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2.2 平方根与立方根
第 4 课时 估算
1. 会估算一个无理数的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识，发展数感. (重点)
2. 能通过估算比较两个数的大小，体会估算在实际生活中的意义和应用. (难点)
已知：游乐园门票 82 元/人.
周末我们小组的 7 名同学约好一起去游乐园玩，带 550 元，够吗？
你还能想到更快速的判断方法吗？
82×7 = 574 元，574＞550，不够.
80×7 = 560＞550.
估算法
探究 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400 000 m2。
(1) 公园的宽大约有多少？有 1000 m 吗？
1000
2000
S = 400 000
解：因为 2000×1000 = 2 000 000＞400 000，
所以公园的宽没有 1 000 m。
探究点一：用估算确定无理数的大小
(2) 如果要求结果精确到 10 m，它的宽大约是多少？与同伴进行交流。
2x
x 2x = 400000，
2x2 = 400 000，
x2 = 200 000，
x =
解：设公园的宽为 x 米.
S = 400 000
x
如何估计 的近似值呢？
探究点一：用估算确定无理数的大小
由（1）知 x＜1 000，
当 x = 500 时，2x2 = 500 000 ＞ 400 000.
当 x = 400 时，2x2 = 320 000 ＜ 400 000.
当 x = 450 时，2x2 = 405 000 ＞ 400 000.
大约是多少呢？
当 x = 440 时，2x2 = 387 200 ＜ 400 000.
所以 x = ≈ 450.
答：它的宽大约是 450 米.
探究点一：用估算确定无理数的大小
(3) 该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 m2，你能估计它的半径吗 (结果精确到 1 m)？
800 m2
r m
解：设圆形花圃的半径为 r m，由题意，得
πr2 = 800.
当 π 取 3.14， r = 10 时，πr2 = 314＜800.
当 π 取 3.14， r = 20 时，πr2 = 1256＞800.
当 π 取 3.14， r = 15 时，πr2 = 706.5＜800.
当 π 取 3.14， r = 16 时，πr2 = 803.84＞800.
答：它的半径约为 16 m.
探究点一：用估算确定无理数的大小
思考 (1)下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？
√
×
×
方法一：两数同时乘方
方法二：有理数化作带根号的形式
探究点一：用估算确定无理数的大小
(2) 你能估算 的大小吗？(结果精确到 1)
解：因为 93 ＜900＜103 ，
所以 .
且 900 更接近 1000，
所以 .
探究点一：用估算确定无理数的大小
∴ 的值约是 3.5 或 3.6.
例1 怎样估算无理数 (误差小于 0.1)？
的整数部分是 3.
探究点一：用估算确定无理数的大小
变式训练 按要求估算下列无理数：
(误差小于0.1)；
解：
(1) 因为
所以
所以
(2) 因为
所以
所以
所以 的估算值是 3.9 或 4.
所以 的估算值是 10 或 11.
探究点一：用估算确定无理数的大小
探究点一：用估算确定无理数的大小
【要点归纳】
1. 估算无理数大小的方法：通过利用乘方与开方互为逆运算，采用“逐步逼近法”，确定真值所在范围；
2. “逐步逼近法”的基本步骤：
① 先估计出是几位数；
② 确定最高数位上的数字（比如十位)；
③ 再确定下一位上的数字（比如个位)；
④ 依次类推，按要求精确到小数点后的某一位。
例2 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长为 6 m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到 5.6 m 高的墙头吗
探究点二： 用估算比较数的大小
解：设梯子稳定摆放时的高度为 x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ，根据勾股定理
6
所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到 5.6 m 高的墙头.
探究点二： 用估算比较数的大小
小明是这样想的：
与 的分母相同，只要比较它们的分子就可以了.
因为 ，
所以 ，
因此 .
你认为小明的想法正确吗？
思考：宽与长之比为 的长方形称为“黄金矩形”。你能比较比较 与 的大小吗？你是怎样比较的？你是怎样想的？
探究点二： 用估算比较数的大小
正确。
2. 比较大小的两个数中如果有含根号的数，常常有如下比较方法：
① 先找个中间值，再比较；
② 先把两数平方或立方，再比较。
要点归纳：
1. 用估算法比较两个数的大小(其中至少有一个是无理数)时，一般先用分析的方法估算出无理数的大致范围，再比较。
探究点二： 用估算比较数的大小
例3 通过估算比较下列各组数的大小：
(2) 与 2.1。
解：(1) 因为 6 > 4，所以 > ，所以 > 2。
(2) 因为 26 < 27，所以 < ，即 < 3，
但接近于 3，所以 > 2.1.
(1) 与 1.5；
所以 ，即 。
探究点二： 用估算比较数的大小
① 作差比较法；
【方法总结】
比较两数的大小常用方法有：
④ 利用平方法比较无理数的大小等。
② 求值比较法；
③ 移因式于根号内，再比较大小；
探究点二： 用估算比较数的大小
试着在自己的计算器里输入同样的算式：
想一想开方运算要用到哪些键？
探究点三： 利用计算器进行开方运算
对于开平方运算，按键顺序为：
被开方数
=
对于开立方运算，按键顺序为：
被开方数
SHIFT
=
3
第二功能
对于小数与分数可以按：
S D
探究点三： 利用计算器进行开方运算
不同计算器可能会存在不同的用法.
同 SHIFT 键，指第二功能
如果想转换小数与分数可以按：
S D
同 键
探究点三： 利用计算器进行开方运算
探究点三： 利用计算器进行开方运算
1.利用计算器，求下列各式的值(结果保留4个有效数字)：
解：
≈ 1.6386；
≈ 28.2843 ；
≈ 0.7616 ；
≈ -0.7560。
讨论：(1) 任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算······ 随着开方次数的增加，你发现了什么？
(2) 用另一个小于 1 的正数试一试，看看是否仍有类似规律。
运算的结果越来越接近 1 .
随着开方次数的增加，运算的结果越来越接近1.
探究点三： 利用计算器进行开方运算
(3) 任意找一个非零数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？
选取任意非零数反复开立方，
对正数反复开立方，结果趋近于 1；
对负数反复开立方，结果趋近于－1.
探究点三： 利用计算器进行开方运算
1. 估计 的值(　C　)
A. 在 3 到 4 之间 B. 在 4 到 5 之间
C. 在 5 到 6 之间 D. 在 6 到 7 之间
C
2. 在0，－1，－ ，－2这四个数中，最小的数是
(　D　)
A. 0 B. －1
C. － D. －2
D
3. 若一个正方形的面积是 8，则估计它的边长大小
在(　B　)
A. 2与2.5之间 B. 2.5与3之间
C. 3与3.5之间 D. 3.5与4之间
B
4. 如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，这四
个点中最适合表示 的是 .
点P　
5. 已知m，n为两个连续的整数，且m＜ ＜n，
则m＋n＝ .
7　
解：∵ ＜ ＜ ，
∴2＜ ＜3.
∵ ＜ ＜ ，
∴4＜ ＜5.
∴ ＜ .
6. 通过估算，比较 ， 的大小.
7. 利用计算器比较下列各数的大小.
(1) ＋ ， ；
解： ＋ ＞ .
(2) ， .
解： ＞ .
解： ＋ ＞ .
解： ＞ .
估算
估算在生活中的应用
估算无理数的大致范围
估算一个无理数的近似值
估算比较两个数的大小第2章 实数
2.2 平方根与立方根
第4课时 估算
【素养目标】
1. 会估算一个无理数的大致范围, 掌握估算的方法, 形成估算的意识, 发展数感. (重点)
2. 能通过估算比较两个数的大小,体会估算在实际生活中的意义和应用. (难点)
【情境导入】
已知: 游乐园门票82元/人. 周末我们小组的7名同学约好一起去游乐园玩, 总费用550元够吗
你还能想到更快速地判断方法吗
【合作探究】
探究点一:用估算确定无理数的大小探究
某地开辟了一块长方形荒地,新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的 2 倍, 它的面积为 。
(1) 公园的宽度大约有多少？有 吗？
(2) 如果要求结果精确到 ,它的宽大约是多少？与同伴进行交流。
这个宽大约是多少呢
(3) 该公园中心有一个圆形花圃,它的面积是 , 你能估计它的半径吗(结果精确到 )？
思考 (1) 下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？
(2) 你能估算 的大小吗？(结果精确到1)
例1 怎样估算无理数 (误差小于 0.1)
变式训练 按要求估算下列无理数:
(1) (误差小于0.1) (2) (误差小于1).
【要点归纳】
1. 估算无理数大小的方法: 通过利用乘方与开方互为逆运算,采用“逐步逼近法”,确定真值所在范围；
2.“逐步逼近法” 的基本步骤:
① 先估计出是几位数；
② 确定最高数位上的数字(比如十位)；
③ 再确定下一位上的数字(比如个位)；
④ 依此类推,按要求精确到小数点后的某一位。
探究点二: 用估算比较数的大小
例2 生活经验表明, 靠墙摆放梯子时, 若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ,则梯子比较稳定. 现有一长为 的梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能达到 高的墙头吗
思考: 宽与长之比为 的长方形称为“黄金矩形”。你能比较比较 与 的大小吗 你是怎样比较的 你是怎样想的
小明是这样想的: 与 的分母相同,只要比较它们的分子就可以了，因为 ,所以 ,因此 .你认为小明的想法正确吗？
要点归纳:
1. 用估算法比较两个数的大小(其中至少有一个是无理数)时,一般先用分析的方法估算出无理数的大致范围,再比较。
2. 比较大小的两个数中如果有含根号的数,常常有如下比较方法:
① 先找个中间值,再比较；
② 先把两数平方或立方,再比较。
例3 通过估算比较下列各组数的大小.
（1）与1.5 （2）与2.1
探究点三:利用计算器进行开方运算
试着在自己的计算器里输入同样的算式:
想一想开方运算要用到哪些键？
对于开平方运算,按键顺序为: 、被开方数、
对于开立方运算,按键顺序为: SHIFT、 、被开方数、
对于小数与分数可以按:
不同计算器可能会存在不同的用法.同 SHIFT 键,指第二功能.
如果想转换小数与分数可以按:同S D 键
练一练1. 利用计算器,求下列各式的值(结果保留4个有效数字):
(1) ； (2) ； (3)； (4) .
讨论:(1) 任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加,你发现了什么
(2) 用另一个小于 1 的正数试一试,看看是否仍有类似规律。
(3) 任意找一个非零数,利用计算器对它不断进行开立方运算,你发现了什么
当堂反馈
1. 估计 的值( )
A. 在 3 到 4 之间 B. 在 4 到 5 之间
C. 在 5 到 6 之间 D. 在 6 到 7 之间
2. 在 这四个数中,最小的数是( )
A. 0 B. -1 C. D. -2
3. 若一个正方形的面积是 8 , 则估计它的边长大小在( )
A. 2与2.5之间 B. 2.5 与 3 之间
C. 3与3.5之间 D. 3.5 与 4 之间
4. 如图, 是数轴上的四个点,这四个点中最适合表示的是点____.
5. 已知 为两个连续的整数,且 ,则 _____.
6. 通过估算,比较 的大小.
7. 利用计算器比较下列各数的大小.
(1) ； (2) .
参考答案
情境导入 元, ,不够.
周末我们小组的 7 名同学约好一起去游乐园玩, 带 550 元,够吗
你还能想到更快速地判断方法吗 . 估算法
探究点一:用估算确定无理数的大小探究
(1)解: 因为 ,所以公园的宽没有 。
(2) 解: 设公园的宽为 米.
.
大约是多少呢 由( 1 )知 ,
当 时, .
当 时, .
当 时, .
当 时, .
所以 .答: 它的宽大约是 450 米.
(3)解: 设圆形花圃的半径为 , 由题意,得 . 当 取 3.14, 时, .
当 取 3.14, 时, .
当 取 3.14, 时, .
当 取 3.14, 时, . 答: 它的半径约为 .
思考 (1) 方法一: 两数同时乘方
方法二:有理数化作带根号的形式
( 2 )你能估算 的大小吗？(结果精确到 1)
解: 因为 ,所以 . 且 900 更接近 1000,
所以 .
例1 解: (1) . .
的整数部分是 3 . , . 的值约是 3.5 或 3.6.
(2) 因为 ,所以 . 所以 . 所以 的估算值是10 或 11 .
探究点二: 用估算比较数的大小
例2 解: 设梯子稳定摆放时的高度为 ,此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ,根据勾股定理
,所以梯子稳定摆放时,它的顶端能够达到 高的墙头.
例3 解: (1) 因为 ,所以 ,所以 。
所以 ,即 。
(2)因为 ,所以 ,即 ,但接近于 3 ,所以 .
探究点三:利用计算器进行开方运算
练一练1. 解: (1) ; (2) ；
(3) ; (4) 。
讨论:(1) 随着开方次数的增加,运算的结果越来越接近1.
(2) 运算的结果越来越接近 1 .
( 3 )选取任意非零数反复开立方,对正数反复开立方,结果趋近于 1 ；对负数反复开立方, 结果趋近于 -1 .
当堂反馈
1. C 2. D 3. B 4. 点 . 5. .
6. 解: , . ,
. .
7. (1) ；解: .
(2) .解: .2.2　平方根与立方根
第4课时　估算
1.会估算一个无理数的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识，发展数感.
2.能通过估算比较两个数的大小，体会估算在实际生活中的意义和应用.
重点：能估算一个无理数的大致取值范围.
难点：能通过估算比较两个数的大小.
知识链接
小丽：“我想在一块面积为500cm2的正方形纸片中，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形的纸片，使它的长是宽的2倍，不知能否裁出？”
小明：“用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片，那肯定行.”
你同意小明的说法吗？小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片呢？为什么？学习了下面的知识你就知道啦！
创设情境——见配套课件
探究点一：用估算确定无理数的大小
活动1：阅读教材P36引入部分，回答问题：
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2.
（1）公园的宽大约是多少？它有1000m吗？
解：设该公园的宽为x m，则长为2xm.所以x·2x＝400000，即x2＝200000.所以x＝≈447.所以公园的宽大约是447m，它没有1000m.
（2）如果要求结果精确到10m，它的宽大约是多少？
解：由（1）得x＝≈450.所以它的宽大约为450 m.
（3）该公园中心有一个圆形花园，它的面积是800m2，你能估计它的半径r吗？（π取3.14，结果精确到1m）
解：πr2＝800，r2≈254.8，r≈≈16（m）.
思考：1.怎样估算无理数的大小（误差小于0.1）？
因为（）2＝12.5，32＝9，42＝16，所以32＜12.5＜42.
所以3＜＜4.所以的整数部分是3.
因为3.52＜12.5＜3.62，所以3.5＜＜3.6.所以的估算值是3.5或3.6.
2.怎样估算无理数（误差小于1）的大小？
因为（）3＝2000，123＝1728，133＝2197，所以123＜2000＜133.所以12＜＜13.所以的估算值是12或13.
要点归纳：
1.估算无理数大小的方法：通过利用乘方与开方互为逆运算，采用“逐步逼近法”，确定真值所在范围；
2.“逐步逼近法”的基本步骤：
①先估计出是几位数；
②确定最高数位上的数字（比如十位）；
③再确定下一位上的数字（比如个位）；
④依次类推，按要求精确到小数点后的某一位.
探究点二：用估算比较数的大小
活动2：议一议
通过估算，你能比较与的大小吗？先独立思考，再与同伴进行交流.
小明是这样想的：与的分母相同，只要比较它们的分子就可以了.因为＞2，所以－1＞1.因此＞.你认为小明的想法正确吗？正确.
要点归纳：
1.用估算法比较两个数的大小（其中至少有一个是无理数）时，一般先用分析的方法估算出无理数的大致范围，再比较.
2.比较大小的两个数中如果有含根号的数，常常有如下比较方法：
①先找个中间值，再比较；②先把两数平方或立方，再比较.
探究点三：利用计算器进行开方运算
活动3：做一做
利用计算器，求下列各式的值（结果保留4位小数）：
（1）　　（2）　　（3）　　（4）
比一比，看谁算得快.
解：（1）28.2843.　　（2）1.6386.　　
（3）0.7616.　　 （4）－0.7560.
讨论：（1）任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算……随着开方次数的增加，你发现了什么？
随着开放次数的增加，运算的结果越来越接近1.
（2）改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似规律.
运算的结果越来越接近1.
（3）任意找一个非零数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？
选取任意非零数反复开立方，对正数反复开立方，结果趋近于1；对负数反复开立方，结果趋近于－1.
通过估算比较下列各组数的大小：
（1）与1.5； （2）与2.1.
解析：（1）先估算的大小，再比较与2的大小，从而进一步比较与1.5的大小；（2）先估算的大小或求2.1的立方，比较26与2.13的大小.
解：（1）因为6＞4，所以＞.所以＞2.所以＞＝1.5，即＞1.5.
（2）因为26＜27，所以＜，即＜3.但接近于3，所以＞2.1.
阅读并完成教材P36例7，课件出示，学生独立思考，老师总结.
方法总结：比较两数的大小常用方法有：①作差比较法；②求值比较法；③利用平方法比较无理数的大小等.
1.估计的值（　C　）
A.在3到4之间 B.在4到5之间 C.在5到6之间 D.在6到7之间
2.如图，M，N，P，Q是数轴上的四个点，这四个点中最可能表示的是　点P　.
3.已知m，n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m＋n＝　7　.
4.通过估算，比较，的大小.
解：因为＜＜，所以2＜＜3.因为＜＜，所以4＜＜5.所以＜.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
估算
第4课时　估算
　　在解决问题的同时引导学生对解决方法进行总结，和学生一起归纳出估算的方法.让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新的实际问题，让学生初步体会数学知识的实际应用价值.

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