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数列放缩
一、分母为指数数列的放缩：
指数形式：
① ；
②.
其中③相对比较有规律，例如：已知分母是指数函数，求。
利用分离参数的方法求出，
则
则
，通常此时。
规律总结：
中必须包含指数函数在内。
中的分离常数是基于分子与分母指数项前的系数比，且同时要证明分离之后的分式0，则
二、平方形式放缩：
① ；
②
③
三、根式形式放缩：
①；
②；
③；
④；
【题型一】 裂项相消放缩
【例1】已知数列满足，.
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)数列成等比数列，证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）数列成等比数列，证明如下：根据
得；
，，，即数列成等比数列.
（2）由（1）得，，，
故，
由，得.
令，
当时，单调递增，且，
故，，，
，，
当时，
，
综上，知
【例2】已知和是公差相等的等差数列，且公差的首项，记为数列的前项和，．
(1)求和；
(2)若的前项和为，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）由已知得，即，解得，故．
（2）由（1）得，
则，得证．
变式1 正数数列满足，且成等差数列，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)求证：．
【答案】(1)；.；(2)证明见解析.
【详解】（1）成等差数列，成等比数列，，，
数列为正数数列，，
当时，，，，且，则，
，，，，，
数列是以为首项，为公差的等差数列，，，
当时，满足上式，，
当时，，
当时，满足上式，.
（2）证明：
当时，；
当时，；
当时，
.；综上所述，对一切正整数，有.
变式2在数列中，，，在数列中，，.
(1)求证数列成等差数列，并求；
(2)求证：当时，.
【答案】(1)证明见解析，；(2)证明见解析
【详解】（1）由，得，
得，即，
则数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，所以.
（2）由，得，
于是，
所以，
当时，
，
所以当时，.
【例3】已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，，求数列的前项和；
(3)设，记，证明：当时，．
【答案】(1)；；(2)；(3)证明见解析
【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，且，
所以，解得，所以；
设等比数列的公比为，
因为，，所以，即，解得（舍去）或，
所以．
（2）由（1）得，
则
，
．
（3）由（1）可知：．又，，
所以要证明原不等式成立，只需证明：成立．
当时，左边=1，右边=1，左边=右边．
当时，因为
，
因为
，
所以，
因为
，所以，
因为，所以，
所以，即．
所以当时，有，
所以
即，所以，
于是，当时，成立．
综上所述：当时，．
【例4】记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)令，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得：，所以，即.
又，所以，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
所以，两式相减得，即，
所以，因此的通项公式为.
（2）由（1）可得：，.
因为.
则，
所以.
变式3 已知等比数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
(3)记，求证：.
【答案】(1)；(2)；(3)详见解析.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
当时，有，则 ①
当时，，两式相减可得：，
整理得，可知，代入①可得，
所以等比数列的通项公式为（）.
（2）由已知在与之间插入个数，组成以为首项的等差数列，
所以，则，
设，则是递增数列，
当为偶数时，恒成立，即，所以；
当为奇数时，恒成立，即，所以；
综上所述，的取值范围是.
（3）证明：由（1）得，
则有
.
,原不等式得证.
【题型二】等比放缩
【例5】已知数列的前项和为，，是与的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）是与的等差中项，；
当时，，又，；
当且时，，
，，
又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，.
（2）由（1）得：，
，，
，
，
【例6】已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析；
【详解】（1）解：因为，，则且，
所以，数列是等比数列，且该数列的首项和公比均为，
，.
（2）解：，所以，，
，
所以，.
因此，对任意的，.
【例7】已知数列中，是其前项的和，，.
(1)求，的值，并证明是等比数列；
(2)证明：.
【答案】(1)，，证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）由，得，所以，，
由，得，所以，.
证明如下：由，得，所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，，
即数列是以为首项，以为公比的等比数列.
由（1）知，，，，
，
因为，所以，
于是，
其中，
于是，
所以.即.
变式 记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且.
(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；
(2)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
(3)求证：对于任意正整数，.
【答案】(1)，证明见解析；(2)最大值为，最小值为；(3)证明见解析
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
由，可得，解得或（舍去），
．
又，则，
由，可得， ，
数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可得
，
设的前项和为，
则，
当为奇数时，随着的增大而减小，可得，
当为偶数时，随着的增大而增大，可得，
的最大值为，最小值为．
（3）证明：因为数列是以为首项，为公比的等比数列， ， ．
所以，所以，
所以．
变式5 数列中，，对任意正整数n都有.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：
①；
②.
【答案】(1)；(2)①证明见解析；②证明见解析
【详解】（1）解：因为，
所以，即，
又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
从而，则.
（2）①因为，所以；
②由①得，
设，则，
两式相减得，
即，
从而，故.
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数列放缩
一、分母为指数数列的放缩：
指数形式：
① ；
②.
其中③相对比较有规律，例如：已知分母是指数函数，求。
利用分离参数的方法求出，
则
则
，通常此时。
规律总结：
中必须包含指数函数在内。
中的分离常数是基于分子与分母指数项前的系数比，且同时要证明分离之后的分式0，则
二、平方形式放缩：
① ；
②
③
三、根式形式放缩：
①；
②；
③；
④；
【题型一】 裂项相消放缩
【例1】已知数列满足，.
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)数列成等比数列，证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）数列成等比数列，证明如下：根据
得；
，，，即数列成等比数列.
（2）由（1）得，，，
故，
由，得.
令，
当时，单调递增，且，
故，，，
，，
当时，
，综上，知
【例2】已知和是公差相等的等差数列，且公差的首项，记为数列的前项和，．
(1)求和；
(2)若的前项和为，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）由已知得，即，解得，故．
（2）由（1）得，
则，得证．
变式1 正数数列满足，且成等差数列，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)求证：．
变式2在数列中，，，在数列中，，.
(1)求证数列成等差数列，并求；
(2)求证：当时，.
【例3】已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的等比数列，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，，求数列的前项和；
(3)设，记，证明：当时，．
【答案】(1)；；(2)；(3)证明见解析
【详解】（1）因为是公差为2的等差数列，且，
所以，解得，所以；
设等比数列的公比为，
因为，，所以，即，解得（舍去）或，
所以．
（2）由（1）得，
则
，
．
（3）由（1）可知：．又，，
所以要证明原不等式成立，只需证明：成立．
当时，左边=1，右边=1，左边=右边．
当时，因为
，
因为
，
所以，
因为
，所以，
因为，所以，
所以，即．
所以当时，有，
所以
即，所以，
于是，当时，成立．
综上所述：当时，．
【例4】记为数列的前项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)令，证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得：，所以，即.
又，所以，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，即，
所以，两式相减得，即，
所以，因此的通项公式为.
（2）由（1）可得：，.
因为.
则，
所以.
变式3 已知等比数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；
(3)记，求证：.
【题型二】等比放缩
【例5】已知数列的前项和为，，是与的等差中项．
(1)求的通项公式；
(2)设，且数列的前项和为，求证：．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【详解】（1）是与的等差中项，；
当时，，又，；
当且时，，
，，
又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，，.
（2）由（1）得：，
，，
，
，
【例6】已知数列满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)；(2)证明见解析；
【详解】（1）解：因为，，则且，
所以，数列是等比数列，且该数列的首项和公比均为，
，.
（2）解：，所以，，
，
所以，.
因此，对任意的，.
【例7】已知数列中，是其前项的和，，.
(1)求，的值，并证明是等比数列；
(2)证明：.
【答案】(1)，，证明见解析；(2)证明见解析
【详解】（1）由，得，所以，，
由，得，所以，.
证明如下：由，得，所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，，
即数列是以为首项，以为公比的等比数列.
由（1）知，，，，
，
因为，所以，
于是，
其中，
于是，
所以.即.
变式4 记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且.
(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；
(2)求证：对于任意正整数，.
变式5 数列中，，对任意正整数n都有.
(1)求的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：
①；
②.
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