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8 第八单元 数学广角——数与形
【教学目标】
1．经历探索规律的过程，发现算式中蕴含的数学规律。能运用数形结合的思想来分析具体的数学问题，提高分析问题的能力。在运用数形结合的思想分析问题的过程中，感受数学的形式美。
2．经历解决问题的相关过程，体验迁移类推的学习方法。
3．感受数学在解决实际问题中的作用，培养学生热爱数学的情感，体验数学知识的应用价值。
【重点难点】
1．引导学生理解图形和数字的对应关系，并结合图形的变化规律，发现相应的数字变化规律。
2．探索规律并验证规律。
【方法指导】
1．教学方法：引导发现、组织探究。
2．学习方法：探究发现、合作交流。
一、导入新课
1．我们的生活中充满了有趣的现象，只要我们留心，就能发现很多与数学有关的问题。
(1)某城市江滩边的一排彩灯是按“2红、3黄、4绿”的规律排列，不用数，你能算出第2 023盏灯是什么颜色吗？
①怎样列式？
②说说你这样列式的理由。
(2)细胞分裂过程按1，2，4，8，16，…这样的方式进行，那么第十次分裂后细胞的个数是多少？
①怎样列式？
②说说你这样列式的理由。
2．小结转入新授，观察上面两道题的解答及思考过程，要解决好问题，关键是要弄清楚什么？(排列规律)对，今天我们就来研究数学中有关规律的问题。
二、探究新知
1．理解图形和数字的对应关系
出示教材第105页例1。
师(出示下图)：我们一起来看看图②和图③中各有多少个像图①这样的小正方形？
生：图②中有4个图①这样的小正方形，图③中有9个这样的小正方形。
师：同学们动动脑，尝试用算式表示出每个图中小正方形的个数。
生：图①中，1×1＝1；图②中，2×2＝4；图③中，3×3＝9。
师：观察这几个图形与计算出的得数(1，4，9)。你还有什么发现？
生：从图①开始，小正方形的个数是在前图基础上分别加3，加5。
根据学生的回答，把图中小正方形涂上不同的颜色进行演示。
师：如果我们把刚才同学们表示图中小正方形的个数而列出的不同算式综合起来，会是什么样的呢？
1×1＝1　1＝12
1＋3＝2×2＝4　1＋3＝22
1＋3＋5＝3×3＝9　1＋3＋5＝32
师：在这里图形能直观地解释数的计算。同学们想一想，按照这样的规律图④会是什么样子？有几个这样的小正方形？同桌两人合作，仿照黑板上的算式，一人说等号左边的部分怎么写，一人说等号右边的部分怎么写，有困难的可以在草稿纸上画一画图。
学生合作交流，并利用规律完成例1下面的题目。
师：观察例1中的这些题目，你有什么发现？
生1：大正方形左下角的小正方形和其他“”形图中所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。
生2：左边加法算式里的加数都是奇数。
生3：有几个数相加，和就是几的平方。
生4：第几个图就有几个数相加，和就是几的平方。
师：根据这些同学的发现，想一想，第10个图中有多少个小正方形？第100个图中呢？
(学生汇报)
师：同学们非常善于观察和思考。学习中我们利用计算求出了图形中小正方形的个数，反过来直观的图形也更好地帮助我们理解了计算中各数的含义。
2．运用数形结合的数学思想方法，掌握用图形与算式结合的规律
出示教材第105页例2。
(1)投影出示：
计算＋＋＋＋＋＋…。
学生选择自己的方法进行计算。
师：按照常规的方法计算，需要通分，这样连续相加，通分后的分母很大，计算烦琐，也容易出错，怎样巧妙解答呢？
提问①：观察算式中数字之间有什么规律？
小组内讨论，然后集体汇报。
＝×，＝×，＝×，＝×，＝×…我们发现：从第二个数开始，每个数是前一个数的。
提问②：从左到右连续相加计算，你发现了什么？
小组内讨论，然后集体汇报。
＋＝，＋＝，＋＝…我们发现：一个一个加下去，答案好像有点规律。加下去，等号右边的分数越来越接近于1。加下去，等号右边分数的分母与左边第二个分数的分母相同，分子比分母小1。
(2)研究数字与图形的转化。
师：可以画个图来帮助思考，用一个图或一条线段表示“1”。
用圆表示“1”，可转化为图形：
用一条线段表示“1”，可转化为图形：
用正方形表示“1”，可转化为图形：
从图形上我们可以看出，这些分数不断加下去，总和就是1，也就是：
＋＋＋＋＋＋…＝1
教师小结：有些问题通过画图，把数字、算式转化为图形，利用图形解答，更简洁直观。
见教材课后练习和相应单元的练习部分。
数与形
1.
2.＋＋＋＋＋＋…＝1
本节课主要学习了图形和数字的对应关系以及掌握用图形与算式结合的规律。
数形结合是一种非常重要的数学思想，把数据与图形结合起来解决问题，可使复杂的问题简单化，抽象问题直观化。教学中通过创设问题情境，引导学生经历观察、猜想、操作、验证等活动过程，体验迁移类推的学习方法，探索并验证规律，提高分析问题和解决问题的能力。

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