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数列并项，公共项，去项，插项
【题型一】公共项
【例1】已知为数列的前项和，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)将数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和.
【答案】(1)；(2)570.
【详解】（1）由，可知，两式相减得，
即，因，则，
又，，解得，即是首项为3，公差的等差数列，
所以的通项公式.
（2）由(1)知，，数列与的公共项满足，即，，
而，于是得，即，此时，，
因此，，即，数列是以3为首项，12为公差的等差数列，
令的前项和为，则，
所以的前10项的和为570.
变式 1已知，，若数列与中有公共项，即存在，使得成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作，求.
【答案】
【详解】由题意可得：，，令，
则，此时满足条件，
即时为公共项，
所以
.
【题型二】去项
【例2】已知正项数列，，若从数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，设数列的前n项和为，求．
【答案】
【详解】由（1）知，
数列前60项中与数列的公共项共有6项，且最大公共项为．
又因为，
从而数列中去掉的是这7项，
所以．
【例3】已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和
【答案】(1)，，(2)
【详解】（1）因为数列满足①，
当时，，解得；
当时，，②
②-①得，即
因，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.
因为等差数列满足.所以.
设公差为，则，解得.
所以.
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；
（2），则有，
因为
所以当时，对应的，
由二项展开式可知
能被3 整除，
此时为整数，满足题意；
当时，对应的，
由二项展开式可知
所以除以3 的余数是1，不能整除，即此时不是整数，不满足题意；
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
变式 2已知数列，数列若数列是由数列中的项依次剔除与的公共项剩下的部分组成，求数列的前100项和.
【答案】11302
【详解】令，即，
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，.
故数列的前105项中有5项需要剔除，分别为.
故数列的前100项和为.
变式3 数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：．
【答案】(1)，，;(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得，①
当时，；当时，；
当时，，②
①②得，，
当时，，也适合上式，所以，所以，
两式相减得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．
（2）数列为：，所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首项，8为公比的等比数列．
所以当时，
所以，
所以，显然是关于k的减函数，所以；
所以当时，
所以，
所以，显然是关于k的减函数，所以；
综上所述，．
【题型三】并项
【例4】在前项和为的等比数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，将数列和数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求数列的前50项的和.
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）设数列的公比为，
若，则，与题意不符；
若，则，解得，所以；
（2）由（1）知：，
将数列和数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，
因为，
所以新的数列的前50项中数列有6项，数列有44项，
所以数列的前50项的和.
变式 4已知等差数列和等比数列满足，，数列和中的所有项分别构成集合 ，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和.
【答案】4081.
【详解】因为，，，
所以的前50项中含有的前7项且含有的前43项
【题型四】插项
【例5】已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：由数列的前n项和为，且，
当时，，
所以，
当时，，不符合上式，
所以数列的通项公式为．
（2）解：保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，
则新数列的前100项为3，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，， ，，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，
则
．
【例6】已知数列，在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求.
【答案】
【详解】在之间有2个3，之间有个3，之间有个3，之间有个3，
合计个3，
所以.
变式 5 已知各项均为正数的数列满足，．其中是数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前100项和．
【答案】(1)，(2).
【详解】（1）当时，，当时，递推得，
∴，，
因为数列各项均为正数，所以，又∵，
∴数列为等差数列，故．
（2）设和插入的个数构成一组数，
则前组共有个数，
令，又，解得：；
当时，，
∴的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，
∴
．
变式 6 数列，，保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入数列的前k项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前50项和．
【答案】7429
【详解】设数列的前项和为，则．
两边同乘以2得
．
以上两式相减得
．
设是新数列的第N项，则
．
当时，，当时，．
故这个新数列的前50项中包含的前9项，以及列的前k（k＝1，2，3，…，8）项和前5项，
由（1）知，所以这个新数列的前50项和为
．
【例7】已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.
【答案】(1)，，(2)186
【详解】（1）因为，当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合上式，所以，.
（2）（方法1）因为，，
所以当时，．
所以
所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
设，则，
因为，所以.
所以的前100项是由14个1与86个2组成．
所以.
（方法2）设，则，
因为，所以.
根据数列的定义，知
.
变式 7已知数列的前项和，，且.数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.
【答案】(1)，，(2)
【详解】（1）由已知可得，当时，有，，两式相减得：.
又因为，所以，，满足上式.所以，.
又，所以是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以，即.又，
所以，所以.
又，所以，当时，有，，，，.... ，，
两边同时相乘可得，
，
所以，.
（2）设100项中，来自于数列中的有项.
若第100项来自于，则应有，
整理可得，，该方程没有正整数解，不满足题意；
若第100项来自于，则应有，
整理可得，.
当时，有不满足，
，故，
所以，数列中含有10项数列中的项，含有90项数列中的项.
所以，
.
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数列公共项，去项，并项，插项
【题型一】公共项
【例1】已知为数列的前项和，且，，，.
(1)求的通项公式；
(2)将数列与的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列，求的前10项的和.
【答案】(1)；(2)570.
【详解】（1）由，可知，两式相减得，
即，因，则，
又，，解得，即是首项为3，公差的等差数列，
所以的通项公式.
（2）由(1)知，，数列与的公共项满足，即，，
而，于是得，即，此时，，
，即，数列是以3为首项，12为公差的等差数列，
令的前项和为，则，
所以的前10项的和为570.
变式 1已知，，若数列与中有公共项，即存在，使得成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新的数列，记作，求.
【题型二】去项
【例2】已知正项数列，，若从数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，设数列的前n项和为，求．
【答案】
【详解】由（1）知，
数列前60项中与数列的公共项共有6项，且最大公共项为．
又因为，
从而数列中去掉的是这7项，
所以．
【例3】已知数列的前项和为，满足.等差数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)将数列满足的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和
【答案】(1)，，(2)
【详解】（1）因为数列满足①，
当时，，解得；
当时，，②
②-①得，即
因，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.所以.
因为等差数列满足.所以.
设公差为，则，解得.
所以.
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为；
（2），则有，
因为所以当时，对应的，
由二项展开式可知
能被3 整除，
此时为整数，满足题意；当时，对应的，
由二项展开式可知
所以除以3 的余数是1，不能整除，即此时不是整数，不满足题意；
所以取出的项就是原数列的偶数项，所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
变式 2已知数列，数列，若数列是由数列中的项依次剔除与的公共项剩下的部分组成，求数列的前100项和.
变式3 数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为．
(1)求，并求数列的通项公式；
(2)抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：．
【题型三】并项
【例4】已知，记，将数列和数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求数列的前50项的和.
【答案】
【详解】，
将数列和数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，
因为，
所以新的数列的前50项中数列有6项，数列有44项，
所以数列的前50项的和.
变式 4已知等差数列和等比数列满足，，数列和中的所有项分别构成集合，，将集合中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前50项和.
【题型四】插项
【例5】已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)保持中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值（用数字作答）．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：由数列的前n项和为，且，
当时，，
所以，
当时，，不符合上式，所以的通项公式为．
（2）解：保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，
则新数列的前100项为3，1，，1，1，，1，1，1，，1，1，1，1，， ，，1，1，1，1，1，1，1，1，1，1，
则．
【例6】已知数列，在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求.
【答案】
【详解】在之间有2个3，之间有个3，之间有个3，之间有个3，
合计个3，
所以.
变式5已知各项均为正数的数列满足，．其中是数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)在和中插入个相同的数，构成一个新数列，求的前100项和．
变式 6 数列，，保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入数列的前k项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：，，，，，，，，，，…，求这个新数列的前50项和．
【例7】已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．
(1)求；
(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.
【答案】(1)，，(2)186
【详解】（1）因为，当时，
，
因为，所以，故．
当时，适合上式，所以，.
（2）（方法1）因为，，
所以当时，．
所以
所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，
设，则，
因为，所以.
所以的前100项是由14个1与86个2组成．
所以.
（方法2）设，则，
因为，所以.
根据数列的定义，知
.
变式 7 已知数列的前项和，，且.数列满足，.
(1)求数列，的通项公式；
(2)将数列中的项按从小到大的顺序依次插入数列中，在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列，求数列的前100项的和.
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