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等差数列前n项和
知识点一 等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和；
．数列是等差数列 （为常数）；
若项数为奇数，则；
【题型一】 的公式计算
【例1】已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题：
(1)若，，求；
(2)若，，求；
(3)若，，，求n．
【详解】（1）由题意知数列为等差数列，，，
设公差为d，故，解得；
（2）数列为等差数列，，，设公差为d，故，解得，
则；
（3）由题意知数列为等差数列，，，设公差为d，则，解得，
由，得，解得或（舍去），故.
【例2】等差数列的前项和为，若，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【详解】在等差数列{an}中，由，
得，即＝4．又＝2，∴，
∴=2，故选A．
【例3】等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求.
【详解】（1）设的公差为，则，解得，，所以
（2）由（1）知，∴．
变式1在等差数列{}中，
（1）已知，求和
（2）已知，求和
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由等差数列的前n项和公式可得： ，即，解得.
（2）由等差数列的前n项和公式可得，即，
又由，联立方程组可得，所以.
变式2记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
则，故选：C．
变式3已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．67 B．1122 C．1156 D．1190
【详解】因为为等差数列，所以，，，，…构成等差数列，
且，，∴.∵，∴.故选：C.
【例4】等差数列的前4项和为24，最后4项和为136，所有项的和为240，则项数为
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【详解】解：等差数列的前4项和为24，最后4项和为136，，
，，
，由等差数列的前项和得：，得.故选：C.
变式4设等差数列的前项和为，，，，则 ．
【答案】15
【详解】因为，所以．又，所以．
【例5】已知，则（ ）
A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094
【答案】D
【详解】，即
设①，
则②
①+②得
，
所以，又，所以.
变式5已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值．
【详解】（1）因为，所以，
所以，即函数的图象关于点对称.
（2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和.
因为，
所以（倒序），
又由（1）得，所以，所以.
4.与的关系：
【题型二】 由求
【例6】已知数列的前n项和为，且，则数列（　　）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【详解】由知，显然时，，
所以，易知，即数列为等差数列，首项，公差，
所以等差数列为递增数列，有最小项，无最大项.故选：C
【例7】设数列的前项和，则的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【详解】由得，，，所以，
所以，故.故选：A.
变式6已知数列{}的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则
【详解】当n=1时，,
经检验当n=1时，也满足上式，因而,由所以.
变式7已知数列的前项和，则等于（ ）
A．68 B．36 C．24 D．18
【详解】解：因为数列的前项和，所以，故选：A
【例8】已知数列满足，则＝________．
【详解】令，设，则，
当时，，而也满足此式，故，所以.
变式8设数列{an}满足．则＝________．
【详解】＝
变式9设数列{an}满足．则＝________．
【详解】＝
知识点二 等差数列前n项和的性质
若项数为偶数，则；；．
若项数为奇数，则；；．
若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．
，…也成等差数列，公差为．
若与为等差数列，且前项和为与，则．
，若则为等差数列.
【题型三】 为等差数列
【例9】若等差数列的前项和记为，且，则的值为
【详解】，由成等差数列，
.故答案为:60
【例10】已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为
【详解】根据题意得，，，所以，即，
所以，故答案为：-110.
变式10等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 .
【详解】为等差数列，，，成等差数列，
即，，成等差数列，，解得，
又，，成等差数列，即，，成等差数列，
所以，解得.故答案为：．
【题型四】 与的比值
【例11】已知等差数列，的前n项和分别为和，且，则 .
【答案】
【详解】因为等差数列，的前n项和分别为和，且，
所以设，，()，则，
，∴.故答案为：
【例12】已知两个等差数列和的前项和分别为和,且，则
【答案】
【详解】依题意，故.
变式11已知数列和均为等差数列，前n项和分别为，，且满足：，，则 .
【答案】
【详解】故答案为：
变式12有两个等差数列，其前项和分别为.（1）若，则 .（2）若，则 .
【答案】；
【详解】若，则；
若，则可设，
所以，，所以，故答案为：；
知识点三 等差数列的前n项和的最值
1.公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值（所有正项或非负项之和）；若，则满足的项数使得取得最小值（所有负项或非正项之和）．
【题型五】 的最值
【例13】设是等差数列的前项之和，且，，则下列结论中正确序号的是
① ，② ，③，④，均为的最大项
【答案】②④
【详解】解：，，，，，所以，
，均为的最大项，故①错误，②和④正确；
是关于的二次函数，且开口向下，对称轴为，，故③错误，
故答案为：②④．
【例14】已知递减的等差数列满足，则数列的前n项和取最大值时n=（ ）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：设递减的等差数列的公差为（），
因为，所以，化简得，所以，
对称轴为，因为，，所以当或时，取最大值，故选：A
【例15】设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可得，又，可得，
由，可得，则，，，
故使得的正整数的最小值为19.故选：B.
变式13设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最大值为或
【答案】D
【详解】AB选项，因为，所以，
因为数列是以为公差的等差数列，所以，故，解得，
又，所以，，AB错误；
C选项，，故C错误；
D选项，由于，，，故当时，，
当时，，故的最大值为或，D正确.
变式14已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为 ．
【答案】6
【详解】因为，
由有：或，
由有：或，
由有：，
因为，数列的正项为：；数列的负项为：；且，
则取得最小值时的值为6.
变式15设等差数列的前项和为，若，则满足时正整数的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【详解】∵等差数列的前项和为，且，∴，
∴，，
故满足的正整数的最小值是13.故选：C.
【例16】（多选题）若等差数列的公差为，首项为，其前项和为，，其中，，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．中的最大项为 D．中的不同数值有个
【答案】ACD
【详解】对于选项A：因为，可知.
则，可得，即，故A正确；
对于选项B：因为，可知等差数列为递减数列，
且，所以，故B错误；
对于选项C：可知，
根据的符号可知：，
当时，均为正数，且最大，最小，可知中的最大项为，且为正数；
当时，；
综上所述：中的最大项为，故C正确；
对于选项D：因为，
同理可得：，
可知当时，中的不同数值有10个；
当时，由选项C可知每个值均不同，共有81个；
综上所述：中的不同数值有个，故D正确；
故选：ACD.
变式16（多选题）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值，记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
【答案】BD
【详解】由等差数列前n项和有最大值，所以数列为递减数列，
对于A，且时取最大值，设，
则，
当时，；时，；时，，
所以或14时，前k项和取最大值，A项错误；
对于B，当且仅当时取最大值，则时，，时，.
，则，，
，，
前14项和最大，B项正确；
对于C，，则，同理，，，
前13项和最大，C项错误；
对于D，，，得，由题等差数列在时，，时，，所以，，，所以或14时，前k项和取最大值，D项正确；
故选：BD.
知识点四 与混合
题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
1、利用转化为只含的关系式，再求解．
2、利用转化为只含的关系式，再求解．
【题型六】 与混合
【例17】已知数列的前项和为，且（）．求的通项公式；
【详解】令，得
因为（），所以（，），
两式相减得（，），
即．所以（，），
所以，即，所以（，），
又，符合上式，所以（）．
变式17已知数列的前n项和为，，．求证：；
【详解】因为，①；所以，②
②－①得，③；所以，④
③－④得，所以．
【例18】已知数列的前项和满足，且，求的通项公式；
【详解】解：当时，，
由此得.∵，∴.
∴是首项为1，公差为2的等差数列，∴.
变式18记为数列的前项和，已知，．求数列的通项公式；
【详解】当，，，又，．
当时，，①，②
①—②整理得，，，．
【例19】设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．－5050
【详解】是数列的前n项和，且，则， 整理得－＝－1（常数），
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确；
所以，故．所以当时，－，不适合上式，
故故B正确，A错误；
所以， 故D正确．故选：A.
变式19已知数列的各项均为正数，其前n项和为，，，求数列的通项公式；
【答案】
【详解】，，故
，，
【题型七】等差数列绝对值的和
【例20】已知数列的前n项和，求数列的前n项和.
【详解】，当时，.
∵也符合上式，∴数列的通项公式为.
由，得，即当时，；当时，.
当时，；
当时，
故
变式20已知等差数列满足，则的前12项和为 ．
【详解】因为，所以，所以
所以前12项之和为．
【题型八】 裂项相消求和
【例21】已知数列满足，则 .
【答案】
【详解】，所以，
变式21已知等差数列的前项和为，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，
所以.
（2）证明：由（1）可得，
则，
所以
，所以.
【例22】记数列的前项和为，且，.
(1)若为等差数列，求；
(2)若，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）设等差数列的公差为，当时，，
当时，，
由得，，所以，
因为，所以，，
因为为等差数列，所以，所以，
化简得，所以，所以.
（2）当时，，因为，可得，因为，可得，
由（1）可知，当时，，所以，
，
当时也符合上式，所以.
因为，
所以.
变式22在数列中，，.
(1)证明：数列为等差数列并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）证明：因为，所以.
又，所以是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）可知，则，则，
则.
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等差数列前n项和
知识点一 等差数列的前项和公式
设等差数列的公差为，其前项和；
．数列是等差数列 （为常数）；
若项数为奇数，则；
【题型一】 的公式计算
【例1】已知数列为等差数列，前n项和为，求解下列问题：
(1)若，，求；
(2)若，，求；
(3)若，，，求n．
【详解】（1）由题意知数列为等差数列，，，
设公差为d，故，解得；
（2）数列为等差数列，，，设公差为d，故，解得，
则；
（3）由题意知数列为等差数列，，，设公差为d，则，解得，
由，得，解得或（舍去），故.
【例2】等差数列的前项和为，若，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【详解】在等差数列{an}中，由，
得，即＝4．又＝2，∴，
∴=2，故选A．
【例3】等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求.
【详解】（1）设的公差为，则，解得，，所以
（2）由（1）知，∴．
变式1在等差数列{}中，
（1）已知，求和
（2）已知，求和
变式2记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式3已知等差数列的前n项和为，，，则（ ）
A．67 B．1122 C．1156 D．1190
【例4】等差数列的前4项和为24，最后4项和为136，所有项的和为240，则项数为
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【详解】解：等差数列的前4项和为24，最后4项和为136，，
，，
，由等差数列的前项和得：，得.故选：C.
变式4设等差数列的前项和为，，，，则 ．
【例5】已知，则（ ）
A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094
【答案】D
【详解】，即
设①，
则②
①+②得
，
所以，又，所以.
变式5已知函数．
(1)求证：函数的图象关于点对称；
(2)求的值．
4.与的关系：
【题型二】 由求
【例6】已知数列的前n项和为，且，则数列（　　）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【详解】由知，显然时，，
所以，易知，即数列为等差数列，首项，公差，
所以等差数列为递增数列，有最小项，无最大项.故选：C
【例7】设数列的前项和，则的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【详解】由得，，，所以，
所以，故.故选：A.
变式6已知数列{}的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则
变式7已知数列的前项和，则等于（ ）
A．68 B．36 C．24 D．18
【例8】已知数列满足，则＝________．
【详解】令，设，则，
当时，，而也满足此式，故，所以.
变式8设数列{an}满足．则＝________．
变式9设数列{an}满足．则＝________．
知识点二 等差数列前n项和的性质
若项数为偶数，则；；．
若项数为奇数，则；；．
若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的．
，…也成等差数列，公差为．
若与为等差数列，且前项和为与，则．
，若则为等差数列.
【题型三】 为等差数列
【例9】若等差数列的前项和记为，且，则的值为
【详解】，由成等差数列，
.故答案为:60
【例10】已知等差数列的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为
【详解】根据题意得，，，所以，即，
所以，故答案为：-110.
变式10等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为 .
【题型四】 与的比值
【例11】已知等差数列，的前n项和分别为和，且，则 .
【答案】
【详解】因为等差数列，的前n项和分别为和，且，
所以设，，()，则，
，∴.故答案为：
【例12】已知两个等差数列和的前项和分别为和,且，则
【答案】
【详解】依题意，故.
变式11已知数列和均为等差数列，前n项和分别为，，且满足：，，则 .
变式12有两个等差数列，其前项和分别为.（1）若，则 .（2）若，则 .
知识点三 等差数列的前n项和的最值
1.公差为递增等差数列，有最小值；
公差为递减等差数列，有最大值；
公差为常数列．
在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值（所有正项或非负项之和）；若，则满足的项数使得取得最小值（所有负项或非正项之和）．
【题型五】 的最值
【例13】设是等差数列的前项之和，且，，则下列结论中正确序号的是
① ，② ，③，④，均为的最大项
【答案】②④
【详解】解：，，，，，所以，
，均为的最大项，故①错误，②和④正确；
是关于的二次函数，且开口向下，对称轴为，，故③错误，
故答案为：②④．
【例14】已知递减的等差数列满足，则数列的前n项和取最大值时n=（ ）
A．4或5 B．5或6 C．4 D．5
【答案】A
【详解】解：设递减的等差数列的公差为（），
因为，所以，化简得，所以，
对称轴为，因为，，所以当或时，取最大值，故选：A
【例15】设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可得，又，可得，
由，可得，则，，，
故使得的正整数的最小值为19.故选：B.
变式13设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．的最大值为或
变式14已知数列的通项公式为，前项的和为，则取得最小值时的值为 ．
变式15设等差数列的前项和为，若，则满足时正整数的最小值为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【例16】（多选题）若等差数列的公差为，首项为，其前项和为，，其中，，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．中的最大项为 D．中的不同数值有个
【答案】ACD
【详解】对于选项A：因为，可知.
则，可得，即，故A正确；
对于选项B：因为，可知等差数列为递减数列，
且，所以，故B错误；
对于选项C：可知，
根据的符号可知：，
当时，均为正数，且最大，最小，可知中的最大项为，且为正数；
当时，；
综上所述：中的最大项为，故C正确；
对于选项D：因为，
同理可得：，
可知当时，中的不同数值有10个；
当时，由选项C可知每个值均不同，共有81个；
综上所述：中的不同数值有个，故D正确；
故选：ACD.
变式16（多选题）已知等差数列中，当且仅当时，仅得最大值，记数列的前k项和为，（ ）
A．若，则当且仅当时，取得最大值
B．若，则当且仅当时，取得最大值
C．若，则当且仅当时，取得最大值
D．若，，则当或14时，取得最大值
知识点四 与混合
题目中出现关于的等式：一方面可通过特殊值法（令）求出首项，另一方面考虑将等式转化为纯或纯的递推式，然后再求出的通项公式。根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化．
1、利用转化为只含的关系式，再求解．
2、利用转化为只含的关系式，再求解．
【题型六】 与混合
【例17】已知数列的前项和为，且（）．求的通项公式；
【详解】令，得
因为（），所以（，），
两式相减得（，），
即．所以（，），
所以，即，所以（，），
又，符合上式，所以（）．
变式17已知数列的前n项和为，，．求证：；
【例18】已知数列的前项和满足，且，求的通项公式；
【详解】解：当时，，
由此得.∵，∴.
∴是首项为1，公差为2的等差数列，∴.
变式18 记为数列的前项和，已知，．求数列的通项公式；
【例19】设是数列的前n项和，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C．数列为等差数列 D．－5050
【详解】是数列的前n项和，且，则， 整理得－＝－1（常数），
所以数列是以＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C正确；
所以，故．所以当时，－，不适合上式，
故故B正确，A错误；
所以， 故D正确．故选：A.
变式19已知数列的各项均为正数，其前n项和为，，，求数列的通项公式；
【题型七】等差数列绝对值的和
【例20】已知数列的前n项和，求数列的前n项和.
【详解】，当时，.
∵也符合上式，∴数列的通项公式为.
由，得，即当时，；当时，.
当时，；
当时，
故
变式20已知等差数列满足，则的前12项和为 ．
【题型八】 裂项相消求和
【例21】已知数列满足，则 .
【答案】
【详解】，所以，
变式21已知等差数列的前项和为，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求证：.
【例22】记数列的前项和为，且，.
(1)若为等差数列，求；
(2)若，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）设等差数列的公差为，当时，，
当时，，
由得，，所以，
因为，所以，，
因为为等差数列，所以，所以，
化简得，所以，所以.
（2）当时，，因为，可得，因为，可得，
由（1）可知，当时，，所以，
，
当时也符合上式，所以.
因为，
所以.
变式22在数列中，，.
(1)证明：数列为等差数列并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
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