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2.3 二次根式
第 3 课时 二次根式的混合运算
1. 会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，提高运算能力，激发学生的学习兴趣，发展创新意识；
(重点)
2. 通过正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，发展学生分析问题、解决实际问题的能力。
(难点)
问题1：单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么
问题2：多项式与单项式的除法法则是什么
m(a + b + c) = ma + mb + mc
(m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb
(ma + mb + mc)÷m = a + b + c
分配律
单×多
转化
前面两个问题的思路是：
思考：若把字母 a，b，c，m 都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
单×单
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用。
(1) 请你计算：
【合作探究】
探究点一： 二次根式的混合运算
探究点一： 二次根式的混合运算
(2) 小明是这样计算 的:
思考：分子、分母同乘 的目的是什么
目的是将分母转化为有理数，方便合并同类项.
将分母转化为有理数的过程我们一般叫作分母有理化，部分式子可以借助平方差公式和完全平方公式来进行。
(3) 计算 你有哪些方法？
想一想：这两种计算方法有何不同？
①
②
探究点一： 二次根式的混合运算
例1 计算：
解：
(1) 原式
(2) 原式
探究点一： 二次根式的混合运算
解法一：
（3）
你还有其他解法吗？
探究点一： 二次根式的混合运算
解法二：原式 =
探究点一： 二次根式的混合运算
解： 原式 =
思考：还可以继续化简吗？为什么？
提醒:如果算式当中有个别二次根式化为最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，那么结果中可直接保留，不必再化。
探究点一： 二次根式的混合运算
问题：化简 ，其中 a = 3，b = 2. 你是怎么做的？
解法一：
把 a = 3，b = 2 代入式子中，
原式 =
解法二：
原式 =
把 a = 3，b = 2 代入式中，
原式
先代入后化简
先化简后代入
哪种更简便？
探究点二： 二次根式的应用
解二次根式化简求值题目时，直接代入求值往往很麻烦，一般应先化简所求式子，再用代入数字求值.
探究点二： 二次根式的应用
【变式训练】已知 ，求 。
解：
探究点二： 二次根式的应用
【思考·交流】如图，小正方形的边长为 1。
(2) 试求图中梯形 ABCD 的面积。你有哪些方法？
(1) 求梯形 ABCD 的周长。
可把梯形 ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.
S1
S2
S3
S梯形ABCD = S1 + S2 + S3
方法 1：分割法
探究点二： 二次根式的应用
通过补图，可把梯形ABCD 变成一个大梯形，如图所示.
S1
S2
S梯形ABCD = S梯形ABEF－S1－S2
E
F
方法2：补图法
探究点二： 二次根式的应用
过点 D 作 AB 边的高 DE，如图所示.
S梯形ABCD
E
探究点二： 二次根式的应用
方法3：直接法
归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．
例2 教师节就要到了，小欣同学准备做两张大小不同
的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为
288 cm ，另一张面积为 338 cm ，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有 1.5m 的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用1.414).
解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方
形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5 m 比较即可得出结论.
解：贺卡的周长为
【方法总结】本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式.
小欣的彩带够用.
。
二次根式混合运算
二次根式混合运算
二次根式实际应用
解决实际问题
常见化简求值
(a + b)(a－b) = a2－b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a－b)2 = a2－2ab + b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
1. 化简 × ＋ 的结果是(　D　)
A. 5 B. 6
C. D. 5
D
2. 下列运算正确的是(　C　)
A. 3＋ ＝3
B. ÷ ＝3
C. × ＝3
D. (＋1)2＝6
C
3. 填空：
(1) × －(－1)0＝ ；
(2) × － ＝ 　－ 　.
4. 若某长方形的长为(＋ )cm，宽为 cm，
则此长方形的面积为 cm2.
1　
－ 　
9　
5. 计算：
(1) (＋5 )× ； (2) ；
解：原式＝2－ .
解：(1) 原式＝6＋10 .
(2) 原式＝2－ .
(3)(4＋ )(4－ )＋ ；－1.
(3) 原式＝ .
(4) 原式＝ －1.
(4)(3 －2 )× ＋(－ )2.
6. 当 x＝ －1 时，求代数式 x2＋5x－6 的值.
解：当x＝ －1时，
x2＋5x－6＝(－1)2＋5(－1)－6
＝5＋1－2 ＋5 －5－6
＝3 －5.第2章 实数
2.3 二次根式
第3课时 二次根式的混合运算
【素养目标】
1. 会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算,提高运算能力,激发学生的学习兴趣,发展创新意识； (重点)
2. 通过正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算,发展学生分析问题、解决实际问题的能力。 (难点)
【情境导入】
问题1: 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么
问题2: 多项式与单项式的除法法则是什么
思考: 若把字母 都用二次根式代替(每个同学任选一组),然后对比归纳,你们发现了什么
【合作探究】
探究点一: 二次根式的混合运算
【合作探究】(1) 请你计算:
(2)小明是这样计算 的:
思考: 分子、分母同乘 的目的是什么
将分母转化为有理数的过程我们一般叫作分母有理化, 部分式子可以借助平方差公式和完全平方公式来进行。
( 3 )计算 你有哪些方法？
想一想:这两种计算方法有何不同
例1 计算:
;
(3) . (4) .
提醒:如果算式当中有个别二次根式化为最简二次根式后,仍不能与其他最简二次根式合并,那么结果可直接保留,不必再化简。
探究点二: 二次根式的应用
问题: 化简 ,其中 . 你是怎么做的
【变式训练】已知 ,求 。
【思考·交流】如图,小正方形的边长为 1。
( 1 )求梯形 的周长。
( 2 ) 试求图中梯形 的面积。你有哪些方法？
方法 1: 分割法
方法2:补图法
方法3:直接法
例2 教师节就要到了,小欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺,其中一张面积为 ,另一张面积为 ,如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮,她现在有 的彩带,请你帮忙算一算她的彩带够不够用 .
当堂反馈
1. 化简 的结果是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 填空:
(1) _______. (2) ________.
4. 若某长方形的长为 ,宽为 , 则此长方形的面积为 .
当堂反馈
5. 计算:
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
6. 当 时,求代数式 的值.
参考答案
复习导入
问题1:
问题2:
思考: 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样,体现在:运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用。
探究点一: 二次根式的混合运算
【合作探究】
(1)
(2)思考: 目的是将分母转化为有理数, 方便合并同类项.
(3)①
②
例1 解: (1) 原式 .
(2) 原式
(3) 解法一:
解法二: 原式
(4) 原式
探究点二: 二次根式的应用
问题: 解法一: 哪种更简便
把
代入式子中,原式=
解法二:
先代入后化简
原式 .
把 代入式中,原式 .
【变式训练】解: ,
【思考·交流】 ( 1 )
( 2 )方法 1: 分割法
可把梯形 分割成两个三角形和一个梯形, 如图所示.
方法2:补图法
通过补图,可把梯形 变成一个大梯形,
方法3:直接法,过点 作 边的高
例2 解: 贺卡的周长为: 。 因为 , 所以小欣的彩带够用.
当堂反馈
1. D 2. C 3. (1) 1 (2) . 4. .
5. 解: (1) 原式 . (2) 原式 .
(3) 原式 . (4) 原式 .
6. 解: 当 时,
.2.3　二次根式
第3课时　二次根式的混合运算
1.会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力，激发学生的学习兴趣，发展创新意识.
2.通过正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，发展学生分析问题、解决实际问题的能力.
重点：会熟练地进行二次根式的加减乘除混合运算，进一步提高运算能力.
难点：正确地运用二次根式加减乘除法则及运算律进行运算，并把结果化简.
知识链接
生活中有许多梯形，比如足球球门的侧面.如果一个梯形的上、下底边长分别为2，4，高为，那么它的面积是多少？壮壮是这样算的：
梯形的面积：×（2＋4）×＝（＋2）×＝×＋2×＝＋2＝2＋6.
他的做法正确吗？
答：正确.
创设情境——见配套课件
探究点一：二次根式的混合运算
1.对比（a＋b）c＝　ac＋bc　，想想（＋2）×＝×＋2×成立的依据是什么？
答：分配律.
2.类似地，参考（a＋b）÷c＝　a÷c＋b÷c　，（a＋b）（m＋n）＝am＋bm＋an＋bn，
计算：
（1）（＋）×；（2）（4－3）÷2；
（3）（＋3）（－5）.
解：（1）原式＝×＋×＝＋＝4＋3.
（2）原式＝4÷2－3÷2＝2－.
（3）原式＝（）2＋（3－5）－15＝2－2－15＝－13－2.
练习1.计算：（1）×（＋）；（2）（＋）÷；（3）（＋3）（＋2）.
解：（1）原式＝＋.
（2）原式＝＋＝4＋2.
（3）原式＝（）2＋（3＋2）＋6＝5＋5＋6＝11＋5.
探究点二：二次根式的应用
阅读教材P46思考·交流部分，解答问题.
如图，小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的周长和面积，你有哪些方法？分小组讨论.
解：如图，由勾股定理得CD＝，BC＝＝2，AB＝＝5.所以梯形ABCD的周长＝AD＋CD＋BC＋AB＝6＋＋2＋5＝6＋6＋2.S梯形ABCD＝S长方形AEFG－S△ECD－S△BCF－S△AGB＝5×7－×1×1－×2×4－×5×5＝35－－4－＝18.
（其他更多解题方法，见配套PPT）
阅读并完成教材P45例6，课件出示，学生独立思考，老师总结.
教师节就要到了，小欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288cm2，另一张面积为338cm2，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5m的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用（≈1.414）.
解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5m比较即可得出结论.
解：贺卡的周长为4×（＋）＝4×（12＋13）＝4×25＝100≈141.4（cm）.
因为1.5m＝150cm，150＞141.4，所以小欣的彩带够用.
方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式.
1.化简×＋的结果是（　D　）
A.5 B.6 C. D.5
2.若某长方形的长为（＋）cm，宽为cm，则此长方形的面积为　9　cm2.
3.计算：
（1）（＋5）×； （2）.
解：原式＝6＋10. 解：原式＝2－.
4.当x＝－1时，求代数式x2＋5x－6的值.
解：当x＝－1时，x2＋5x－6＝（－1）2＋5（－1）－6＝5＋1－2＋5－5－6＝3－5.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
二次根式的混合运算最简形式
第3课时　二次根式的混合运算
　　经历本节课的学习，进一步理解二次根式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号内含有字母的二次根式的化简，利用二次根式的化简解决简单的数学问题.学生通过独立思考，能选择合理的方法解决问题；在运算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方法.

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