资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.3 集合的基本运算
教学目标 1.理解并、交集全集的含义，会求简单的并、交集补集； 2.借助Venn图理解、掌握并、交补集的运算性质； 3.根据并、交集运算的性质求参数问题. 4．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．
教学重难点 1.重点 会用Venn图、数轴进行集合的运算． 2.难点 根据并、交集运算的性质求参数问题.
知识点01 集合的运算之并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的_____，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的_____组成的集合(重复元素只出现一次).
【即学即练】
1．已知集合，，，则中的元素个数至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．已知集合，，则 .
知识点02 集合的交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的_____；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B_____公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
【即学即练】
1．设，下列选项正确的是（ ）
A．集合的子集个数为4 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
知识点03 集合的补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为_____，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的_____(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：
（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就_____全集．
（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．
【即学即练】
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设全集，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
知识点04 集合基本运算结论
，，
若A∩B=A，则，反之也成立，若A∪B=B，则，反之也成立
若x(A∩B)，则xA且xB，若x(A∪B)，则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是_____与_____，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.
【即学即练】
1．已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ．
2．已知集合.若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型01：集合的交集运算
【典例1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
求集合A∩B的步骤与注意点
(1)步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素;
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式;
③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可(相同元素只写一个).
(2)注意:若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示.
【变式1】已知集合，集合，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
题型02：并集运算
【典例1】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
求集合并集的两个方法
(1)若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集.
(2)若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得.
【变式1】已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】对于集合，，定义且，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型03：补集运算
【典例1】设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
补集的求解步骤及方法
(1)步骤:①确定全集:在进行补集的简单运算时，应首先明确全集;
②紧扣定义求解补集.
(2)方法:①借助Venn图或数轴求解;②借助补集性质求解.
【变式1】已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知全集，集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04：集合的交集、并集与补集的混合运算
【典例1】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
求解与不等式有关的集合问题的方法
解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.
【变式1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知集合．
（1）当时， ；
（2）若，则实数m的取值范围是 ．
题型05：已知集合的交集、并集求参数
【典例1】已知集合，若，则（ ）
A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1
首先要明确根据集合间的运算关系确定集合的关系
即：
通过运算关系确定集合间基本关系，最后根据集合间的基本关系确定参数的取值范围，其本质还是通过集合间的基本关系确定参数的取值范围
具体操作：
1、求解集合的运算问题的三个步骤：
（1）看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等，如{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的；
（2）对集合化简,有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；
（3）应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn)；
2、根据集合运算的结果确定参数值或范围的步骤
（1）化简所给集合，能用数轴表示的在数轴上表示；
（2）根据集合端点间关系列出方程或不等式（组）；
（3）求解方程、不等式（组），然后注意验证；
注意：
①化简集合时运算时，注意解不等式运算出错；
②对集合概念理解不准确，错把数集当作点集，如已知集合 ,求 得出的错误结果；
③忽略集合中元素的互异性,如根据集合A＝{a－3，2a－1，a2－4},且－3∈A，求实数a的值,忽略检验a＝－1时不满足元素的互异性；
④利用求参数取值，忽略判断B是否可以为；如根据集合A＝{x|x2－x－12≤0}，
B＝{x|2m－1注意：
空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．
例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝；虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集；
2、由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“AB”或“AB且B≠” 或A∩B＝，时，一定要分A＝和A≠两种情况进行讨论，其中A＝的情况易被忽略，应引起足够的重视．
3、【技巧点拨】 解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝BBA，实际上包含3种情况：
①B＝；②BA且B≠；③B＝A；往往遗漏B是的情形；
4、不含任何元素的集合叫做空集，用表示，注意是一个单元素集，不是空集。从而，，都成立；
5、常见的空集
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则；
⑤若，则；
⑥若，则。
形如：已知，若＝A，求：实数的范围。
破解：由，得；而是由参数所确定的集合，在不同的范围内，可能使得为非空数集，也可能使得为空集；
，
①若，即时，，适合题意；
②若，即时，，适合题意；
③若，即时，要使成立，只需，
解得。从而可得，适合题意；
综上①②③知，所求的范围应为；
【变式1】已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 .
【变式2】设，集合,．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式3】设集合，，全集．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
题型06：韦恩图在集合运算中的应用
【典例1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
1、原理
容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称容斥原理。
2、解释
由图可以直接看出各部分之间的关系
由Venn图可知：（A∪B = A+B - A∩B)
由Venn图可知：（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
3、应用
两类：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
三类：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
4、注意
①填图时，应从较小的区域填起②图中各个区域与集合运算之间的关系
形如：某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？
【破解】
如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，
则
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为
即
，由容斥原理：
解得：
【变式1】高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（ ）
A．16人 B．18人 C．20人 D．24人
【变式2】某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700 B．800 C．900 D．1000
1．对于集合M，N，定义差集且，设集合，则 ．
2．已知集合 ，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．若，则
6．[多选题]对于数集A，B，它们的积，则（ ）
A． B．若，则
C． D．集合表示y轴所在直线
7．已知集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
8．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知全集，集合，，，若，则（ ）
A．的取值有个 B．
C． D．所有子集的个数为
11．已知全集，集合，，则 ，（ ．
12．已知集合，．
（1）若，则 ；
（2）若，则实数的取值范围是 ．
13．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ．
14．设全集，集合A满足，则（ ）
A． B． C． D．
15．设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 .
16．已知集合 ，
(1)若，求，
(2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围．
17．已知集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
条件：①；②；③．
18．已知全集，集合，，求，.
19．已知集合，.
(1)分别求，；
(2)已知，若，求实数a的取值范围.
20．已知集合，，，.
(1)求p，a，b的值；
(2)若，且，求m的值.
1中小学教育资源及组卷应用平台
专题1.3 集合的基本运算
教学目标 1.理解并、交集全集的含义，会求简单的并、交集补集； 2.借助Venn图理解、掌握并、交补集的运算性质； 3.根据并、交集运算的性质求参数问题. 4．理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集．
教学重难点 1.重点 会用Venn图、数轴进行集合的运算． 2.难点 根据并、交集运算的性质求参数问题.
知识点01 集合的运算之并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A∪B读作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn图表示：
（1）“xA，或xB”包含三种情况：“”；“”；“”．
（2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次).
【即学即练】
1．已知集合，，，则中的元素个数至少为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】由集合可得且，再由可得与均互异，结合特例可得正确的选项.
【详解】由中元素的互异性，得，即且，
而，则当且时，与均互异，
因此中至少有元素，取，此时，有4个元素，
∴ 中的元素个数至少为4个.
故选：C
2．已知集合，，则 .
【答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出集合，再根据并集的定义求出.
【详解】对于集合，要使根式有意义，即.
解不等式，可得，所以集合.
已知集合，集合.
根据并集的定义,所以.
故答案为：.
知识点02 集合的交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A∩B，读作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn图表示：
（1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是．
（2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”．
（3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
【即学即练】
1．设，下列选项正确的是（ ）
A．集合的子集个数为4 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】AB
【分析】根据集合元素个数求子集个数判断A，根据交集运算结果求出参数范围判断BC，分类讨论判断D.
【详解】因为，
所以集合的子集个数为，故A正确；
当时，，即，故B正确；
当时，，即，故C错误；
对D，当时，，满足，
当时，，当时，，即，
当时，，当时，，即，
综上，，故D错误.
故选：AB
2．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为，所以，
故选：D.
知识点03 集合的补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：，即补集的Venn图表示：
（1）理解补集概念时，应注意补集是对给定的集合和相对而言的一个概念，一个确定的集合，对于不同的集合U，补集不同．
（2）全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则为全集；而当问题扩展到实数集时，则为全集，这时就不是全集．
（3）表示U为全集时的补集，如果全集换成其他集合（如）时，则记号中“U”也必须换成相应的集合（即）．
【即学即练】
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由集合的基本运算即可求解.
【详解】因为集合，
所以，.
故选：B.
2．设全集，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用并集与补集的混合运算求解得答案．
【详解】全集，，
，又，
则．
故选：B．
知识点04 集合基本运算结论
，，
若A∩B=A，则，反之也成立，若A∪B=B，则，反之也成立
若x(A∩B)，则xA且xB，若x(A∪B)，则xA，或xB
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.
【即学即练】
1．已知集合，若，则m的可能取值组成的集合为 ．
【答案】
【分析】由题意可得，利用子意的意求解即可.
【详解】，∴．
∴当时，；当时，；当时，，
∴m的值为0，1，，∴m的值为．
故答案为：.
2．已知集合.若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据列式运算得解.
【详解】因为，所以，即且，解得，
所以m的取值范围是.
故选：B.
题型01：集合的交集运算
【典例1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式可化简集合A，然后由交集定义可得答案.
【详解】因为，故．
故选：C．
求集合A∩B的步骤与注意点
(1)步骤：①弄清两个集合的属性及代表元素;
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式;
③把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可(相同元素只写一个).
(2)注意:若A，B是无限连续的数集，可以利用数轴来求解.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示.
【变式1】已知集合，集合，则的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由题可得，然后代入可求，再求交集即可.
【详解】，
故选：B．
【变式2】已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出集合后结合交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：D.
【变式3】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出B，再根据交集并集概念计算判断..
【详解】，又，
，
则，不包含于，不包含于，．
故选：D．
题型02：并集运算
【典例1】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合M，再根据并集概念计算.
【详解】解：由 ，
所以
故选： D
求集合并集的两个方法
(1)若集合元素个数有限，可根据定义直接写出并集.
(2)若集合元素个数无限，可借助于数轴分析，求出并集，但应注意端点是否能取得.
【变式1】已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据集合的关系及交集、并集的运算进行判断即可.
【详解】因为但、但，所以AB都是错误的；
因为，故C是错误的；
因为，故D是正确的.
故选：D.
【变式2】已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据并集的定义即可求解.
【详解】由题意可得，
故选：D
【变式3】对于集合，，定义且，，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题设定义求出和，再求出即可．
【详解】对于集合，，定义且，，
设，，
则，，
所以.
故选：C．
题型03：补集运算
【典例1】设全集，集合，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为，所以， 中的元素个数为，
故选：C．
补集的求解步骤及方法
(1)步骤:①确定全集:在进行补集的简单运算时，应首先明确全集;
②紧扣定义求解补集.
(2)方法:①借助Venn图或数轴求解;②借助补集性质求解.
【变式1】已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求并集，再求补集即可.
【详解】，，则，
又，则.
故选：B.
【变式2】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据补集定义计算求解.
【详解】因为集合，，故.
故选：B.
【变式3】已知全集，集合，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由补集定义可知.
题型04：集合的交集、并集与补集的混合运算
【典例1】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解.
【详解】依题意，，而，
所以.
故选：D
求解与不等式有关的集合问题的方法
解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到.
【变式1】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由，则，
集合，
故
故选：D.
【变式2】已知全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求全集，进而求，最后根据集合的交集运算即可求解.
【详解】依题意得，，，所以．
故选：C.
【变式3】已知集合．
（1）当时， ；
（2）若，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】（1）当时，，则．
又，所以．
（2）由，得解得．故实数m的取值范围是．
题型05：已知集合的交集、并集求参数
【典例1】已知集合，若，则（ ）
A．0 B．0或2 C．1或2 D．0或1
【答案】B
【分析】由得集合，之间的包含关系，进而确定元素与集合的关系，即可求解.
【详解】由，得，
因为，所以，
因为集合，
所以或，解得或（不合题意舍去），
所以或2.
故选：B.
首先要明确根据集合间的运算关系确定集合的关系
即：
通过运算关系确定集合间基本关系，最后根据集合间的基本关系确定参数的取值范围，其本质还是通过集合间的基本关系确定参数的取值范围
具体操作：
1、求解集合的运算问题的三个步骤：
（1）看元素构成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数集、点集还是图形集等，如{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的；
（2）对集合化简,有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；
（3）应用数形结合进行交、并、补等运算,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn)；
2、根据集合运算的结果确定参数值或范围的步骤
（1）化简所给集合，能用数轴表示的在数轴上表示；
（2）根据集合端点间关系列出方程或不等式（组）；
（3）求解方程、不等式（组），然后注意验证；
注意：
①化简集合时运算时，注意解不等式运算出错；
②对集合概念理解不准确，错把数集当作点集，如已知集合 ,求 得出的错误结果；
③忽略集合中元素的互异性,如根据集合A＝{a－3，2a－1，a2－4},且－3∈A，求实数a的值,忽略检验a＝－1时不满足元素的互异性；
④利用求参数取值，忽略判断B是否可以为；如根据集合A＝{x|x2－x－12≤0}，
B＝{x|2m－1注意：
空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．
例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝；虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集；
2、由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“AB”或“AB且B≠” 或A∩B＝，时，一定要分A＝和A≠两种情况进行讨论，其中A＝的情况易被忽略，应引起足够的重视．
3、【技巧点拨】 解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝BBA，实际上包含3种情况：
①B＝；②BA且B≠；③B＝A；往往遗漏B是的情形；
4、不含任何元素的集合叫做空集，用表示，注意是一个单元素集，不是空集。从而，，都成立；
5、常见的空集
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则；
⑤若，则；
⑥若，则。
形如：已知，若＝A，求：实数的范围。
破解：由，得；而是由参数所确定的集合，在不同的范围内，可能使得为非空数集，也可能使得为空集；
，
①若，即时，，适合题意；
②若，即时，，适合题意；
③若，即时，要使成立，只需，
解得。从而可得，适合题意；
综上①②③知，所求的范围应为；
【变式1】已知非空集合，，，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】由可得到，运用集合间的关系可得到关于的不等式，解不等式即可得到答案.
【详解】因为A为非空集合，则，
解得；，
若，则，
则或，
解得或，又，
综上所述，实数a的取值范围为.
故答案为：.
【变式2】设，集合,．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）转化成求与的交点问题，联立求解.
（2）转化为与没有交点，联立，判别式，即可得到答案.
【详解】（1）由，得，解得，
所以.
（2）由,得，
由已知方程的判别式，
从所以．
故实数的取值范围为．
【变式3】设集合，，全集．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)(3)．
【详解】解：（1）解法1 易知，所以．又，且，所以，解得，故实数的取值范围是．
解法2 由，知，又，，所以，解得，故实数的取值范围是．
（2）因为，，，所以，解得，故实数的取值范围是．
（3）因为，或，，所以，解得，故实数的取值范围是．
题型06：韦恩图在集合运算中的应用
【典例1】某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ）
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】A
【分析】作出韦恩图，将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，利用容斥原理可求得的值，即为所求.
【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，
不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合、、表示，
则，，，．

不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为，
则，，，．
由三个集合的容斥关系公式得，
解得，故接受调查的小学生共有人．
故选：A.
1、原理
容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称容斥原理。
2、解释
由图可以直接看出各部分之间的关系
由Venn图可知：（A∪B = A+B - A∩B)
由Venn图可知：（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）
3、应用
两类：如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
三类：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
4、注意
①填图时，应从较小的区域填起②图中各个区域与集合运算之间的关系
形如：某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？
【破解】
如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合表示，
则
不妨设总人数为，韦恩图中三块区域的人数分别为
即
，由容斥原理：
解得：
【变式1】高三1班有12名同学读过《牡丹亭》，有8名同学读过《醒世恒言》，两者都读过的同学有4名，则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有（ ）
A．16人 B．18人 C．20人 D．24人
【答案】A
【分析】根据集合的容斥原理即可求解.
【详解】设集合“高三1班读过《牡丹亭》的学生”，其元素个数记为；
集合“高三1班读过《醒世恒言》的学生”，其元素个数记为；
则，
则.
故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.
故选：A.
【变式2】某单位周一、周二开车上班的职工人数分别是14， .若这两天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这两天中一天开车一天不开车上班的职工人数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合的交集、并集运算求解即可.
【详解】设仅第一天开车人数为 ，仅第二天开车人数为 ，两天都开车人数为 ，
则由图知 ， ，
两式相减得 ， .
故选：C.
【变式3】我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700 B．800 C．900 D．1000
【答案】C
【分析】根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为，
则楼下食堂用午餐的学生数大约为，
原本在楼上食堂且留下的学生：占比，即，
从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的，即，
所以，解得.
所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为.
故选：C
1．对于集合M，N，定义差集且，设集合，则 ．
【答案】
【详解】因为，所以．又当时，，所以．故．
2．已知集合 ，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合元素满足的条件，确定集合，再根据交集的概念确定.
【详解】因为，
所以.
故选：B
3．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】根据题意画出图，如图所示，由图可知．
4．已知集合，且，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得或．又，所以，故．
5．定义集合的“对称差集”:且.已知集合， 下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．若，则
【答案】A
【分析】根据题设新定义的概念以及集合的基本运算法则计算即可得结果.
【详解】对于A，由，则，
所以，故A正确；
对于B，由，所以，故B错误；
对于C,由，则，
由，，则，
所以，，则，
所以，故C错误；
对于D，当时，结合选项B知，，故D错误.
故选：A.
6．[多选题]对于数集A，B，它们的积，则（ ）
A． B．若，则
C． D．集合表示y轴所在直线
【答案】BCD
【详解】由题知，表示数集A中的数表示横坐标，数集B中的数表示纵坐标所组成的点的全体，故，A错误；若，则，B正确；，则，C正确；集合表示y轴所在直线，D正确．
7．已知集合，集合，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据交集定义计算求解.
【详解】集合，集合，则集合.
故选：A.
8．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据并集的定义求出，再根据补集的定义求出.
【详解】已知，，则.
已知，，所以.
故选：A.
9．已知集合，，若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】若，且，则，即.
10．已知全集，集合，，，若，则（ ）
A．的取值有个 B．
C． D．所有子集的个数为
【答案】BCD
【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，，且，
则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误；
对于B选项，，，所以，故B正确；
对于C选项，，，故C正确；
对于D选项，，
所以，，则，
其的子集的个数为，故D正确．
故选：BCD.
11．已知全集，集合，，则 ，（ ．
【答案】 或 或．
【详解】或 利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图：
则或．又，所以或，或．
12．已知集合，．
（1）若，则 ；
（2）若，则实数的取值范围是 ．
【答案】 或
【详解】（1）当时，，则或．
（2）因为，又，所以解得．故实数的取值范围是．
13．设集合，，若，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【详解】，且B为A的子集．当时，，解得．当时，若，即，此时的解为，即，符合题意．若，即，当，即时，此时，即，解得，即，不符合题意；当，即时，由此时集合，得，解得，与矛盾，不符合题意．综上所述，实数a的取值范围为．
14．设全集，集合A满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据全集及补集写出集合A即可.
【详解】由题知，
由，得．
故选：C
15．设集合，，在集合的所有元素中，绝对值最小的元素是 .
【答案】
【分析】由集合交集运算易得结果.
【详解】，，
显然集合的所有元素中，绝对值最小的元素是.
故答案为：.
16．已知集合 ，
(1)若，求，
(2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围．
【答案】(1)，．
(2)．
【分析】（1）求出集合，然后结合集合运算可得；
（2）根据包含关系，分集合是否为空集讨论即可得解
【详解】（1）若，，，
所以，．
（2），
当时，此时，即；
当时，此时，即，
则，且两个不等式不能同时取等，解得，
综上，实数的取值范围为．
17．已知集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．
条件：①；②；③．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】解：（1）由于，所以解得．
（2）若选①，由得．
当时，则，解得，满足条件；
当时，则解得．
综上，实数a的取值范围是．
若选②，．
当时，，解得，满足条件：
当时，或，则解得．
综上，实数a的取值范围是．
若选③，．
当时，，解得，满足条件；
当时，或，则解得．
综上，实数a的取值范围是．
18．已知全集，集合，，求，.
【答案】，或
【分析】直接利用集合交集的运算、集合补集与并集的运算求解即可.
【详解】因为集，集合，，
所以
或
或
19．已知集合，.
(1)分别求，；
(2)已知，若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)或，且；
(2).
【分析】（1）应用集合的交运算求得，再由补运算求，根据的关系求；
（2）根据集合的包含关系有，即可得参数范围.
【详解】（1）由，
所以或，且；
（2）由，显然不是空集，且，
所以，可得.
20．已知集合，，，.
(1)求p，a，b的值；
(2)若，且，求m的值.
【答案】(1)，；
(2)或或.
【分析】（1）根据交集结果有求，再由并集结果有，结合根与系数关系求参数值；
（2）由包含关系并讨论、求对应参数值，即可得.
【详解】（1）由，故，可得，则，
又，则，故；
所以，；
（2）由，
若，即，满足题设，
若，即，则，或，
综上，或或.
1

展开更多......

收起↑