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第一章 问题解决策略:分类讨论
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
用数学的思维方法,综合地、有逻辑地分析问题,经历分工合作、建立模型、计算反思、解决问题的过程,提升思维能力,逐步形成“会用数学的思维思考现实世界”的核心素养.
1.通过实例,感受分类讨论的数学思想方法在解决问题中的有效运用,提升思维能力.
2.在小组合作与思考问题中培养模型观念与创新意识的核心素养.
重点:掌握分类讨论的方法,了解运用分类讨论的策略分析与解决问题的步骤.
难点:运用分类讨论的策略分析与解决问题,提升思维能力.
创设问题情境,让学生回顾数学知识学习与解决问题中所接触过的数学思想方法,从而淡化学生对分类讨论这一解决问题策略的陌生感,激发求知欲.对于较为复杂的问题的解决,学会从简单情形入手,逐步解决,适当迁移拓展,领悟数学思想方法通法通用的内在实质.
(一)情境导入
在数学学习中与解决相关问题时,同学们接触过哪些数学思想方法或策略 请举例说明.
生1:转化的方法,如进行异分母分数的加减运算时,利用通分转化为同分母分数的加减.
生2:数形结合的思想方法,如解决行程问题时借助线段图分析与理解题意.
生3:分情况讨论,如由两个形状图还原几何体时可能存在多种情况.
……
师:同学们视野真开阔!数学思维真强!学习习惯真好!今天我们就先来学习问题解决的一种策略——分类讨论.
(二)新知初探
探究一　问题解决策略:分类讨论
1.对于某些较为复杂的问题,我们需要将原问题划分为几种情况,针对每种情况逐一分析、逐一解决,这是一种分析问题、解决问题的重要策略——分类讨论.
2.问题:如图所示的是由4×4个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格,该图包含多少个正方形
请同学们按照以下方法步骤进行探索分析与解答.
理解问题
(1)图中包含多个正方形,这些正方形的边长可以取哪些值
(2)若根据正方形的边长分类,则这些正方形可以分为几类
(3)如何确定每一类正方形的个数
解:(1)这些正方形的边长可以取1,2,3,4.
(2)根据正方形的边长分类,则这些正方形可以分为四类.
(3)边长为m的正方形的个数为[4-(m-1)]×[4-(m-1)].
拟定计划
(1)确定图中包含正方形的取值范围;
(2)根据图中包含的正方形边长情况,将这些正方形分类;
(3)求出每一类正方形的个数,进而确定所有正方形的个数.
解:(1)图中包含的正方形边长的取值可以为1,2,3,4.
(2)根据图中包含的正方形边长情况,将这些正方形分为四类,即边长为1的正方形,边长为2的正方形,边长为3的正方形,边长为4的正方形.
(3)边长为1的正方形有4×4=16(个);
边长为2的正方形有(4-1)×(4-1)=9(个);
边长为3的正方形有(4-2)×(4-2)=4(个);
边长为4的正方形有(4-3)×(4-3)=1(个).
所以图中包含16+9+4+1=30(个)正方形.
实施计划
(1)图中边长为1的正方形有4×4个;
(2)图中边长为2的正方形共有(4-1)×(4-1)个;
(3)图中边长为3的正方形共有(4-2)×(4-2)个;
(4)图中边长为4的正方形共有(4-3)×(4-3)个.
所以,图中包含16+9+4+1=30(个)正方形.
[方法归纳]
运用分类讨论的策略分析与解决问题的步骤
(1)确定分类讨论的对象及其范围;
(2)按照分类标准把研究对象分类后,逐级逐类进行讨论;
(3)归纳并作出结论.
3.针对训练
(1)由6×6个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格图中包含了多少个正方形
解:图中边长为1的正方形共有
6×6=36(个);
图中边长为2的正方形共有
(6-1)×(6-1)=25(个);
图中边长为3的正方形共有
(6-2)×(6-2)=16(个);
图中边长为4的正方形共有
(6-3)×(6-3)=9(个);
图中边长为5的正方形共有
(6-4)×(6-4)=4(个);
图中边长为6的正方形共有
(6-5)×(6-5)=1(个).
所以,图中包含36+25+16+9+4+1=91(个)正方形.
(2)由m×m个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格图中包含了多少个正方形
解:图中边长为1的正方形共有m×m=m2(个);
图中边长为2的正方形共有(m-1)×(m-1)=(m-1)2(个);
图中边长为3的正方形共有(m-2)×(m-2)=(m-2)2(个);
图中边长为4的正方形共有(m-3)×(m-3)=(m-3)2(个);
……
图中边长为(m-2)的正方形共有[m-(m-3)]×[m-(m-3)]=9=32(个);
图中边长为(m-1)的正方形共有[m-(m-2)]×[m-(m-2)]=4=22(个);
图中边长为m的正方形共有[m-(m-1)]×[m-(m-1)]=12(个).
所以,由m×m个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格图中包含正方形(12+22+32+…+m2)(个).
(3)由8×9个边长为1的正方形拼接成的大正方形网格图中包含了多少个正方形
解:图中边长为1的正方形共有
8×9=72(个);
图中边长为2的正方形共有
(8-1)×(9-1)=56(个);
图中边长为3的正方形共有
(8-2)×(9-2)=42(个);
图中边长为4的正方形共有
(8-3)×(9-3)=30(个);
图中边长为5的正方形共有
(8-4)×(9-4)=20(个);
图中边长为6的正方形共有
(8-5)×(9-5)=12(个);
图中边长为7的正方形共有
(8-6)×(9-6)=6(个);
图中边长为8的正方形共有
(8-7)×(9-7)=2(个).
所以,图中包含72+56+42+30+20+12+6+2=240(个)正方形.
任务一　意图说明
以网格图中正方形个数的探究展开对分类讨论这一问题解决策略的学习,由于该类问题相对复杂与抽象,故通过理解问题、拟定计划、实施计划有条不紊地逐步进行探索,最后通过巩固练习把该类问题的解决方式进一步推广(大网格由正方形变为长方形),帮助学生领悟其实质.
探究二　例题讲解
例题　如图所示的是由4×4×4个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体,求该图形中包含多少个正方体.
解:图中棱长为1的正方体的个数为4×4×4=64;
图中棱长为2的正方体的个数为(4-1)×(4-1)×(4-1)=27;
图中棱长为3的正方体的个数为(4-2)×(4-2)×(4-2)=8;
图中棱长为4的正方体的个数为(4-3)×(4-3)×(4-3)=1.
所以,该图中包含64+27+8+1=100(个)正方体.
针对训练:见导学案.
任务二　意图说明
本例题是对探究一中的问题的拓展,由平面图形个数的探究迁移到立体图形个数的探究,旨在帮助学生对分类讨论这一解决问题的策略做到领悟本质,活学活用,提升分析与解决问题的思维能力.
(三)当堂达标(要求:限时5分钟,独立完成)
见课件
(四)课堂小结
见课件
(五)板书设计
问题解决策略:分类讨论
1.分类讨论:将原问题划分为几种情况,针对每种情况逐一分析、逐一解决
2.方法步骤:理解问题、拟定计划、实施计划
3.迁移应用:例题
荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为:学习数学唯一正确的方法是实行再创造,也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来,教师的任务是引导和帮助学生进行这种再创造的工作,而不是把现成的知识灌输给学生.本节所提出的问题较为复杂,引导学生利用分类讨论的策略逐步加以分析与解决,并适当进行变式迁移与拓展,让学生初步感受数学思想方法在解决问题中的重要应用,提升思维能力,培养模型观念与创新意识的核心素养.

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