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第1章 有理数
1.3数轴
《数轴》是青岛版初中数学七年级上册第一章《有理数》的第3课时内容．本节课是在学生认识有理数的基础上，借助生活情境引入数轴概念，通过探究数轴的三要素（原点、正方向、单位长度）及其画法，建立有理数与数轴上点的对应关系，渗透数形结合思想，为后续学习相反数、绝对值及有理数运算奠定基础，是连接数与形的重要桥梁．
1．结合实例，理解数轴的概念及原点、正方向、单位长度三要素，会用规范方式画出数轴，强化对几何直观工具的认知与运用能力．
2．建立有理数和数轴上点的对应联系，能熟练用数轴上的点表示有理数，培养数形结合的数学思维．
3．渗透数形结合思想，体会数轴在数与形沟通中的桥梁价值，感受数学知识间的关联，为后续数与代数学习筑牢基础，激发对数学工具实用性的探究兴趣．
　　重点：理解数轴的概念及三要素（原点、正方向、单位长度），能正确画出数轴，并建立有理数与数轴上点的对应关系，会用数轴上的点表示有理数．
难点：将实际问题抽象为数轴模型，理解有理数与数轴上点的一一对应关系，渗透数形结合思想并体会数轴的桥梁作用．
复习回顾
　　1．有理数的概念：整数和分数统称有理数．
2．分类
根据定义分类　　　　　　　　　　　　　　　　　根据符号分类
师生活动：教师提问有理数的概念及分类，引导学生回顾并通过板书呈现两种分类方式（按定义和符号），学生参与回答，师生共同梳理知识要点．
设计意图：巩固学生对有理数的已有认知，激活旧知，为引入数轴概念搭建知识桥梁，通过分类强化数的结构化认识，为后续探究数与形的关联作铺垫．
探究新知
活动一：探究数轴
　　1．议一议：在小学阶段，我们可以用直线上依次排列的点来表示自然数．引人负数后能否用类似的方式表示有理数呢？
　　某数学活动小组参加绘制地铁线路图的活动，任务是绘制我国首条地铁线路——北京地铁1号线的线路图．他们发现该地铁线呈东西走向，并测得王府井站和建国门站分别位于天安门西站东侧1.8km和3.8km处，西单站位于天安门西站西侧1.2km处．你能画图表示它们的位置吗？
　　如图，画一条直线表示北京地铁1号线，从左到右表示从西到东的方向．在直线上取一点O表示天安门西站的位置，规定1个单位长度(线段OA的长)代表1km的长度．在点O的右侧，与点的距离为1.8个单位长度和3.8个单位长度的点B和点C，分别表示王府井站和建国门站的位置；在点O的左侧，与点O的距离为1.2个单位长度的点D表示西单站的位置．
2．如何用数表示西单站、王府井站、建国门站和天安门西站的相对位置？
　　如图，天安门西站的位置用0表示，规定向东为正，那么西单站的位置可以用-1.2表示，王府井站的位置可以用1.8表示，建国门站的位置可以用3.8表示．
　
　　“东”与“西”、“左”与“右”具有相反意义.我们可以用正数、负数和零分别表示各地铁站的相对位置．
师生活动：教师提出问题引导学生思考负数能否用直线上的点表示，结合北京地铁1号线案例，师生共同分析站点位置，通过画图确定原点、正方向和单位长度，用数表示各站点位置，学生观察并参与讨论．
设计意图：借助生活实例（地铁线路图）直观引入数轴概念，让学生感受“数”与“形”的初步关联，从实际问题中抽象出数轴的三要素，降低理解难度，激发探究兴趣．
活动二：数轴的概念及画法
1．用直线上的点可以表示正数、0和负数，具体做法如下：
①画一条直线(一般把它画成水平的)，在这条直线上任意取一点表示数0，这个点叫作原点；
②规定自原点开始一侧的方向为正方向(习惯上取向右的方向为正方向)，那么另一侧的方向就是负方向；
③选取适当的长度作为单位长度．
2．按照取定的单位长度，在直线上从原点向正方向，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向负方向，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…．
3．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴(number axis)．
建立了数轴，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示出来．
师生活动：教师引导学生归纳直线表示数的方法，分步讲解数轴三要素（原点、正方向、单位长度）的定义与画法，通过图示演示有理数在数轴上的表示方式，学生观察操作并理解数轴特征．
设计意图：通过分步教学明确数轴的构建过程，强化三要素的规范性，借助直观图示帮助学生建立“数→点”的对应思维，抽象出数轴概念，为有理数与数轴点的对应关系奠定基础．
活动三：数轴的应用
　　在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东侧3m 和7.5m 处分别有一棵柳树和一根交通标志杆，汽车站牌西侧3m 和4.8m 处分别有一棵槐树一根电线杆，试画数轴表示．
①马路可以用什么几何图形代表？ 直线
②你认为站牌起什么作用？ 原点
③如何确定问题中各物体的位置的？方向，与站牌的距离
我们用0表示点O，规定1个单位长度(线段OA的长)代表1m长，用负数表示点O左边的点，用正数表示点O右边的点，这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点．
0代表什么？ 原点
数的符号的实际意义是什么？ 方向
师生活动：教师以东西向马路为例，提问马路、站牌的几何意义及物体位置确定方法，引导学生将实际场景抽象为数轴模型（确定原点、正方向、单位长度），学生分析讨论并尝试用数表示各物体位置．
设计意图：通过生活化情境（马路物体位置）深化数轴应用，让学生经历从实际问题到数学模型的抽象过程，强化数轴三要素的实际意义，提升“用数轴表示有理数”的应用能力和数形结合意识．
应用新知
例1．画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
分析：明确数轴三要素（原点、正方向、单位长度），然后根据给定数字的正负和大小，在数轴相应位置准确标注．
解：如图所示：
总结：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线．
例2．如图，写出数轴上的点A，B，C，D，E表示的有理数：
分析：根据数轴的定义，数轴上的点与有理数一一对应，通过观察点在数轴上的位置，确定其对应的有理数.
解：A点表示的有理数为0，B点表示的有理数为2，C点表示的有理数为3.5，D点表示的有理数为-2，E点表示的有理数为-3.5．
例3．点A在数轴上距原点4个单位长度，且位于原点左侧.若一个点从点A向右移动5个单位长度，再向左移动3个单位长度到达点B，写出点B所表示的数．
分析：在数轴上，向左移动为减，向右移动为加.我们先确定点A表示的数，再根据移动规则求出点B表示的数．
解：点A在数轴上距原点4个单位长度，且位于原点左侧，则点A表示的数为-4，将A点向右移动5个单位长度，移动后点A所表示的数是1，又向左移动3个单位长度，此时B点表示的数是-2．
总结：把握点与原点的关系以及移动的方向和距离是解题的关键．
师生活动：教师讲解例题，分析数轴三要素应用及点的移动规律，引导学生观察数轴上点与数的对应关系，学生跟随思考、参与解题过程，通过例题练习巩固数轴画法及有理数表示方法．
设计意图：通过典型例题强化数轴三要素的实际运用，让学生掌握用数轴表示有理数的方法，理解点的移动与数的变化关系，加深对数形结合思想的理解，提升解决具体问题的能力．
课堂练习
1．写出下图中数轴上的点A，B，C，D，E表示的有理数：
分析：依据数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），精准判断各点所对应的有理数．
解：A点表示的有理数为-5，B点表示的有理数为-2，C点表示的有理数为0，D点表示的有理数为3，E点表示的有理数为5．
总结：位于原点左侧的点对应负数，位于原点右侧的点对应正数．
2．画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
解：如图所示：
限时训练
1．下列说法中正确的是( D )
A．在数轴上的点表示的数只能是整数
B．数轴的长度是有限的
C．数轴的正方向是原点往左的方向
D． 数轴上的正数在原点的右侧，而不是左侧
2．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，这个点最终所对应的数是（ C ）
A．+6 B．-3 C．+3 D．-9
3．画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
解：如图所示：
注意：三要素：原点、正方向和单位长度．
4．如图，写出数轴上点A，B，C，D，E 表示的数：
解：由图可知，点A表示-5，点B表示-3.5，点C表示1.5，点D表示4，点E表示0．
师生活动：教师组织学生完成数轴相关的判断、计算、读数及画图练习（如选择题、点的移动、写出点表示的数、画数轴表示数），学生独立作答后，师生共同核对答案，分析易错点．
设计意图：通过多样化练习巩固数轴概念、画法及有理数与点的对应关系，强化三要素的规范性应用，及时反馈学生掌握情况，纠正认知偏差，提升学生对数轴的理解与应用能力．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．数轴的三要素是什么？
3．画数轴的步骤是什么？
设计意图：通过师生互动梳理知识脉络，强化学生对数轴核心内容的记忆与理解，培养归纳总结能力，明确数轴在有理数学习中的基础性作用，为后续学习作好铺垫．

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