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4.2 认识一次函数
第 2 课时 一次函数和正比例函数的概念
1.通过实际问题探索一次函数与正比例函数的概念，感受函数在实际生活中的应用，发展抽象思维能力、数学建模思想。(重点)
2.能够概括一次函数与正比例函数的关系，培养总结概括能力，感悟从特殊到一般的思想。(难点)
3.能根据问题信息写出一次函数的解析式，并利用一次函数解决实际问题，培养运算能力和应用能力。
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
情景一
（1）随着所挂物体质量 х 的增加，弹簧长度 у 的增长是“均匀”的吗
（2）写出 y 与 х 之间的关系式，并说明理由。
y = 3 + 0.5x
在弹性限度内，某弹簧的长度 y (单位：cm)与所挂物体的质量 x (单位：kg) 的关系如下表所示：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
是的
某辆汽车油箱中原有汽油 40 L，汽车每行驶 50 km 耗油 4 L。
汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量 y/L
0
4
8
12
16
20
情景二
（1）完成下表：
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
(2) 你能写出耗油量 y (L) 与汽车行驶路程 x (km) 之间
的关系式吗？
(3) 你能写出油箱剩余油量 z (L) 与汽车行驶路程 x (km)之间的关系式吗？
或 y＝0.8x
或 z＝40－0.8x
汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300
耗油量 y/L
0
4
8
12
16
20
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
上面问题中，表示变量之间关系的函数解析式有什么共同的特点？
（1）y ＝ 0.5x ＋ 3
（2）y ＝ 0.8x
（3）y ＝ -0.8x ＋40
y
＝
kx
＋
b
这些函数都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式.
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b
(k，b为常数，k≠0) 的形式，则称 y 是 x 的一次函数。
特别地，当 b = 0 时，称 y 是 x 的正比例函数.
函数是一次函数
函数是正比例函数
关系式为：y = kx
( k 为常数，k≠0)
关系式为：y = kx + b
(k为常数，k≠0)
一次函数与正比例函数
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
1. 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx；
(6) y＝8x2＋x(1－8x).
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
1. 判定一个函数是一次函数的条件：
一次函数
正比例函数
正比例函数是一种特殊的一次函数。
【归纳总结】
① k 是常数，k ≠ 0；
② x 的次数是 1.
① k 是常数，k ≠ 0；
② x 的次数是 1.
③ b = 0.
2. 判定一个函数是正比例函数的条件：
对一次函数而言，自变量每增加 1，函数值就增加 k，函数值的变化是“均匀”的。
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
例1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？
(1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km)与行驶时间 x (h) 之间的关系；
解：由路程 = 速度×时间，得 y = 60x，
y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得 y = πx2，
y 不是 x 的一次函数，也不是 x 的正比例函数.
(2) 圆的面积 y (cm2) 与它的半径 x (cm) 之间的关系.
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水，
因而 y = 15 + 5x.
y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数.
(3) 某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3.
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
【针对训练】 已知函数
(1) 若它是一次函数，求 m 的值；
解：∵ 是一次函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0。
∴ m＝±5 且 m≠5。
∴ m＝－5。
∴ 当 m＝－5 时，函数
是一次函数。
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
解：∵ 是正比例函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0。
∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1。
这样的 m 不存在。
∴ 不可能是正比例函数。
【针对训练】 已知函数
(2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值。
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
例2 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过 1 s 其速度减少 35 km/h.
（1）假设该汽车以 120 km/h 的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度 y（单位：km/h）与刹车后所经过的时间 t（单位：s）之间的关系式 y = kt + b，并说明 k 和 b 的实际意义；
解：（1）刹车开始时汽车的速度为 120 km/h，每过 1 s 汽车的速度减少 35 km/h，于是经过 t s 汽车的速度减少了 35t km/h，所以 y 与 t 的关系式是 y = -35t + 120.
其中，k = -35 表示每秒汽车速度的变化量，
b = 120 表示刹车开始时汽车的速度.
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间.
(2) 汽车停止时速度 y = 0，
解方程 0 = -35t + 120，得 t = ≈3.43.
因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为 3.43 s.
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
【思考交流】（1）例1中，两个一次函数的一次项系数 k 和常数项 b 分别是多少，它们的实际意义是什么？
（1）y = 60x
k = 60，实际意义是汽车速度(每小时行驶 60 km )；
b = 0，表示行驶 0 小时时，路程为 0 km 。
y = 15 + 5x
k = 5，实际意义是进水管进水速度(每小时进水 5m3 )；
b = 15，表示打开进水管前，水池原有水 15 m3 。
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
（2）一般地，k，b 对一次函数 y = kx + b 有怎样的影响？与同伴进行交流。
k 实际中对应 “单位变化量”（如速度、速率 ）。
b 实际中对应 “初始值”（如原有水量、起始路程 ），决定函数起始状态。
探究点一： 一次函数与正比例函数的概念
探究：某单位需租一辆 45 座大客车，咨询了甲、乙两家出租车公司. 甲公司的计费标准：直接按里程计费，每千米 15 元. 乙公司的计费标准：除了每千米 10 元的里程费外，另有服务费 200 元 (不足 1 km 按 1 km 计算).
（1）假设该单位用车里程为 30 km，你建议租用哪家公司的客车？
探究点二： 列一次函数关系式
解：设用车里程为 x 千米，甲公司费用为 y甲 元，乙公司费用为 y乙 元，
由题意得 y甲 = 15x ， y乙 = 10x + 200，
(1) 当 x = 30 时，y甲 = 15×30 = 450 .
y乙 = 10×30 + 200 = 500 .
因为 450 ＜500，所以建议租用甲公司的客车.
(2)假设该单位用车里程为 52 km，你建议租用哪家公司的客车
(3)用车里程为多少千米时，两家出租车公司的收费相同
(3) 当 y甲 = y乙 时，则 15x =10x + 200， 解得 x = 40。
所以用车里程为 40 千米时，两家出租车公司的收费相同.
y甲 = 15x ， y乙 = 10x + 200
(2) 当 x = 52 时，y甲 = 15×52 = 780。
y乙 = 10×52 + 200 = 720。
因为 780 ＞720，所以建议租用乙公司的客车。
探究点二： 列一次函数关系式
例3 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费. 下表是家庭人口不超过 4 人时户年用水量及分档计费标准：
计费档 户年用水量x/m3 单价/ (元/m3)
第一档 0＜x≤220 3.45
第二档 220＜x≤300 4.83
第三档 x＞300 5.83
（1）当 220＜x≤300 时，写出水费 y（单位：元）与 x 之间的关系式；
探究点二： 列一次函数关系式
(1) 当 220＜x＜300 时，写出水费 y（单位：元）
与 x 之间的关系式；
计费档 户年用水量x/m3 单价/ (元/m3)
第一档 0＜x≤220 3.45
第二档 220＜x≤300 4.83
第三档 x＞300 5.83
解：(1) 当 220＜x＜300 时，用水量属于第二档。
于是 y = 3.45×220 + 4.83(x - 220)，即 y = 4.83x - 303.6。
(2) 某户一年用水量是 250 m ，求该户这一年的水费；
(2) 当 x = 250 时，y = 4.83×250 - 303.6 = 903.9 (元)。
探究点二： 列一次函数关系式
计费档 户年用水量x/m3 单价/ (元/m3)
第一档 0＜x≤220 3.45
第二档 220＜x≤300 4.83
第三档 x＞300 5.83
(3) 某户去年一年的水费是 1000.5 元，求该户去年一年的用水量.
(3) 因为 3.45×220 = 759，
4.83×300 - 303.6 = 1145.4，759<1000.5<1145.4，
所以该户年用水量属于第二档。
设该户年用水量为 x m3，则 1 000.5 = 4.83x - 303.6。
解这个方程，得 x = 270。
因此，该户去年一年的用水量为 270 m3。
探究点二： 列一次函数关系式
计费档 户年用水量x/m3 单价/ (元/m3)
第一档 0＜x≤220 3.45
第二档 220＜x≤300 4.83
第三档 x＞300 5.83
【尝试思考】(1)在例3 中，当 x＞300 时，你能写出水费 y（单位：元）与用水量 x 之间的关系式吗
y = 3.45×220 + 80×4.83+5.83(x－300) = 5.83x－603.6
（2）像例3 这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么？生活中还有哪些情况用到类似的计费方法？
探究点二： 列一次函数关系式
一次函数
一次函数的概念
函数的关系式的确定
正比例函数的概念
1. 下列函数中，是正比例函数的是(　A　)
A. y＝－8x
C. y＝5x2＋6 D. y＝－0.5x－1
2. 某水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以
20m3/h的速度向水池注水，直到注满为止，则蓄水
量V(m3)与注水时间t(h)之间的函数关系式
为 ，该水池注满水需 h。
A
V＝10＋20t　
4　
3. 如图，△ABC的边BC长为10cm，BC边上的高
为6cm，D点在BC边上运动。设BD长为xcm，则
△ACD的面积y(cm2)与x(cm)之间的函数关系式
为 ，此函数是 函数(填“正
比例”或“一次”)。
y＝30－3x　
一次　
4. 已知函数y＝(m－1)x＋1－3m.
(1)当m为何值时，y是x的一次函数？
解：(1)由题意得m－1≠0，
∴m≠1.
(2)当m为何值时，y是x的正比例函数？
解：(2)由题意得m－1≠0且1－3m＝0，
∴m＝ .
解：(1)由题意得m－1≠0，
∴m≠1。
解：(2)由题意得m－1≠0且1－3m＝0，
∴m＝ 。第4章 一次函数
4.2 认识一次函数
第2课时 一次函数和正比例函数的概念
【素养目标】
1. 通过实际问题探索一次函数与正比例函数的概念, 感受函数在实际生活中的应用, 发展抽象思维能力、数学建模思想。(重点)
2. 能够概括一次函数与正比例函数的关系,培养总结概括能力,感悟从特殊到一般的思想。(难点)
3. 能根据问题信息写出一次函数的解析式,并利用一次函数解决实际问题,培养运算能力和应用能力。
【合作探究】
探究点一、一次函数与正比例函数的概念
情景一：在弹性限度内,某弹簧的长度(单位:cm)与所挂物体的质量(单位: ) 的关系如下表所示:
0 1 2 3 4 5
3 3.5 4 4.5 5 5.5
(1) 随着所挂物体质量 的增加,弹簧长度 的增长是“均匀”的吗
(2) 写出 与 之间的关系式,并说明理由。
情景二：某辆汽车油箱中原有汽油 ,汽车每行驶 耗油 4 L。
(1)完成下表:
汽车行驶路程 0 50 100 150 200 300
耗油量 0 4 8 12 16 20
(2) 你能写出耗油量 与汽车行驶路程 之间的关系式吗
(3) 你能写出油箱剩余油量 与汽车行驶路程 之间的关系式吗
上面问题中,表示变量之间关系的函数解析式有什么共同的特点
知识要点：一次函数与正比例函数
若两个变量 间的对应关系可以表示成 的形式,则称 是 的一次函数。
函数是一次函数关系式为:
特别地,当 时,称 是 的正比例函数.
函数是正比例函数 关系式为:
【练一练】1.下列关系式中,哪些是一次函数,哪些是正比例函数
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) .
例1 写出下列各题中 与 之间的关系式,并判断: 是否为 的一次函数 是否为正比例函数
(1) 汽车以 的速度匀速行驶,行驶路程 与行驶时间 之间的关系;
(2) 圆的面积 与它的半径 之间的关系.
(3) 某水池有水 ,现打开进水管进水,进水速度为 后这个水池有水 .
【针对训练】已知函数 .
(1) 若它是一次函数,求 的值;
(2) 它可能是正比例函数吗？若能,求出 的值。
例2 在一次测试中,某汽车紧急刹车后,每过 其速度减少 35 km/h.
(1) 假设该汽车以 120 km/h 的速度行驶,试写出该汽车刹车后的速度 (单位:km/h) 与刹车后所经过的时间 (单位: )之间的关系式 ,并说明 和 的实际意义;
(2) 求出(1)中汽车从刹车到停止所需的时间.
【思考交流】
(1) 例1中,两个一次函数的一次项系数 和常数项 分别是多少,它们的实际意义是什么
(2) 一般地, 对一次函数 有怎样的影响 与同伴进行交流。
探究点二: 列一次函数关系式
探究:某单位需租一辆 45 座大客车,咨询了甲、乙两家出租车公司. 甲公司的计费标准:直接按里程计费,每千米 15 元. 乙公司的计费标准:除了每千米 10 元的里程费外,另有服务费 200 元 (不足 按 计算).
(1) 假设该单位用车里程为 ,你建议租用哪家公司的客车
(2) 假设该单位用车里程为 ,你建议租用哪家公司的客车
(3) 用车里程为多少千米时,两家出租车公司的收费相同？
例3 为了鼓励市民节约用水,某市采用分档计费的方式计算水费. 下表是家庭人口不超过 4 人时户年用水量及分档计费标准:
计费档 户年用水量 单价/(元/ )
第一档 3.45
第二档 4.83
第三档 5.83
(1) 当 时,写出水费 (单位:元) 与 之间的关系式;
(2) 某户一年用水量是 ,求该户这一年的水费；
(3) 某户去年一年的水费是 1000.5元,求该户去年一年的用水量.
【尝试思考】
(1) 在例3中,当 时,你能写出水费 (单位:元)与用水量 之间的关系式吗？
(2) 像例3这样计费有什么意义？设计计费规则时要注意什么 生活中还有哪些情况用到类似的计费方法
当堂反馈
1. 下列函数中,是正比例函数的是 ( )
A. B. C. D.
2. 某水池的容积是 ,现蓄水 ,用水管以 的速度向水池注水,直到注满为止,则蓄水量 与注水时间 之间的函数关系式
为______________,该水池注满水需_________ h.
3. 如图, 的边 长为 , 边上的高为 点在 边上运动。设 长为 ,则 的面积 与 之间的函数关系式为 ,此函数是_____ 函数(填 “正比例”或“一次”)。
4. 已知函数 .
(1) 当为何值时, 是 的一次函数
(2) 当为何值时, 是 的正比例函数
参考答案
探究点一、一次函数与正比例函数的概念
情景一 (1) 是的 (2)
情景二 (1) 完成下表:
汽车行驶路程 0 50 100 150 200 300
耗油量 0 4 8 12 16 20
(2) 或 (3) 或
共同的特点:这些函数都是常数 与自变量的积与常数 的和的形式.
练一练1. 解:(1)是一次函数,不是正比例函数(2)不是一次函数,也不是正比例函数；
(3) 是一次函数,也是正比例函数；(4) 是一次函数,也是正比例函数；
(5) 不是一次函数,也不是正比例函数；(6) 是一次函数, 也是正比例函数.
例1 (1) 解: 由路程 速度 时间,得 , 是 的一次函数,也是 的正比例函数.
(2) 解: 由圆的面积公式,得 , 不是 的一次函数,也不是 的正比例函数.
(3) 解:这个水池每小时增加 水, 增加 水, 因而 .
是 的一次函数,但不是 的正比例函数.
【针对训练】(1) 解: 是一次函数,
且 。 且 。 。
当 时,函数 是一次函数。
(2) 是正比例函数,
且 且 。
且 且 。这样的 不存在。
不可能是正比例函数。
例2 解:(1)刹车开始时汽车的速度为 ,每过 汽车的速度减少 ,于是经过 汽车的速度减少了 35t km/h,所以 与 的关系式是 . 其中, 表示每秒汽车速度的变化量, 表示刹车开始时汽车的速度.
(2) 汽车停止时速度 得 .
因此,该汽车从刹车到停止所需的时间大约为 3.43s.
【思考交流】 (1) ,实际意义是汽车速度(每小时行驶 )； ,表示行驶 0 小时时,路程为 。 ,实际意义是
进水管进水速度(每小时进水 ); ,表示打开进水管前,水池原有水 。
(2) 实际中对应 “单位变化量”(如速度、速率)。 实际中对应 “初始值”(如原有水量、起始路程),决定函数起始状态。
探究点二、列一次函数关系式
探究 解：设用车里程为 x 千米，甲公司费用为 y甲 元，乙公司费用为 y乙 元，
由题意得 y甲 = 15 x ， y乙 = 10 x + 200，
(1) 当 x = 30时，y甲 = 15×30 = 450（元） . y乙 = 10×30 + 200 = 500（元） .
因为 450＜500，所以建议租用甲公司的客车.
(2) 当时, （元）. （元）.
因为 ,所以建议租用乙公司的客车。
(3) 当 时,则 ,解得 。所以用车里程为 40 千米时,两家出租车公司的收费相同.
例3 解:(1) 当 时,用水量属于第二档。
于是 ,即 。
(2) 当 时, (元)。
(3) 因为 , , 所以该户年用水量属于第二档。设该户年用水量为 ,则 1000.5 = 4.83。解这个方程,得 。因此,该户去年一年的用水量为 。
【尝试思考】
(1)
(2) 开放式题目，言之有理即可
当堂反馈
1. A 2. ，4. 3. 一次
4. 解: (1)由题意得 , 。
(2)由题意得 且 , 。4.2　第2课时 一次函数与正比例函数
1.通过实际问题探索一次函数与正比例函数的概念，感受函数在实际生活中的应用，发展学生的抽象思维能力、数学建模思想.
2.能够概括一次函数与正比例函数的关系，培养总结概括能力，感悟从特殊到一般的思想.
3.能根据问题信息写出一次函数的解析式，并利用一次函数解决实际问题，培养运算能力和应用能力.
重点：一次函数、正比例函数的定义及解析式的特点.
难点：一次函数与正比例函数的关系.
知识链接
1.什么是函数？
2.函数有哪些表示方法？
创设情境——见配套课件
　　生活中，我们常常见到各式各样的钟表.时钟的秒针每旋转一圈，表示时间过了1min；旋转两圈，表示时间过了2min……
那么，秒针走过的圈数与经过的时间之间的关系如何表示呢？
探究点一：一次函数与正比例函数的概念
某辆汽车油箱中原有汽油100L，汽车每行驶50km耗油9L.
（1）完成下表：
汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300
油箱剩余油量y/L 100 91 82 73 64 55
（2）写出x与y之间的关系.　y＝100－x.
思考：上述问题中得到的关系式有什么共同特点？写出一个具有这种特点的式子.
总结：若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）.特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数.
下列y关于x的函数关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（1）y＝－x－4；　　　　（2）y＝5x2－6；　　　　（3）y＝2πx；
（4）y＝－； （5）y＝； （6）y＝8x2＋x（1－8x）.
解：（1）是一次函数，不是正比例函数.（2）不是一次函数，也不是正比例函数.（3）是一次函数，也是正比例函数.（4）是一次函数，也是正比例函数.（5）不是一次函数，也不是正比例函数.（6）是一次函数，也是正比例函数.
【针对训练】
已知函数y＝（m－5）＋m＋1（m为常数）.
（1）若它是一次函数，求m的值；
（2）若它是正比例函数，求m的值.
解：（1）因为y＝（m－5）＋m＋1是一次函数，所以m2－24＝1且m－5≠0.所以m＝±5且m≠5.所以m＝－5.所以若该函数为一次函数，则m的值为－5.
（2）因为y＝（m－5）＋m＋1是正比例函数，所以m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.所以m＝±5且m≠5且m＝－1.则这样的m不存在，所以函数y＝（m－5）＋m＋1不可能为正比例函数.
探究点二：列一次函数关系式
　　某工人生产一种零件，完成定额20个，每天收入28元，如果超额生产一个零件，增加收入1.5元.写出该工人一天的收入y（元）与他生产的零件x（个）的函数关系式.　y＝1.5x－2.
总结：根据条件求一次函数的关系式时，要找准题中所给的等量关系，然后求解.
某中学要添置某种教学仪器，有两种方案可选择.方案一：到商店购买，每件需要8元；方案二：学校自己制作，每件需要4元，但另外需要制作工具的租用费120元.设需要仪器x件，方案一的费用为y1元，方案二的费用为y2元.分别求出y1，y2关于x的函数关系式.
y1＝8x，y2＝4x＋120.
【针对训练】写出下列各题中x与y之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数.
（1）小红去商店买笔记本，每个笔记本2.5元，小红所付买本款y（元）与买本的个数x（个）之间的关系；
（2）圆的面积y（cm2）与它的半径x（cm）之间的关系.
解：（1）由题意得y＝2.5x，y是x的一次函数，且是正比例函数.
（2）由题意得y＝πx2，y与x不是一次函数，也不是正比例函数.
1.下列函数中，是正比例函数的是（　A　）
A.y＝－8x B.y＝－
C.y＝5x2＋6 D.y＝－0.5x－1
2.某水池的容积是90m3，现蓄水10m3，用水管以20m3/h的速度向水池注水，直到注满为止，则蓄水量V（m3）与注水时间t（h）之间的函数关系式为　V＝10＋20t　，该水池注满水需　4　h.
3.如图，△ABC的边BC长为10cm，BC边上的高为6cm，D点在BC上运动.设BD长为xcm，则△ACD的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数关系式为　y＝30－3x　，此函数是　一次　函数（填“正比例”或“一次”）.
4.已知函数y＝（m－1）x＋1－3m.
（1）当m为何值时，y是x的一次函数？
（2）当m为何值时，y是x的正比例函数？
解：（1）由题意得m－1≠0，所以m≠1.
（2）由题意得m－1≠0且1－3m＝0，所以m＝.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
一次函数
　　　　　　
　　　　　　

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