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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
14.2　三角形全等的判定
第1课时　三角形全等的判定(一)(“SAS”)
创设学习场景　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实际情境置疑探究归纳探究复习探究类比探究悬念激趣
图14-2-1
实际情境　小伟作业本上画的三角形的一边被墨迹污损了,他想画一个与原来完全一样的三角形,他该怎么办呢 请你帮助小伟想一个办法,并说明你的理由.
问题:三角形有六个要素,我们从这个图形中能得到几个要素呢
引导学生观察分析,继而引导学生分析“SAS”能否确定唯一的三角形.
[教学提示] 通过污损图形引起学生的兴趣,使学生无法确定三角形的三边,为学习新课做好铺垫.尽量让学生充分探究“SSA”“AAS”“ASA”能否确定唯一的三角形,注意把握好度,探究出“SSA”不能确定唯一的三角形即可,判定方法“AAS”“ASA”可让学生课后思考.
置疑探究　
图14-2-2
1.猜一猜:
教师演示:把两根木条的一端用螺栓固定在一起.
(1)连接另两端所成的三角形能唯一确定吗
(2)如果将两根木条之间的夹角(即∠BAC)大小固定,那么△ABC能唯一确定吗
2.做一做:
(1)用量角器和刻度尺画△ABC,使AB=2 cm,BC=2.5 cm,∠ABC=60°.学生动手画图,然后剪下来,再与其他同学进行比较.(带着以上两个问题,学生小组合作动手实验,验证猜想)
(2)将∠ABC的度数换成20°,再试一试,情况会怎么样
通过“猜一猜”和“做一做”,你能归纳两个三角形全等的判定方法吗 (引入新课)
[教学提示] 通过操作、观察、分析、归纳、总结,让学生体会到成功的喜悦,培养学生的观察、分析能力.教学中教师要注意引导学生讨论、交流并归纳得出“边角边”.教师可进一步设计如下问题:(3)画△ABC,使AB=2 cm,BC=2.5 cm,∠ACB=40°.学生动手画图,然后剪下来,再与其他同学进行比较(学生画出的三角形可能有锐角三角形,也可能有钝角三角形),并与学生一起归纳得出:“SSA”不能作为判定两个三角形全等的依据,进而强调“SAS”中的角必须是对应相等的两边的夹角.
教材母题模型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
教材母题——第43页习题14.2第2题
如图14-2-3,AB=AC,AD=AE.求证∠B=∠C.
图14-2-3
【模型建立】
解决此类问题要先找出证明两个三角形全等所需的条件,利用“SAS”证明两个三角形全等要充分利用公共角或对顶角等相等条件,有时还要注意等式性质的应用.
【变式变形】
1.如图14-2-4,OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于 (A)
　图14-2-4
A.60° B.50° C.45° D.30°
2.如图14-2-5,在△ABE中,AB=AE,AD=AC,∠BAD=∠EAC,求证:△ABC≌△AED.
[提示:先由∠BAD=∠EAC得到∠BAC=∠EAD,再利用“SAS”证明△ABC≌△AED]
图14-2-5
3.如图14-2-6,AD=AE,∠EAB=∠DAC,AB=AC.求证:∠B=∠C.
[提示:证明△ABD≌△ACE]
4.如图14-2-7所示,已知AB=AC,∠1=∠2,AD=AE.求证:∠C=∠B.
[提示:证明△ABD≌△ACE]
图14-2-6 图14-2-7 图14-2-8
5.已知:如图14-2-8,点D在AC上,点E在AB上,AE=AD,BD,CE相交于点O,连接AO,∠1=∠2.求证:∠B=∠C.
证明:在△AEO和△ADO中,∴△AEO≌△ADO(SAS).
∴∠AEO=∠ADO(全等三角形的对应角相等).
∵∠AEO=∠EOB+∠B,∠ADO=∠DOC+∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和),
∴∠EOB+∠B=∠DOC+∠C(等量代换).
又∵∠EOB=∠DOC(对顶角相等),
∴∠B=∠C(等式的性质).
质量评价角度　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【评价角度1】 依据“SAS”补充判定两个三角形全等的条件
方法指引:对照“SAS”应具备的三个条件,找出缺少的一个.解题时注意两点:一是挖掘公共边、公共角等图形中的隐含条件,二是注意“SAS”中的“角”是两条对应边的夹角,而非两条对应边中一边的对角.
例　如图14-2-9,在△ABC和△DEF中,点B,F,C,E在同一直线上,BF=CE,AB∥DE,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,你添加的条件是　AB=DE　.
图14-2-9
【评价角度2】 利用“SAS”及全等三角形的性质进行证明
方法指引:利用全等解决问题的思路:(1)从已知出发,探究要证明的线段或角分别在哪两个三角形中;(2)分解图形——将要证全等的三角形从“复合”图形中分离出来;(3)“移植”条件——将已知转移至图形,再根据已知条件及隐含条件寻求恰当的判定方法.
例1　如图14-2-10,点E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证:△ADF≌△BCE.
[提示:先由AE=BF得到AF=BE,再利用“SAS”证明△ADF≌△BCE]
图14-2-10
例2　如图14-2-11所示,AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD.
求证:AB∥CD.
图14-2-11
[提示:图中隐含对顶角,利用“SAS”证明△AOB≌△COD]
【评价角度3】 利用“SAS”及全等三角形的性质进行计算
方法指引:先证明与所求角或者线段有关的两个三角形全等,再利用全等三角形的性质得到相等关系,进而求出角度或者线段长.
例1　如图14-2-12,已知线段AC,BD相交于点E,AE=DE,BE=CE.
图14-2-12
(1)求证:△ABE≌△DCE;
(2)若AB=5,求CD的长.
[答案:(1)略　(2)5]
例2　如图14-2-13,点B,F,C,E在同一直线上,AC,DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,且AB=DE,BF=CE.
图14-2-13
(1)求证:△ABC≌△DEF;
(2)若∠A=65°,求∠AGF的度数.
[答案:(1)略　(2)50°]
14.2　三角形全等的判定
第1课时　三角形全等的判定(一)(“SAS”)
教学过程设计　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
课题 三角形全等的判定(一)(“SAS”) 授课人
学习 目标 1.掌握利用“边角边”判定两个三角形全等的方法. 2.经历探究三角形全等的判定方法的过程,学会解决简单的推理问题. 3.培养学生严谨的推理能力及自主合作的精神,体会逻辑推理的思维价值.
学习 重点 掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法.
学习 难点 掌握图形特征,寻找适合条件的两个三角形.
授课 类型 新授课 课时
教具 三角板、圆规(多媒体课件及几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.什么叫作全等三角形 答:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 2.全等三角形有什么性质 答:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等. 　 复习学过的旧知识,为新知识的建构奠定基础.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 具备什么条件的两个三角形全等呢 我们从构成三角形的元素——边、角的关系出发,研究三角形全等的判定方法.根据全等三角形的定义,如果△ABC与△A'B'C'满足三条边分别相等,三个角分别相等,即AB=A'B',BC=B'C',CA=C'A',∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',就能判定△ABC≌△A'B'C'(如图14-2-14). 图14-2-14 一定要满足三条边分别相等,三个角也分别相等,才能保证两个三角形全等吗 上述六个条件中,有些条件是相关的.能否在上述六个条件中选择部分条件,简捷地判定两个三角形全等呢 我们按照条件由少到多的顺序进行研究. 　由已学习的知识提出设问,引发学生自己思考,激发学生的学习兴趣,探究新知.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 探究满足六个条件中的几个可以证明两个三角形全等 思考:如果只满足六个条件中的一部分,那么△ABC与△A'B'C'全等吗 先任意画出一个△ABC.再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C'满足上述六个条件中的一个(一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等).你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗 问题1:当满足一个条件时,△A'B'C'与△ABC全等吗 ①当只有一条边相等时,如BC=B'C',画△ABC与△A'B'C'如图14-2-15: 图14-2-15 ②当只有一个角相等时,如∠B=∠B'=60°,画△ABC与△A'B'C'如图14-2-16: 图14-2-16 答:不能. 问题2:当满足两个条件时,△A'B'C'与△ABC全等吗 ①当一条边和一个角相等时,如∠B=∠B'=30°,BC=B'C',画△ABC与△A'B'C'如图14-2-17: 图14-2-17 ②当有两个角相等时,如∠B=∠B'=30°,∠C=∠C'=50°,画△ABC与△A'B'C'如图14-2-18: 图14-2-18 　　1.进一步学习三角形的画法,从操作中体会三角形全等的条件.
活动 二: 探究 与 应用 ③当有两条边相等时,如AB=A'B',BC=B'C',画△ABC与△A'B'C'如图14-2-19: 图14-2-19 答:不能. 问题3:当满足三个条件时,△A'B'C'与△ABC全等吗 满足三个条件时,又分为几种情况呢 我们依次讨论:①两边一角;②两角一边;③三边;④三角. 本节我们先探究两边一角. 【探究2】 利用“SAS”判定两个三角形全等 思考:如图14-2-20,直观上,如果∠A,AB,AC的大小确定了,△ABC的形状、大小也就确定了.也就是说,在△A'B'C'与△ABC中,如果∠A'=∠A,A'B'=AB,A'C'=AC,那么△A'B'C'≌△ABC.这个判断正确吗 图14-2-20 图14-2-21 如图14-2-21,由∠A'=∠A可知,如果使点A'与点A重合,并且使射线A'B'与射线AB重合,那么射线A'C'与射线AC重合.再由A'B'=AB,A'C'=AC,可知点B',C'分别与点B,C重合.这样,△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合,△A'B'C'与△ABC能够完全重合,因而△A'B'C'≌△ABC. 结论:两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 几何语言:如图14-2-22,在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SAS). 图14-2-22 【探究3】 利用“SSA”不能判定两个三角形全等 思考:我们知道,如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等,那么这两个三角形全等.如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等,那么这两个三角形全等吗 如图14-2-23,△ABC和△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等,即AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD显然不全等. 图14-2-23 结论:两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 强调:利用“SAS”判定两个三角形全等时,角必须是两条相等边的夹角,边必须是夹相等角的两边. 　　2.使学生认识到“边边角”不能判定两个三角形全等,只有两边和它们的夹角分别相等才能判定两个三角形全等.
活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　如图14-2-24,AC=AD,AB平分∠CAD,求证:∠C=∠D. 图14-2-24 证明:∵AB平分∠CAD, ∴∠CAB=∠DAB. 在△ABC和△ABD中, ∴△ABC≌△ABD(SAS).∴∠C=∠D. 例2　如图14-2-25,点C,D在AB上,且AC=BD,AE=BF,AE∥BF.求证:△AED≌△BFC. 图14-2-25 证明:∵AE∥BF,∴∠A=∠B. ∵AC=BD,∴AC+CD=BD+CD, 即AD=BC. 在△AED和△BFC中, ∴△AED≌△BFC(SAS). 变式一　如图14-2-26,CA=CD,∠1=∠2,BC=EC.求证:AB=DE. 图14-2-26 分析:(1)要证AB=DE,可以证明AB与DE所在的　△ABC　和　△DEC　全等; (2)在证明△ABC与△DEC全等时,题目中哪些条件可以直接使用 为什么 (3)在证明△ABC与△DEC全等时,题目中哪些条件不可以直接使用 为什么 但由这个条件可以推出　∠ACB　=　∠DCE　,从而可以用什么方法判定△ABC与△DEC全等 (4)写出证明过程. [答案:(2)条件CA=CD,BC=EC可以直接使用　理由略　(3)条件∠1=∠2不可以直接使用　理由略　可以利用“SAS”判定△ABC与△DEC全等　(4)略] 变式二　已知:如图14-2-27,点A,F,E,C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF. 图14-2-27 求证:AB∥CD. 证明:∵BE∥DF,∴∠BEA=∠DFC. ∵AF=CE,∴AF+EF=CE+EF,即AE=CF. 在△AEB和△CFD中, ∴△AEB≌△CFD(SAS).∴∠A=∠C.∴AB∥CD. 　　1.让学生参与到教师的讲例之中,领悟“边角边”证明三角形全等的方法,学会分析推理和规范书写. 2.教师讲例,学生接受式学习,但要积极参与,强化学生对“边角边”判定方法的理解. 3.通过例题及变式,强化学生对“边角边”判定方法的理解.
【拓展提升】 例3　如图14-2-28,已知点C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,且AB=CD,BC=DE,AC是否垂直于CE 为什么 图14-2-28 [答案:AC⊥CE　理由略] 引申:若将△CDE沿CB方向平移,且其余条件不变,如图14-2-29所示的各种情况,则结论AC1⊥C2E还成立吗 请说明理由.
活动 二: 探究 与 应用 图14-2-29 [答案:AC1⊥C2E　理由略] 这组提高题是围绕着图14-2-28展开的,在拓展思维的同时也培养了学生综合运用知识的能力,实现了方法上的迁移. 学生运用所学由浅入深,由一题展开,攻克了一个个难关,在提高综合运用知识的能力的同时,也体会到较复杂图形都是由一些基本图形经过几何变换得到的,体会变化中不变的量,提供分析的思路和方法,突出了“训练为主线,思维为主攻”的原则. 　　1.通过动态形象地演示,使学生发现规律,并加强学生对知识的理解,借此也培养了学生仔细观察的能力. 2.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【当堂训练】 1.如图14-2-30,AB=AE,若要直接根据“SAS”判定△ABC≌△AED,则需添加条件:　答案不唯一,如AC=AD　(写出一个即可). 图14-2-30 图14-2-31 2.如图14-2-31,AB=DB,BC=BE,若要根据“SAS”判定△ABE≌△DBC,则需要增加的条件是 (D) A.∠A=∠D　　　　　　　　B.∠E=∠C C.∠A=∠C D.∠ABD=∠EBC 3.某学校计划为新生配备如图14-2-32①所示的折叠凳.图②是折叠凳撑开后的侧面示意图(材料的宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长度相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30 cm,则由以上信息可推得CB=　30　cm. 图14-2-32 图14-2-33 4.如图14-2-33,点E,F在AC上,AD∥BC,AD=CB,AE=CF. 求证:∠D=∠B. 证明:∵AD∥BC,∴∠A=∠C. ∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE. 在△AFD和△CEB中, ∴△AFD≌△CEB(SAS).∴∠D=∠B. 　　当堂训练,巩固深化,强化学生对“边角边”判定方法的理解,规范证明三角形全等的书写格式.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂总结】 (1)请你叙述判定三角形全等的基本事实——“边角边”.全等三角形的判定方法“SAS”(“边角边”)中的“角”是两条对应边的夹角,三个条件放在一起书写时通常把等角条件放在两个等边条件中间.注意这个对应角不能是其中一条对应边的对角,即不存在全等三角形的判定方法“SSA”. (2)证明两个三角形全等的思路:首先分析条件,观察已经具备了什么条件;然后以已具备的条件为基础,根据全等三角形的判定方法来确定还需要证明哪些边或角相等,再设法证明这些边或角相等. 　　系统归纳本节知识点,提高学生归纳问题的能力.
【知识网络】 　　框架图式总结,更容易形成知识网络.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 让学生在作图过程中体会三角形全等的条件,在直观的操作过程中发现问题、获得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力. ②[讲授效果反思] 教师讲解例题时要使学生明确:证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决.学习要善于总结,在总结中提高.应给学生搭建一个质疑、交流和相互学台,保证此环节的时间(3~4分钟)和质量,引导学生从知识、方法、学习习惯等多方面进行总结和反思. ③[师生互动反思] 知识、方法方面的收获,教师要适时点拨,点出本节课所用到的数学思想、方法,这是学习的精髓,但不能忽视学生其他方面的收获,如好的听课习惯,好的思维、设想,要互相学习,这些好的收获更有助于学生全面、和谐发展. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 错题题号　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　回顾反思,找出差距与不足,形成知识及数学体系,更进一步提升教师的教学能力.
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