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专题01 等式性质与不等式性质五大常考题型
题型一：用不等式(组)表示不等关系
题型二：作差法比较两数(式)的大小
题型三：利用不等式的性质证明不等式
题型四：利用不等式的性质比较大小
题型五：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
题型一：用不等式(组)表示不等关系
1．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 .
2．用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为.
(1)若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系；
(2)若矩形的长、宽都不能超过14m，求的取值范围.
3．一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．某商品包装上标有重量克，若用x（单位：克）表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为 ．
5．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“”
B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“”
C．某变量至少为可表示为“”
D．某变量不超过可表示为“”
6．若满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
8．某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
9．（1）限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？
10．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于，蛋白质的含量应不少于，如何用不等式组表示上述关系？
题型二：作差法比较两数(式)的大小
11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
12．已知，，设，，则与的大小关系为 ．
13．若，试比较与的大小．
14．若规定（，且），则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
15．若，，其中，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不确定
16．下列不等式，正确的个数为（　　）
①；②；③.
A．0 B．1 C．2 D．3
17．设，是非零实数，若，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
18．对于实数，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，，且，则 B．若，则
C．若，，则， D．若，则
19．设，，，则的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
20．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三：利用不等式的性质证明不等式
21．设，使和同时成立的一个充分条件是 ．
22．，，，，设，证明：.
23．已知为正实数．求证：.
24．已知正数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
25．设，，.
(1)证明：；
(2)若，证明.
26．已知，，，都是正数，且，，则下列关系正确的有（ ）
A． B．
C． D．
27．若，，求证：.
28．（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：
（3）已知，求证：
29．（1）已知，，求证：；
（2）已知，，求证：．
30．已知，，，求证：
题型四：利用不等式的性质比较大小
31．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
32．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
33．设，则命题“”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
34．已知，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
35．下列命题正确的是（ ）
A．“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件
B．“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“方程有一个实数根”的充要条件
D．“”是“集合或为空集”的充要条件
36．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
37．如果，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．； B．； C．； D．.
38．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
39．已知，则的值满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
40．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
题型五：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
41．已知，．
(1)求的取值范围；
(2)求的取值范围．
42．已知，，，则的取值范围是 .
43．已知，，求及的取值范围．
44．已知正数满足，则的取值范围为 ．
45．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
46．已知，则的取值范围是 .
47．不等式组的解集为，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
48．已知，，求的取值范围.
49．设，则不等式的等号成立时x的取值范围为
50．已知，满足，试求的取值范围.
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专题01 等式性质与不等式性质五大常考题型
题型一：用不等式(组)表示不等关系
题型二：作差法比较两数(式)的大小
题型三：利用不等式的性质证明不等式
题型四：利用不等式的性质比较大小
题型五：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
题型一：用不等式(组)表示不等关系
1．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 .
【答案】
【分析】根据题意列式即可.
【详解】由题意得，即.
故答案为：.
2．用一段长为40m的铁皮围成一个一边靠墙的矩形仓库，墙长20m，平行于墙的一条边长为.
(1)若要求仓库的面积不小于，用不等式组表示其中的不等关系；
(2)若矩形的长、宽都不能超过14m，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据题意列出不等式组即可求解；
（2）根据题意列出不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】（1）由题可得，
则矩形仓库的另一条边长为，
所以仓库的面积，
故该题中的不等关系可表示为.
（2）因为矩形的长、宽都不能超过14m，
所以，解得.
3．一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题设可得每天加工的商品数为件，即可求出结果.
【详解】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件，
所以题中关系表示为.
故选：B.
4．某商品包装上标有重量克，若用x（单位：克）表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值含义即可得到不等式.
【详解】根据题意知该重量与500克作差的绝对值小于等于1.
故答案为：.
5．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“”
B．小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“”
C．某变量至少为可表示为“”
D．某变量不超过可表示为“”
【答案】BCD
【分析】根据实际问题中的不等关系的不等式表达判断可得.
【详解】某人月收入（单位：元）不高于2000元可表示为“”，故A错误；
小明的体重为kg，小华的体重为 kg，则小明比小华重表示为“”，故B正确；
某变量至少为可表示为“”，故C正确；
某变量不超过可表示为“”，故D正确.
故选：BCD
6．若满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】令，代入已知条件，再由判别式可求得的范围，从而可判断A,B选项，将已知条件变形为，再由均值不等式可得的范围，再利用代入法并化简即可判断C,D选项.
【详解】令，即，代入可得：
.
所以, 解得 , 所以 A 正确. B 正确；
由 可变形为 ,
因为 , 将代入上式可得：
,
解得 , 所以不正确, D正确.
故选：.
7．公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知列出不等式，化简即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以有.
故选：B.
8．某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【分析】依题意列出不等式，结合其整数的性质依次从小到大分析即可得解.
【详解】依题意，设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c，
则，又，
若，则，不满足；
若，则，不满足；
若，则，不满足；
若，则，满足；
则，，，则.
故选：C.
9．（1）限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，如何用不等式组表示上述关系？
【答案】（1）；（2）
【分析】由不等式的表示方法解决.
【详解】（1）由题意，直接用不等式表示可得.
（2）由题意，直接用不等式表示可得.
10．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量应不少于，蛋白质的含量应不少于，如何用不等式组表示上述关系？
【答案】
【分析】由不等式的定义表示不等关系.
【详解】不少于指大于等于，酸奶中脂肪的含量应不少于，蛋白质的含量应不少于，
用不等式组表示上述关系为.
题型二：作差法比较两数(式)的大小
11．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
【答案】BC
【详解】对于A，取，则不成立，故A错误；对于B，若，则，所以，故B正确；对于C，若，则，所以，所以，故C正确；对于D，若且，则，而b可能为0，故D错误．
12．已知，，设，，则与的大小关系为 ．
【答案】
【详解】．因为，，所以，，，所以，所以．
13．若，试比较与的大小．
【答案】
【分析】利用作差法比较即可.
【详解】由．
又因为，所以，，
所以，即．
14．若规定（，且），则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据新定义表示，利用作差法即可比较大小.
【详解】由题意得，，，
∴，
∵，∴，即.
故选：B.
15．若，，其中，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】利用作差比较大小可得答案.
【详解】由题意知，
，
因为，，
所以，
即，
所以，
故.
故选：A.
16．下列不等式，正确的个数为（　　）
①；②；③.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用作差法以及因式分解对各式逐一判断即可得出结论.
【详解】①，所；
②，
易知，但的符号不能确定，所以②不一定正确；
③，所以.故①③正确．
故选：C.
17．设，是非零实数，若，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】举反例可得ABD错误；作差可得C正确；
【详解】A，若，则，故A错误；
B，若，则，故B错误；
C，因为，故，所以，故，故C正确；
D，若，则，故D错误；
故选：ABD.
18．对于实数，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，，且，则 B．若，则
C．若，，则， D．若，则
【答案】ABC
【分析】选项A，利用不等式的性质，即可判断正误；选项B和C，根据条件，利用作差法，即可判断正误；选项D，通过取特殊值，，即可判断正误.
【详解】对于选项A，因为，由不等式的性质可知，所以选项A正确，
对于选项B，因为，则，得到，
由，得到，所以，故选项B正确，
对于选项C，由，可知．因为，所以，于是，
又因为，所以，．故选项C正确，
对于选项D，取，，显然有，此时，，显然．故选项D错误，
故选：ABC．
19．设，，，则的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用作差法分别计算和即可求解.
【详解】，
，
而，，而，
，即，综上.
故选：B．
20．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用作差法判断得，再利用配方法确定的范围即得.
【详解】由，可得，
又，故得，.
故选：B.
题型三：利用不等式的性质证明不等式
21．设，使和同时成立的一个充分条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据不等式的性质即可得解.
【详解】根据不等式的性质可知，当时，和同时成立的，
所以“”是“和同时成立”的充分条件，
即只要满足，就均是“和同时成立”的充分条件，
所以充分条件可以是．
故答案为：（答案不唯一）
22．，，，，设，证明：.
【答案】证明见解析
【分析】直接将每个分式缩小，即可证明；通过可得，且类似可以得到其它三个不等式，然后相加即可证明.
【详解】因为，故，，，.
故有
；
由于
，
故，同理还有
，
所以.
这就证明了.
23．已知为正实数．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，化简得到，结合不等式的性质，即可得证.
【详解】证明：因为，
又因为，所以，当且仅当时等号成立，
所以.
24．已知正数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由不等式的性质结合逐一判断每一个选项即可.
【详解】对于A，由题意，所以，故A正确；
对于B，，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，令，则，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：ABD.
25．设，，.
(1)证明：；
(2)若，证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据表示出，结合的符号可证结论；
（2）利用作差比较法得，进而可证结论.
【详解】（1）证明:∵，
∴.
a，b，c不同时为，则，∴；
（2）.
∵，取等号的条件为，
而，∴等号无法取得，即，
又，∴，∴.
26．已知，，，都是正数，且，，则下列关系正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】在已知条件下，利用不等式的性质，判断选项中的结论是否正确.
【详解】已知，，，都是正数，且，，
对于A选项，满足已知条件，但此时，A选项错误；
对于B选项，由不等式的同向可加性，，时，有，B选项正确；
对于C选项，由，，有，所以，C选项正确；
对于D选项，由，，
有，
所以，得，D选项正确；
故选：BCD
27．若，，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系.
【详解】因为，则，
又因为，则，
可得，则，
且，所以．
28．（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：
（3）已知，求证：
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解.
【详解】（1）因为，可得，所以，
又因为，可得.
（2）因为，所以，
又因为，所以，可得，
因为，根据不等式的性质，可得，即以.
（3）因为，要证，只需证明，
展开得，即，即，
又因为，所以.
29．（1）已知，，求证：；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）（2）利用作差法和不等式的性质证明；
【详解】（1），
因为，，
所以，所以，
所以；
（2），
因为，，
所以， 所以，
所以，即.
30．已知，，，求证：
【答案】证明见解析
【分析】根据不等式性质即可证明.
【详解】∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴.
题型四：利用不等式的性质比较大小
31．已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由不等式的性质可判断A；举反列可判断BCD.
【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确；
对于B，已知，取，
所以，
所以，故B错误；
对于C，，，故C错误；
对于D，已知，取，
，所以，故D错误.
故选：A.
32．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】通过举反例排除A,C两项，利用不等式的性质进行推理，可以排除D项，证得B项.
【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误；
对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确；
对于C，当时，取，则，故C错误；
对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误.
故选：B.
33．设，则命题“”的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用赋值法可判断ABD；利用不等式性质可判断C.
【详解】对于A，若，故A错误；
对于B，若，故B错误；
对于C，若，则成立，若，则成立，故C正确；
对于D，当，时，，故D错误．
故选：C.
34．已知，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断ABC，由作差法判断D即可得解.
【详解】因为，所以，
由不等式的性质可得，A正确，B错误；
由不等式的性质可得，若，C错误；
若，则，即，D错误.
故选：A
35．下列命题正确的是（ ）
A．“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件
B．“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“方程有一个实数根”的充要条件
D．“”是“集合或为空集”的充要条件
【答案】AC
【分析】根据同位角相等的判定定理及两直线平行的性质即可判断A；根据不一定推出且成立即可判断B；根据一元二次方程有一个实数根，即即可判断C；根据不一定推出集合或为空集，可以通过举反例来说明即可判断．
【详解】由两直线平行的判定及性质定理得，“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件，A正确；
充分性：当且时，必有，充分性成立；
必要性：当时，有，即且或且，故不一定有且，必要性不成立，
故“且”是“”的充分不必要条件，B错误；
充分性：当时，方程的，有一个实数根，充分性成立；
必要性：当方程有一个实数根时，，即，必要性成立，
所以“”是“方程有一个实数根”的充要条件，C正确；
充分性：当时，取均不为空集，充分性不成立；
必要性：当或为空集时，一定有，必要性成立，
故“”是“集合或为空集”的必要不充分条件，D错误，
故选：AC．
36．已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，且，可得，正负不确定.取特值可得AD错误；根据不等式的基本性质可判定BC项.
【详解】因为，，
则，所以，.
AD选项，令，满足条件，，
但，则，故AD错误；
B选项，由，则，故B正确；
C选项，由，则，故C错误.
故选：B.
37．如果，那么下列不等式中成立的是（ ）
A．； B．； C．； D．.
【答案】B
【分析】利用不等式的性质比较大小逐一判断即可.
【详解】对于A：由得，错误；
对于B：由，则有，即，正确；
对于C：由得，则根据不等式的性质有，即，
由可得，错误；
对于D：由得，则，即，错误.
故选：B
38．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【分析】由不等式的性质直接判断A，由作差法判断BC，举反例判断D.
【详解】对于A，若，则，否则，矛盾，所以，所以，故A正确；
对于B，若，则，即，故B正确；
对于C，若，则，
因为当且仅当，所以显然不可能（因为），
所以，所以，即，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：ABC.
39．已知，则的值满足的条件为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围可分别求得的范围，再利用不等式性质可得结论.
【详解】因为，所以，
由不等式性质可得，
即．
故选：C
40．下列说法中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【分析】举出反例即可判断A；根据不等式的性质即可判断BD；利用作差法即可判断C.
【详解】对于A，取，则，故A错误；
对于B，由，得，故B正确；
对于C，，
由，得，所以，故C正确；
对于D，由，得，又，所以，故D正确．
故选：A．
题型五：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
41．已知，．
(1)求的取值范围；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由不等式的性质求解即可；
（2）由不等式的性质求解即可；
【详解】（1）因为，，
所以，所以．
（2）由，，得，，
所以．
42．已知，，，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质求解即可.
【详解】因为，所以，因为7，所以，
故，即的取值范围是.
故答案为：.
43．已知，，求及的取值范围．
【答案】，.
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围即可.
【详解】由，得，又，所以；
由，，得，，所以.
44．已知正数满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】
正数、、满足，，
，所以
同理：有得到，所以
两式相加：
即
又,即
即．
故答案为：
45．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围．
【详解】设，
所以，解得，即可得，
因为，，
所以，
故选：A．
46．已知，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】确定，，得到范围.
【详解】，则，，故.
故答案为：.
47．不等式组的解集为，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先化简不等式组，然后根据不等式组的解集可求得结果.
【详解】由，得，
因为不等式组的解集为，
所以，即的取值范围是，
故选：C
48．已知，，求的取值范围.
【答案】.
【分析】根据给定条件，用表示出，再利用不等式的性质求解作答.
【详解】令，即，
于是，解得，即，
由，得，而，则，
所以的取值范围是.
49．设，则不等式的等号成立时x的取值范围为
【答案】
【分析】根据x的范围分类讨论，去掉绝对值求解即可.
【详解】，
所以的等号成立时，
即或或，
解得：，
故答案为：
50．已知，满足，试求的取值范围.
【答案】.
【分析】根据不等式的性质结合条件得出答案.
【详解】设，
比较，的系数，得，解得，
，
又，，
，
故的取值范围是.
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