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10.4 三元一次方程组的解法
一、教学目标
1.了解三元一次方程组的概念.
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想.
3.会解较复杂的三元一次方程组.
二、课型
新授课
三、课时
1课时
四、教学重难点
【教学重点】
1.三元一次方程组的解法.
2.三元一次方程组的应用.
【教学难点】
三元一次方程组的应用.
五、课前准备
教师：课件.
学生：铅笔、练习本.
六、教学过程
（一）导入新课
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
化二元为一元
【思考】若含有3个未知数的方程组如何求解？
（二）探索新知
1.探究三元一次方程组的概念
教师出示问题：在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2，按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.那么这支球队胜、平、负各多少场？
教师问：题目中有几个条件？
学生答：题目中共有3个条件.
教师问：问题中有几个未知量？
学生答：问题中有3个未知量.
教师问：题目中有哪些数量关系呢？
教师依次展示学生答案：
学生1答：胜的场数+平的场数+负的场数=22.
学生2答：胜的分数+平的分数+负的分数=47.
学生3答：胜的场数=负的场数×4+2.
教师总结如下：
（1）胜的场数+平的场数+负的场数=22.
（2）胜的分数+平的分数+负的分数=47.
（）胜的场数=负的场数×4+2.
教师问：你能利用表格表示上面的数量关系吗？
学生答：如下表所示.
比赛结果 场数 分数
胜 x 3x
平 y y
负 z 0
合计 22 47
注 胜的场数比负的场数的4倍多2，即x=4z+2
教师问：观察上表，你能得到几个方程呢？
师生共同解答.
在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y， z，根据题意,可以得到下列三个方程:x+y+z=22,3x+y=47,x=4z+2.
教师问：根据等量关系你能列出方程组吗？
学生答：对于这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成
教师问：这个方程组含有几个未知数呢？
学生答：这个方程组中含有3个未知数.
教师问：这个方程组里每一个方程所含未知数的次数都是几呢？
学生答：这个方程组里每一个方程所含未知数的次数都是1.
教师问：仿照前面学习的二元一次方程组的定义，你能给这个方程组下定义吗？
学生答：含有三个一次方程并且有三个一次未知数的方程组，叫作三元一次方程组.
总结点拨：
由此，我们得出三元一次方程组的定义
含有三个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
考点1：三元一次方程组的判断
下列是三元一次方程组的是( )
A. B.
C. D.
学生独立思考后，师生共同解答.
解析：A选项中，方程x +y＝7中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中不是整式，故B选项不是；C选项中,方程xyz＝1中含未知数的项的次数为3，不符合三元一次方程组的定义，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义．故答案为D.
答案：D
总结点拨：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．
学生自主练习后口答，教师订正.
2.探究三元一次方程组的解法
教师问：类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解. 怎样解三元一次方程组呢
例如：
学生答：通过消元转化一元一次方程来解答.
教师问：能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
学生答：可以的，利用代入法和加减法把“三元”化成“二元”，再像以前解二元一方程组一样，通过消元转化为一元一次方程来解答即可.
考点2：三元一次方程组的解法
解三元一次方程组
学生独立思考后，师生共同解答.
分析：方程①中只含x, z, 因此,可以由②③消去y, 得到一个只含x, z的方程, 与方程①组成一个二元一次方程组.
解：②×3＋③，得 11x＋10z=35.④
与④组成方程组
解这个方程组，得
把 x＝5，z＝-2 代入②，得y=.
因此，三元一次方程组的解为
总结点拨：
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元 一元一次方程
学生自主练习后口答，教师订正.
考点3：利用三元一次方程组求字母的值
在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=－1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5
时，y=60，求a，b，c的值.
学生独立思考后，师生共同解答.
解:根据题意，得三元一次方程组
－①， 得 a＋b=1; ④
③－①，得 4a＋b=10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 a＝3，b＝-2 代入①，得c=.
因此a,b,c的值分别为3，-2，-5.
学生自主练习，教师给出答案.
考点4：三元一次方程组的应用
一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的 .如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数.
学生独立思考后，师生共同解答.
分析：把这个三位数各位上的数看成三个未知数，则根据题目中的三个相等关系，可以列三元一次方程组.
解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.
根据题意,得
解这个方程组，得
因此这个三位数是473.
学生自主练习，教师给出答案.
教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.
（三）课堂小结
三元一次方程组 三元一次方程组的概念 含有三个未知数 含有未知数的式子都是整式 每个方程中含未知数的项的次数都是1 一共有三个方程
三元一次方程组的解法 通过代入消元法或加减消元法转化为二元一次方程组
三元一次方程组的应用
（四）课前预习
预习下节课11.1.1的相关内容.
知道不等式、不等式的解、解集、解不等式的定义
课后作业
1、教材第111页习题10.4.
2、七彩课堂第279页习题.
板书设计
1.知识梳理
三元一次方程组
2.考点讲解
考点1 考点2 考点3 考点4
教学反思
成功之处：本节课在学习三元一次方程组解法过程中，采取了类比迁移、举一反三的方法，类比二元一次方程组的知识学习三元一次方程组.根据方程组的特点灵活选择恰当的解法，在应用过程中形成技能技巧，并且培养了学生分析题目特点、选择合适方法的学习能力.
不足之处：解三元一次方程组，运算量大，变化较多，学生需要首先预判消去哪个未知数，所以在实际解题时容易出现消元选错未知数，重新消元，消元时出现符号错误，这些都是需要多练习多讲解的地方，还需要学生在课下多探究多找规律才能掌握.
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