；
当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减.
变式6 已知函数．讨论的单调性
变式7 已知函数，讨论的单调性；
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含参函数单调性讨论
所谓的讨论单调性，本质就是找出含参函数的所有可能的不同的单调性的情况。
那么高中阶段涉及的含参函数的单调性主要有以下四种情况：
所以我们分类讨论单调性主要分两大类：①先讨论单调，②再讨论不单调。
另外所谓单调无变号零点，不单调有变号零点，据此求出函数单调时参数的范围。
【题型一】导函数为（准）一次函数
先讨论一阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及讨论后续的单调性，画出对应的一阶导图像。这时注意变号零点的情况。
若一阶导后续的单调性无法判断（原因有二：①一阶导过于复杂，②一阶导含参），则求二阶导。
再讨论二阶导图像的起点（及终点）的位置（正负），及确定后续的单调性，画出对应的二阶导图像，目的是推断出一阶导的单调性，从而画出一阶导的图像。
若二阶导后续的单调性无法判断，则求三阶导，如此反复步骤2,3，直到画出一阶导图像，即可得出原函数的单调性。
【关键】当可以判断该阶导函数的单调性了，则无需再次求导。
【例1】已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】由题知，则，
①当时，在上恒成立，故函数在上递增；
②当时，令，解得，
令，解得；故在上递减，在上递增，
综上：当时，在上递增；
当时，在上递减，在上递增
【例2】已知函数．讨论的单调性；
【详解】由题意可得的定义域为，且．
①当时，恒成立，则在上单调递增；
②当时，由，得，由，得，
则在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．
变式1 已知函数，，讨论函数的的单调性；
【详解】函数的定义域为
，
①当时，恒成立，在上单调递减
②当时，令，得（舍去）
x
+ 0 -
递增 极大值 递减
的单调递增区间为，单调递减区间为
综上所述：当时在定义域上单调递减；
当时的单调递增区间为，单调递减区间为.
【例3】已知函数(a≠0)．讨论函数f(x)的单调性；
【详解】∵，
①当时，，，
∴在上单调递减，在单调递增；
②当时，，，
∴在上单调递增，在单调递减；
综述：当时，在上单调递减，在单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减；
【例4】已知，讨论函数的单调性;
【详解】
①若 ，在上单调递增；
②若
当时，，所以在单调递增，在单调递减；
当时，，所以在单调递增；
变式2 已知函数，.讨论的单调性；
【详解】，
①当时，，在上单调递减；
②当时，，，
则在上单调递减，在上单调递增；
③当时，，，
则在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【题型二】导数为二次函数可因式分解
（1）若二次项系数含参，优先讨论二次项系数的正负，分三类，之后求出两根再去讨论两根的大小，也分三类，具体按以下情况分类： ，
【例5】已知函数，讨论函数的单调性.
【详解】，
①若时，，在上单调递增；
②若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
③若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上，时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
变式3 已知函数．试讨论函数的单调性．
【详解】因为，，且，
①当时，，此时在单调递增；
②当时，，
当时，；当时，，此时单调递减；
③当时，，
当时，；当时，，此时单调递减；
综上所述：当时，函数单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，；函数的单调递减区间为．
（2）但是如果有限定定义域，还需要讨论含参的根和定义域的大小关系，讨论情况增加至4类：
（3）若因式分解之后的因式为准一次函数，一定存在的根先不管，先讨论可能存在根的因式起点处的导数值的正负。
【例6】已知函数，讨论的单调性.
【详解】由题意得：定义域为，
①当时，，∴在上恒成立，∴在上单调递增；
②当时，令，解得：，∴当时，；当时，；
∴在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【例7】已知，讨论函数的单调性；
【详解】，
①当时，，，，在递增，在递减.
当时，，或，即或，
②当时，，
当或时，，当时，，
所以在递增，在递减，在递增.
③当时，，，在上单调递增；
④当时，，
当或时，，当时，，
所以在递增，在递减，在递增.
【例8】已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】，
，
①若，则，当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
②若，则，所以函数在上递增，
③若，则，当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
④若，则，当或时，，当时，，
所以函数在上递减，在和上递增，
综上所述，当时，函数在上递减，在上递增，
当时，函数在上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增，
当时，函数在上递减，在和上递增；
变式4 已知函数，讨论的单调性.
【详解】，
由函数的定义域为，有，
①当时，，此时函数单调递增；
②当时，令可得，
可得函数在上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
变式5 已知函数．试讨论函数的单调性．
【详解】
①当时，，当时，单调递增，当时，，单调递减，
即当时在上递减，上递增
当时，
②当时，由（1）知在单调递增
③当时，当时，，当时,故当和时，，当时，,因此在上单调递减，在上单调递增
④当时，当时，，当时,故当和时，，当时，,在上递减，上递增
【题型三】导函数为二次函数不可因式分解
（1）若二次项系数含参，①优先讨论二次项系数的正负，分三类，②再根据有无变号零点，讨论判别式，分两类：
（2）若限制了定义域，还必须结合韦达定理和判别式一起讨论两根是否大于0（在定义域内），不限于以下情况：
① 两根之积为定值，则讨论两根之和的正负。
② 两根之和为定值，则讨论两根之积的正负。
【例9】已知函数，讨论函数的单调性；
【详解】（1）函数的定义域为，，
令，，，
①当，即时，在上恒成立，
此时在上恒成立，在上单调递增，
②当，即时，根据韦达定理；
（i）当时，
由，解得，此时，
由，可解得，此时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（ii）当时，在上恒成立，此时在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，无单调减区间，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
【例10】已知函数，，讨论函数的单调性.
【详解】的定义域为，，，
令，，
①若，即，则，当时，，单调递增，
②若，即，则，仅当时，等号成立，当时，，单调递增.
③若，即，则有两个零点，，
由，得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
变式6 已知函数．讨论的单调性
【详解】因为，
①当时，，所以在上单调递增．
当时，令，则．
②若，即时，恒成立，所以在上单调递增．
③若，即时，方程的根为，
在和上单调递增；在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，
在上单调递减．
变式7 已知函数，讨论在上的单调性；
【详解】，的定义域为，，
当，即时，且不恒为0，所以在上单调递增；
当时，方程有两不等正根，
结合定义域由可得，
由可得，
在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，方程有一负根和一正根，
结合定义域由可得，由可得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上可知：当时，在区间上单调递减，在区间和上单调递增；
当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
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