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4.4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
1. 掌握用待定系数法求一次函数的解析式，发展运算能力和推理应用意识，培养举一反三的发散性思维。
(重点)
2.在运用一次函数解析式解决问题时，能从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件，发展数感和观察能力。(难点)
函数 解析式 图象
正比例函数 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 一条过____点的___线
一次函数 y = kx + b ( k，b 是常数，k ≠ 0) 一条___线
y
x
o
y
x
o
原
直
直
　　 前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出一个具体的一次函数解析式吗？如何画出它的图象？
两点法——两点确定一条直线
反过来，如果知道一条直线经过两个已知点，能否确定这条直线的解析式呢
y = 2x - 3
引例：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v (m/s) 与其下滑时间 t (s) 的关系如图所示．
(1) 请写出 v 与 t 的关系式；
问题：从图象中你能得到什么条件？
过原点的射线
正比例函数的表达式
v = kt
过 (2，5)
从形到数
探究点一： 确定正比例函数的表达式
(1) 请写出 v 与 t 的关系式；
(2) 下滑第 3 s 末物体的速度是多少？
解：(1) 设 v＝kt，点(2，5)在函数图象上，
当 t＝2 时，v＝5，即 2k＝5，
解得 k＝2.5；
所以 v 与 t 的关系式为 v＝2.5t。
(2) 当 t＝3 时，v＝2.5×3＝7.5 (m/s)。
探究点一： 确定正比例函数的表达式
练一练 1. 已知一个正比例函数的图象如图所示．
(1)求该函数的表达式；
(2)若点(－3，m)也在该函数图象上，求 m 的值．
解：(1)设该正比例函数的表达式为 y＝kx(k≠0).
由图象，得该正比例函数经过(1，2)，则有 k＝2。
所以该函数的表达式为 y＝2x。
(2) 因为点(－3，m)在该函数图象上，
所以 m＝2×(－3)＝－6。
探究点一： 确定正比例函数的表达式
如图，已知一次函数的图象经过 P (0，-1)，
Q (1，1) 两点。 怎样确定这个一次函数的解析式呢？
探究点二： 确定一次函数的表达式
因为一次函数的一般形式是 y = kx + b (k，b为常数，k ≠ 0)，要求出一次函数的解析式，关键是要确定 k 和 b 的值 (即待定系数).
函数解析式
y = kx + b
满足条件的两点
(x1，y1)，(x2，y2)
一次函数的图象直线 l
选取
代入解出
画出
选取
探究点二： 确定一次函数的表达式
解：∵ P (0，-1) 和 Q (1，1) 都在该函数图象上，
∴它们的坐标都满足 y = kx + b ，将这两点坐标代入该式中，得
b = -1，k + b = 1，
解这个方程组，得
k = 2，b = -1.
∴ 这个一次函数的解析式为 y = 2x - 1.
探究点二： 确定一次函数的表达式
(1) 设：设一次函数的一般形式 ；
(2) 列：把图象上的点 (x1，y1)，(x2，y2) 代入一次函数的解析式；
(3) 解：解方程得 k，b；
(4) 写：把 k，b 的值代入所涉解析式中，写出表达式.
总结
y = kx + b (k ≠ 0)
待定系数法求一次函数解析式的步骤：
探究点二： 确定一次函数的表达式
一个 (求出 k 的值)
两个 (求出 k 和 b 的值)
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？
确定一次函数的表达式呢？
函数解析式
y = kx + b
一次函数的图象直线 l
从数到形
从形到数
数学的基本思想方法：数形结合
探究点二： 确定一次函数的表达式
例1 在弹性限度内，弹簧的长度 y (cm) 是所挂物体质量 x (kg) 的一次函数，某弹簧不挂物体时长 14.5 cm，当所挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 16 cm. 写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 kg 时弹簧的长度？
解：设 y＝kx＋b，根据题意，得
14.5＝b， ① 16＝3k＋b， ②
将①代入②，得 k＝0.5 ，
所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5
当 x＝4 时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5(cm)
即物体的质量为 4 kg 时，弹簧长度为 16.5 cm.
探究点二： 确定一次函数的表达式
【尝试思考】某根蜡烛燃烧前长 30 cm；燃烧时，剩下的长度 y（单位：cm）是燃烧时间 x（单位：h）的一次函数.当这根蜡烛燃烧 2 h 时，其长度为 12 cm.
（1）写出 y 与 x 之间的关系式；
（2）这根蜡烛最多能燃烧多长时间
解：(1) 设 y＝kx＋b，根据题意，得
30＝b， ① 12＝2k＋b， ②
将①代入②，得 k＝－9，
所以y＝－9x＋30。
所以这根蜡烛最多能燃烧 h。
(2) 当 y＝0 时，即 0＝－9x＋30，解得x＝ ，
例2 若一次函数的图象经过点 A(2，0)，且与直线 y = -x + 3 平行，求其解析式.
解：设这个一次函数的解析式为 y = kx + b.
k = -1，2k + b = 0，
由题意得
k = -1，b = 2.
解得
∴ y = - x + 2.
探究点二： 确定一次函数的表达式
练一练 2．已知直线 AB 如图所示，点A的坐标为(0，1).
(1)求直线 AB 的表达式；
解：(1) 由图象，得点 A(0，1)，点 B(2，2).
设直线 AB 为 y＝kx＋b (k≠0).
由题意得 b＝1，2k＋b＝2，
解得 .
∴ 直线 AB 的表达式为
探究点二： 确定一次函数的表达式
(2) 已知 C(－4，－1)，说明点 C 是否在直线 AB 上？
∴点 C 在直线 AB 上．
解：(2) 把 x＝－4，代入 ，得
探究点二： 确定一次函数的表达式
3. 如图，一次函数的图象过点 A，且与正比例函数 y = －x 的图象交于点 B，则该一次函数的表达式为（ ）
B
A. y = －x + 2 B. y = x + 2
C. y = x－2 D. y = －x－2
探究点二： 确定一次函数的表达式
数学的基本思想方法：数形结合
一次函数解析式_________
满足条件的两定点
(x1，y1)与(x2，y2)
一次函数的图象
_____________法
代入解出
选取
待定系数
y = kx + b
1. 一个正比例函数的图象经过点(4，－2)，则它的
表达式为(　C　)
A. y＝－2x B. y＝2x
C. y＝－ x D. y＝ x
C
2. 若一次函数y＝ax－3的图象经过点A(2，3)，则
下列各点在该函数图象上的为(　B　)
A. (1，－1) B. (－1，－6)
C. (3，5) D. (－2，－12)
B
3. 若y与2x－1成正比例，当x＝3时，y＝－5，则
y与x之间的关系式为 .
y＝－2x＋1　
4. 小明根据某个一次函数表达式填写了下表.
x －1 0 2
y －3 6 ？
(1)该一次函数的表达式为 ；
(2)表中“？”表示的数为 .
y＝9x＋6　
24　
5. 如图，l1反映了某公司产品的销售收入y1(元)与销
量x(百件)之间的关系；l2反映了该公司产品的销售
成本y2(元)与销量x(百件)之间的关系.根据图象提供
的信息，直线l1对应的函数表达式为 ，直线l2对应的函数表达式
为 .
y1＝ 1000x
y2＝500x＋2000　
6. 已知一次函数的图象经过A(2，4)，B(0，2)两点，求：
(1)一次函数的表达式；
解：(1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b.
∵图象经过A(2，4)，B(0，2)两点，
∴2k＋b＝4，b＝2.解得k＝1.
∴一次函数的表达式为y＝x＋2.
解：(1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b.
∵图象经过A(2，4)，B(0，2)两点，
∴2k＋b＝4，b＝2.解得k＝1.
∴一次函数的表达式为y＝x＋2.
(2)此函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积S.
解：(2)∵一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴的
交点坐标分别为(－2，0)和(0，2)，
∴S＝ ×2×2＝2.
解：(2)∵一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴的
交点坐标分别为(－2，0)和(0，2)，
∴S＝ ×2×2＝2.第4章 一次函数
4.4 一次函数的应用
第1课时 确定一次函数的表达式
【素养目标】
1. 掌握用待定系数法求一次函数的解析式, 发展运算能力和推理应用意识,培养举一反三的发散性思维。 (重点)
2. 在运用一次函数解析式解决问题时,能从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件,发展数感和观察能力。(难点)
【复习导入】
函数 解析式 图象
正比例函数
一次函数
前面,我们学习了一次函数及其图象和性质,你能写出一个具体的一次函数解析式吗？如何画出它的图象
反过来, 如果知道一条直线经过两个已知点, 能否确定这条直线的解析式呢
【合作探究】
探究点一: 确定正比例函数的表达式
引例:某物体沿一个斜坡下滑,它的速度 与其下滑时间 的关系如图所示.
(1) 请写出 与 的关系式;
(2) 下滑第 末物体的速度是多少？
练一练 1. 已知一个正比例函数的图象如图所示.
(1) 求该函数的表达式；
(2) 若点 (-3, m) 也在该函数图象上,求 的值.
探究点二: 确定一次函数的表达式
如图,已知一次函数的图象经过 , 两点。怎样确定这个一次函数的解析式呢
因为一次函数的一般形式是 为常数, ,要求出一次函数的解析式,关键是要确定 和 的值 (即待定系数).
函数解析式y = k x + b 满足条件的两点 (x1，y1)，(x2，y2)
解: 和 都在该函数图象上,
它们的坐标都满足 ,将这两点坐标代入该式中,得
解这个方程组,得 .
这个一次函数的解析式为 .
【归纳总结】
待定系数法求一次函数解析式的步骤:
(1) 设:设一次函数的一般形式 ；
(2) 列:把图象上的点 代入一次函数的解析式;
(3) 解: 解方程得 ；
(4) 写:把 的值代入所涉解析式中,写出表达式
想一想: 确定正比例函数的表达式需要几个条件 确定一次函数的表达式呢
例1 在弹性限度内,弹簧的长度 是所挂物体质量 的一次函数,某弹簧不挂物体时长 ,当所挂物体的质量为 时,弹簧长 . 写出 与 之间的关系式,并求当所挂物体的质量为 时弹簧的长度
【尝试思考】某根蜡烛燃烧前长 ；燃烧时,剩下的长度 (单位:cm) 是燃烧时间 (单位: h )的一次函数.当这根蜡烛燃烧 时,其长度为 .
(1) 写出 与 之间的关系式；
(2) 这根蜡烛最多能燃烧多长时间？
例2 若一次函数的图象经过点 ,且与直线 平行,求其解析式.
练一练2. 已知直线 如图所示,点 的坐标为 ( 0 , 1 ).
(1) 求直线 的表达式；
(2) 已知 ,说明点 是否在直线 上
3. 如图,一次函数的图象过点 ,且与正比例函数 的图象交于点 ,则该一次函数的表达式为 ( )
A. B.
C. D.
当堂反馈
1. 一个正比例函数的图象经过点 (4, -2) ,则它的表达式为( )
A. B.
C. D.
2. 若一次函数 的图象经过点 ,则下列各点在该函数图象上的为 ( )
A.( 1, -1) B.(-1, -6) C.( 3,5 ) D.(-2, -12)
3. 若 与 成正比例,当 时, ,则 与 之间的关系式为_________________.
4. 小明根据某个一次函数表达式填写了下表.
-1 0 2
-3 6
(1) 该一次函数的表达式为 ____________ ；
(2) 表中“ ”表示的数为 ____________ .
5. 如图, 反映了某公司产品的销售收入 (元)与销量 (百件)之间的关系； 反映了该公司产品的销售成本 (元)与销量 (百件)之间的关系. 根据图象提供的信息,直线 对应的函数表达式为 ____________ , 直线 对应的函数表达式为 ____________ .
6. 已知一次函数的图象经过 两点, 求:
(1) 一次函数的表达式；
(2) 此函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积 .
参考答案
复习导入 例： 两点法——两点确定一条直线
探究点一: 确定正比例函数的表达式
引例:解:(1) 设 ,点(2,5)在函数图象上, 当 时, ,即 ,
解得 ；所以 与 的关系式为 。
(2) 当 时, 。
练一练 1. 解:(1)设该正比例函数的表达式为 . 由图象,得该正比例函数经过 ( 1,2 ), 则有 。所以该函数的表达式为 。
(2) 因为点(-3, m)在该函数图象上,所以 。
探究点二: 确定一次函数的表达式
想一想: 确定一次函数的表达式需要一个条件. (求出 的值)
确定一次函数的表达式需要两个条件. (求出 和 的值)
例1 解: 设 ,根据题意,得
将 ① 代入 ② ,得 ,所以在弹性限度内,
当 时,
即物体的质量为 时,弹簧长度为 .
【尝试思考】解:(1) 设 ,根据题意,得30=b, ① 12=2k+b, ②
将 ① 代入 ② ,得 ,所以 。
(2) 当 时,即 ,解得 ,
所以这根蜡烛最多能燃烧 。
例2 解: 设这个一次函数的解析式为 .
由题意得 ,解得 .
练一练 2. 解:(1) 由图象,得点 ,点 .设直线 为
.由题意得 ,解得 .
直线 的表达式为 .
(2) 把 ,代入 ,得 点 在直线 上.
3. B.
当堂反馈
1. C. 2. B. 3. . 4. (1) ； (2) 24 .
5. , .
6. 解: (1) 设一次函数的表达式为 . 图象经过 两点, . 解得 . 一次函数的表达式为 .
(2) 一次函数 的图象与 轴、 轴的交点坐标分别为(-2,0)和(0,2), .4.4　一次函数的应用
第1课时　确定一次函数的表达式
1.掌握用待定系数法求一次函数的解析式，发展运算能力和推理应用意识，培养举一反三的发散性思维.
2.在运用一次函数解析式解决问题时，能从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件，发展数感和观察能力.
重点：会确定一次函数、正比例函数的表达式.
难点：从题目中获取待定系数法所需要的两个点的条件.
知识链接
1.什么是一次函数？
2.一次函数的图象是什么？
3.一次函数具有什么性质？
创设情境——见配套课件
某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务.播种亩数与天数之间的函数关系如图所示.你能通过图象提供的信息求出S（单位：亩）与t（单位：天）之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少吗？学习了本节的内容，你就知道了.
探究点：确定一次函数的表达式
1.（教材P95）某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t（s）的关系如图所示.
（1）写出v与t之间的关系式.　v＝2.5t
（2）下滑3s时物体的速度是多少？　7.5m/s
思考：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？
总结：确定正比例函数y＝kx（k≠0）只需要一个关于k的条件，确定一次函数y＝kx＋b（k≠0）需要两个独立的关于k，b的条件.
如图，一次函数的图象过点A，且与正比例函数y＝－x的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（　B　）
A.y＝－x＋2 B.y＝x＋2
C.y＝x－2 D.y＝－x－2
【针对训练】
如图，一次函数y＝kx＋b的图象过点A（－1，2），D（0，1），与x轴相交于点C.过点A作AB⊥x轴，垂足为B.
（1）求一次函数的表达式；
（2）求△ABC的面积.
解：（1）因为一次函数y＝kx＋b的图象过点A（－1，2），D（0，1），
所以b＝1，－k＋b＝2.所以k＝－1.所以一次函数的表达式是y＝－x＋1.
（2）由（1）知一次函数的解析式为y＝－x＋1，所以当y＝0时，x＝1.所以点C的坐标为（1，0）.所以OC＝1.又因为点B（－1，0），所以BC＝2.所以S△ABC＝＝＝2.
1.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则（　B　）
A.k＝－，b＝－2 B.k＝，b＝－2
C.k＝－，b＝－2 D.k＝，b＝－2
第1题图 第4题图
2.若一次函数y＝ax－3的图象经过点A（2，3），则下列坐标的点中，在该函数图象上的为（　B　）
A.（1，－1） B.（－1，－6）
C.（3，5） D.（－2，－12）
3.小明根据某个一次函数的表达式填写了下表，则空格中的数为（　D　）
x －1 0 2
y －3 6
A.16 B.8 C.12 D.24
4.（教材变式）已知一次函数的图象经过A（2，4），B（0，2）两点，求：
（1）一次函数的表达式；
（2）此函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积S.
解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx＋b.因为图象经过A（2，4），B（0，2）两点，
所以2k＋b＝4，b＝2.解得k＝1.所以一次函数的表达式为y＝x＋2.
（2）因为一次函数y＝x＋2的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为（－2，0）和（0，2），
所以S＝×2×2＝2.
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
确定一次函数表达式
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　

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