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专题4.2 指数函数
教学目标 1.了解指数函数，掌握指数函数的形式及条件，会根据底数区分两类函数。 2.掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域。 3.能解决与指数函数有关的综合性问题。
教学重难点 1.重点：会求复合函数的定义域、值域、单调区间，能解决与指数函数有关的实际问题及综合问题. 2.难点：掌握指数函数的图象与性质，并能利用指数函数的性质进行大小的比较、解指数方程与不等式
知识点01 指数函数的概念：
函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．
【即学即练】
1．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为是上的减函数，所以，解得，
所以的取值范围是，
故答案为：.
2．已知函数，满足，则 ．
【答案】2
【详解】由①，
用替换，得②，
②×2－①，得，得.
所以，.
故答案为：2
知识点02 指数函数的图象及性质：
时图象 时图象
图象
性质 ①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数
⑤时， 时， ⑤时， 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【即学即练】
1．已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由函数在定义域上为增函数，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故选：C.
2．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】依题意，因为为奇函数，所以函数的图像关于对称，
又当时，，易知函数在上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增，
又，可知在上单调递增，
所以可化为，
即，即，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：C．
知识点03 指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
①，②，③，④，则：
又即：时，（底大幂大）时，
（2）特殊函数
，，，的图像：
【即学即练】
1．如图，曲线是对数函数图象，已知a的取值分别为，则相应的曲线对应的a的值依次为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解法1 对数函数的曲线在第一象限部分，随着底数a的增大而逆时针旋转，故．即只有B符合．
解法2 取知，直线与四条曲线交点的横坐标满足，得．故B符合．
2．若指数函数的图象如图所示，则1，a，b，c，d由小到大的顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】利用特值法求解，取，可知．
题型01：指数函数定义的判断
【典例1】已知函数，则（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【详解】函数，则，
所以.
故选：D
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
【变式1】已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【详解】令，，
依题意可得是奇函数，是偶函数，
则，，
即，解得，
则.
故选：B
【变式2】“”是“为指数函数”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当时，为指数函数；
当为指数函数时，即，只需；
所以“”是“为指数函数”的充分不必要条件.
故选：C
【变式3】已知函数若函数的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，
任设，则，
当时，，，
所以，所以，
当时，，，
所以，所以，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值为，
当时，，
令，则，所以，开口向上，对称轴，
又因为函数的最小值为，即时，取最小值，
所以，解得,
故选：A.
题型02：利用指数函数的定义求参数
【典例1】若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数是指数函数，
所以.
故选：C
系数为1．
【变式1】若函数是指数函数，则（　　）
A．或 B．
C． D．且
【答案】C
【详解】因为函数是指数函数，
所以，解得.
故选：C.
【变式2】若函数是指数函数，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或 D．
【答案】D
【详解】解：因为函数是指数函数，
且，，
由解得或，
，
故选：D.
【变式3】函数是指数函数，则有（ ）
A．或 B．
C． D．且
【答案】C
【详解】由已知得，即得.
故选：C
题型03：求指数函数的表达式
【典例1】指数函数且图像经过点，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【详解】由题意，得，故，
故选：C
待定系数法
【变式1】已知奇函数与偶函数满足，且，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】∵奇函数与偶函数，
.
又，①
，
.②
，得，
.
.
.
.
故选：C.
【变式2】已知，且的图象如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【详解】由题中图象知，函数过，，则，所以．又，所以（负值舍去），故，
．
故选
【变式3】已知是定义在上的偶函数，则（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
【答案】A
【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，即，
又，所以，
联立，解得，，
经检验，，满足要求，
故.
故选：A.
题型04：指数型函数过定点问题
【典例1】已知函数且，给出下列四个结论:
①函数在其定义域内单调递减；
②函数的值域为；
③函数的图象是中心对称图形；
④函数的图象过定点.
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】令，此时，而，
，故函数在其定义域内不单调递减，
函数的值域不可能为；即①，②错误，
因为，的定义域关于原点对称，
故，即，
得到是奇函数，则函数的图象是中心对称图形，故③正确，
当时，，故函数的图象过定点，即④正确.
综上，其中正确结论的个数是，故B正确.
故选：B
令指数为0求解
【变式1】函数 的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于函数（），令，即.
当时，.
所以函数（）的图象恒过定点.
故选：D.
【变式2】幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为幂函数在上单调递增，
所以，解得，
所以，
令得，
所以，
所以的图象过定点.
故选：D.
【变式3】已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】函数恒过定点，
，解得，，
在上为递增的奇函数，其图象经过第一第三象限及坐标原点，
的图象不经过第四象限．
故选：D．
题型05：指数函数的图象问题
【典例1】函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题可知，函数的定义域为，关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，所以排除选项BD；又，所以排除选项C.
故选：A.
利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在轴的右边“底大图高”，在轴的左边“底大图低”．
【变式1】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设函数在上，定义域关于原点对称，
又因为，
所以函数为奇函数，排除C选项，
当时，，排除D选项，
当时，，所以A不正确，B正确.
故选：B.
【变式2】函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由，且定义域为R，故为奇函数，排除B、D；
时，都趋向于，且增长快于，所以趋向于0，排除C.
故选：A
【变式3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数是定义在上的奇函数，则函数的图象关于原点对称，
作出函数在上的图象，并在此坐标系中作出函数的图象，如图，
函数的图象与函数的图象交于点，
观察图象知，当或时，函数的图象不在函数的图象下方，
即当或时，不等式成立，
所以不等式的的取值范围是.
故选：B
题型06：指数函数的定义域、值域
【典例1】设函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，故，
故的定义域为，
令，则，故的定义域为.
故选：D.
求值域时有时要用到函数单调性，求定义域使表达式有意义．
【变式1】已知函数（且）是奇函数，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【详解】因为函数是奇函数，定义域为，
所以，
即，即，又，故解得，
此时，
则，
所以函数是奇函数，满足题意，
所以.
故选：B.
【变式2】设，用表示不超过的最大整数，例如：.已知函数则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，此时，或1；
当时，，此时0，或1；
当时，，
此时，所以的值域为.
故选：A.
【变式3】已知 是奇函数，则不正确的是（ ）
A． B．上单调递增
C．的值域为 D．的解集为
【答案】B
【详解】A：由，得，即函数的定义域为，
由为奇函数，得，
即，整理得，
又，所以，解得.故A正确；
B：由选项A知，
当时，.又函数在上为增函数，
所以在上为减函数，故B错误；
C：令，得，解得或，
所以的值域为，故C正确；
D：因为在上为减函数，且为奇函数，
所以在上为减函数，且，
由得，解得，
即原不等式的解集为，故D正确.
故选：B
题型07：指数函数的单调性及其应用
【典例1】已知函数且且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为且，
不妨设，则，
则，
所以，
令函数
则为上的增函数，则
解得.
故选：D.
研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反．
【变式1】已知函数，则下列命题正确的是（ ）
①对于任意、，都有成立；
②对于任意、，且，都有成立；
③对于任意、，且，都有成立；
④存在实数，使得对于任意实数，都有成立．
A．①② B．③④ C．②③④ D．②③
【答案】D
【详解】因为，且该函数在上为增函数，
对于①，对于任意、，都有，①错；
对于②，对于任意、，且，不妨设，则，
则，②对；
对于③，对于任意、，且，
，③对；
对于④，若存在实数，使得对于任意实数，都有成立，
则函数的图象关于直线对称，事实上，函数的图象无对称轴，④错.
故选：D.
【变式2】已知函数.若对于任意的都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由对于任意的都有，
可知函数在R上单调递减.
由函数的图象关于直线对称，
知函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
二次函数的对称轴为.
若函数单调递减，必有，可得，
当时，不等式可化为，
在平面直角坐标系中画出函数的图象，
又由，
由图象可知不等式的解集为，
故实数的取值范围为.
故选：B
【变式3】已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数
C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数
【答案】B
【详解】由，其定义域为R，关于原点对称，
，所以是奇函数.
又，
因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且，
所以在R上单调递减，则在R上单调递增，
那么在R上单调递增.
故单调递增且是奇函数.
故选：
题型08：比较指数幂的大小
【典例1】已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】易知定义域上单调递增，
在上分别为单调递减、单调递增函数.
所以，故A正确.
故选：A
在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断．
【变式1】若函数的定义域为，值域为，则等于（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【详解】，，
∴则函数为常数，且在单调递增，
又∵函数的定义域为，
函数的值域为，
，
.
故选：A.
【变式2】已知函数，记，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】函数，
设,开口向上，对称轴为，
又因为，
所以，
又因为为单调减函数，所以
则.
故选：A.
【变式3】函数，且，则和的不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：，
，
又，
当时，，，则，
即；
当时，，，则，
即；
当时，，，则，
即；
综上，.
故选：C
题型09：解指数型不等式
【典例1】已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为为偶函数，为奇函数，且①，
所以，②，
①②两式联立可得，.
由可得，
可得，
令，其中，
任取、且，则，
所以，
，
当时，则，则，则，
当时，则，则，则，
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
又因为，，则，
令，则，则，
因为函数、在上均为增函数，则，
故，即，故的最大值为.
故选：C.
利用指数函数的单调性求解．
【变式1】已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以，，
因为，①
所以，
所以，②
①②得，，
因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，
所以在上单调递增，又，
若恒成立，则恒成立，
所以恒成立，
所以恒成立，
所以只需，
因为，，所以（当且仅当，即时取等号），
所以（当且仅当时，取等号），
所以，
所以的取值范围为.
故选：B．
【变式2】已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为，，为某一个三角形的三条边长，
所以，对任意，，，恒成立，
函数，
当时，，满足，符合题意；
当时，在上递减，
所以函数的值域为，
所以且，
所以，又，所以，
当时，在上递增，
函数的值域为，
所以且，
所以，解得，所以，
综上的取值范围是．
故选：D．
【变式3】若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由得：，
令，则当时，，，
，解得：，即实数的取值范围为.
故选：D.
题型10：判断函数的奇偶性
【典例1】若函数在其定义域内是奇函数或偶函数，则称具有奇偶性.以下函数中，具有奇偶性的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】选项A，令，则，解得.
所以函数的定义域是，定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性；
选项B，为使函数的分子有意义，，于是恒成立，
故，
因为，
故是奇函数；
选项C，函数的定义域是，，
，
故为奇函数；
选项D，画出的图象，如图，图象关于y轴对称，
故为偶函数.
故选：BCD．
利用奇偶性的性质求解．
【变式1】下列函数中，与函数有相同奇偶性的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】由得
即函数是定义在上的偶函数，
对于A：，奇函数，
对于B：，偶函数，
对于C：，奇函数；
对于D：，偶函数.
故选：BD.
【变式2】已知函数.
(1)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)判断的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明；
(3)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)单调递增，证明见解析
(2)奇函数，证明见解析
(3)
【详解】（1）任取，且，
则
，
由，得，所以，
又由，得，所以，
于是，即，
所以在上单调递增；
（2）函数的定义域为，关于原点对称，
因为都有，
且
，
所以为奇函数；
（3）因为是上单调递增奇函数，
则由可得，
所以原不等式可转化为：对恒成立，
令，即对恒成立，
，.
【变式3】已知函数.
（1）利用函数单调性的定义证明：对任意实数，函数是其定义域上的增函数；
（2）试确定实数的值，使为奇函数，并用函数奇偶性的定义加以证明.
【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析
【详解】（1）由已知，函数的定义域为，任取，设，
则
∵，∴，∴，又，
∴，∴.
∴在其定义域上是增函数.
（2）要使是定义域为的奇函数.则，
得，此时
下面用定义证明为奇函数
∵
∴为奇函数.
1．若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由可知：当时，，
即当时，，
可得在上单调递增，
因为是定义在上的偶函数，偶函数的图象关于轴对称，
所以在上单调递减，且，，
可得，即，
又因为，，
所以，
易知，恒成立，因此，，即，,
的值域是，的值域是，
解得.
故选：D.
2．设是定义在R上的偶函数，当时，．若对任意，均有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由函数是偶函数，则，
当时，，可得，
所以，
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，由，则，由，则，
由函数在上单调递增，则不等式显然不成立；
当，即时，由，则，
由，则，由函数在上单调递减，则不等式显然成立；
当，即时，
①当时，，由，则，
由，则，由函数在上单调递减，则不等式显然成立；
②当且时，由，则，
由，则，由函数在上单调递增，则，
化简可得，解得；
当且时，由，则，
由，则，由函数在上单调递增，则不等式显然不成立.
综上所述，.
故选：D.
3．已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减，
则一定有，解不等式组得.
故选：B.
4．若奇函数对任意都有，且当时，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【详解】由于函数对任意都有，
所以，所以是周期为4的函数，
所以.
由于是奇函数，所以.
故选：A
5．已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数，
此时要使得函数在区间上单调递增，
则满足二次函数在区间上单调递减，
即满足对称轴，解得，结合，可得；
当时，，所以外函数是单调递增的指数函数，
此时要使得函数在区间上单调递增，
则满足二次函数在区间上单调递增，
即满足对称轴，解得，结合，可得；
综上可得a的取值范围是或，
故选：A.
6．已知的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】若，当时，在上单调递减，此时；当时，，当且仅当时，等号成立，又函数的值域满足，则解得．若，则当时，；当时，，当且仅当时，等号成立，又函数的值域，满足，成立．若，当时，在上单调递增，此时，则，而不成立，所以此时不成立．综上所述，．
7．设函数则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，函数是减函数，则．作出的大致图象如图所示，结合图象可知，要使，则需或所以．
8．已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称，
又对任意的，，都有，
即在上单调递增，结合对称性则在上单调递减，
所以，
即①，显然无解；
或②，解之得.
故选：C
9．函数的最大值和最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，令，
可知函数的定义域为，且，
故函数为奇函数，
根据奇函数的性质可知，函数的最大值与最小值之和为，
即，
故．
故选：B．
10．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（-1，3）
【答案】A
【详解】当时，，易知其为增函数且，
又函数是定义在R上的奇函数，
则满足，
所以，函数在上是连续函数，
所以函数在R上是增函数，
，∴
，
∴，
即，，
又，
∴，即，
即原不等式的解集为．
故选：A.
11．设、都是定义在上的两个函数，若对于任意的，都有，则称与在上是“密接函数”，称为“密接区间”.设与在区间上是“密接函数”，则它们的“密接区间”可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】由可得，故，
当时，不成立，故A错误，
当时，不成立，故D错误，
当时，由于指数函数与直线至多两个交点，且时，，时，，结合函数图象可知：当时，成立，
而当时，的最大值为2，的最小值为2，故，
综上可知对任意的都有，
故是与的“密接区间”，故BC正确，
故选：BC

12．已知函数，，，则（ ）
A．的单调递减区间为
B．的图象为轴对称图形
C．的图象关于原点对称
D．满足的x的取值范围为
【答案】ABC
【详解】对于A中，因为，
则的单调递减区间为，所以A正确；
对于B中，因为，故的图象的对称轴为，所以B正确；
对于C中，因为，可得的定义域为关于原点对称，
且，所以为奇函数，
所以函数图象关于原点对称，所以C正确；
对于D中，由，可得，即，
可得，解得，所以D错误.
故选：ABC.
13．双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．的值域为
C．，则
D．，则
【答案】ABD
【详解】对于A选项，
，A对；
对于B选项，，
因为，则，故，故，
即函数的值域为，B对；
对于C选项，对任意的，，故函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
任取、，且，则，
所以，
即，故函数为上的增函数，且为奇函数，
由可得，
故，解得，C错；
对于D选项，，
当时，由整理可得，
即，故，D对.
故选：ABD.
14．已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为函数在上单调递减，
∵，解得
∴实数a的取值范围为
故答案为：.
15．已知函数的值域为，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当时，；
又函数的值域为，所以在上恒成立，所以，
解得，即的取值范围是．
故答案为：.
16．已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则当时， .
【答案】
【详解】∵函数是定义在上的偶函数，.
又，.
以代替可得，
∴函数是周期为4的周期函数.
当时，.
∵当时，，∴.
由周期性可得，
.
故答案为：.
17．已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若在恒成立，求实数的范围
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，
由，得，则，因此，
所以函数的值域是.
（2），，
由（1）知，，
，当且仅当，即时取等号，则，
所以实数的范围是.
18．已知函数为奇函数.
(1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集；
(2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，单调递增，；
(2).
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，所以，
所以，
，所以符合函数是奇函数，所以；
因为单调递增，单调递减，
所以单调递增，
因为，所以，
所以，所以，解集为：.
（2），，所以，
所以，
令，所以，，
当时，，
所以，即.
19．已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设定义在上的函数，满足，．
(1)求函数的解析式；
(2)计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心；
(3)若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)，对称中心为
(3)
【详解】（1）由题意可得，解得，
故.
（2），
故关于中心对称.
（3）由，则，
则，
因在上单调递增且恒为正，则在上单调递减，
故在上恒成立，
令，由，则，
则有在上恒成立，
即在上恒成立，
因函数在上单调递增，在上单调递减，
故，则，
故实数的取值范围为.
20．已知函数是定义域为的偶函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法给出证明；
(3)令，，求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)单调递减，证明见解析
(3)
【详解】（1）设，则,
∵时，,
∴,
∵是定义域为的偶函数,
∴,
∴,
∴.
（2）由（1）知，当时，,
所以函数在区间上单调递减,
证明如下：
在区间上任取，，且,
由,
又∵,∴，,∴,∴,∴,
∴函数在区间上单调递减.
（3）∵当时,∴在上单调递增,
∵,
∴,∴,∴不等式的解集为.
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专题4.2 指数函数
教学目标 1.了解指数函数，掌握指数函数的形式及条件，会根据底数区分两类函数。 2.掌握指数函数的图象与性质，能根据指数函数的性质进行方程、不等式的求解，比较大小，及函数的单调区间的求解、会求与指数函数相关的函数的定义域、值域。 3.能解决与指数函数有关的综合性问题。
教学重难点 1.重点：会求复合函数的定义域、值域、单调区间，能解决与指数函数有关的实际问题及综合问题. 2.难点：掌握指数函数的图象与性质，并能利用指数函数的性质进行大小的比较、解指数方程与不等式
知识点01 指数函数的概念：
函数________（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．
【即学即练】
1．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 .
2．已知函数，满足，则 ．
知识点02 指数函数的图象及性质：
时图象 时图象
图象
性质 ①定义域，值域
②，即时，，图象都经过________点
③，即时，等于底数
④在定义域上是________ ④在定义域上是________
⑤时， 时， ⑤时， 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【即学即练】
1．已知函数在定义域上为增函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
知识点03 指数函数底数变化与图像分布规律
（1）
①，②，③，④，则：____________________
又即：时，（底大幂大）时，
（2）特殊函数
，，，的图像：
【即学即练】
1．如图，曲线是对数函数图象，已知a的取值分别为，则相应的曲线对应的a的值依次为（ ）
A． B． C． D．
2．若指数函数的图象如图所示，则1，a，b，c，d由小到大的顺序是（ ）
A． B． C． D．
题型01：指数函数定义的判断
【典例1】已知函数，则（ ）
A． B． C． D．4
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
【变式1】已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则（ ）
A． B． C． D．0
【变式2】“”是“为指数函数”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式3】已知函数若函数的最小值为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型02：利用指数函数的定义求参数
【典例1】若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
系数为1．
【变式1】若函数是指数函数，则（　　）
A．或 B．
C． D．且
【变式2】若函数是指数函数，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．1或 D．
【变式3】函数是指数函数，则有（ ）
A．或 B．
C． D．且
题型03：求指数函数的表达式
【典例1】指数函数且图像经过点，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
待定系数法
【变式1】已知奇函数与偶函数满足，且，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式2】已知，且的图象如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．或
【变式3】已知是定义在上的偶函数，则（ ）
A．－4 B．0 C．2 D．4
题型04：指数型函数过定点问题
【典例1】已知函数且，给出下列四个结论:
①函数在其定义域内单调递减；
②函数的值域为；
③函数的图象是中心对称图形；
④函数的图象过定点.
其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
令指数为0求解
【变式1】函数 的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式2】幂函数在上单调递增，则的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型05：指数函数的图象问题
【典例1】函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在轴的右边“底大图高”，在轴的左边“底大图低”．
【变式1】我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.在数学的学习和研究过程中，常用函数图像来研究函数的性质，也经常用函数解析式来分析函数的图像特征，函数在的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型06：指数函数的定义域、值域
【典例1】设函数，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
求值域时有时要用到函数单调性，求定义域使表达式有意义．
【变式1】已知函数（且）是奇函数，则（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【变式2】设，用表示不超过的最大整数，例如：.已知函数则的值域为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知 是奇函数，则不正确的是（ ）
A． B．上单调递增
C．的值域为 D．的解集为
题型07：指数函数的单调性及其应用
【典例1】已知函数且且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反．
【变式1】已知函数，则下列命题正确的是（ ）
①对于任意、，都有成立；
②对于任意、，且，都有成立；
③对于任意、，且，都有成立；
④存在实数，使得对于任意实数，都有成立．
A．①② B．③④ C．②③④ D．②③
【变式2】已知函数.若对于任意的都有，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数
C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数
题型08：比较指数幂的大小
【典例1】已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断．
【变式1】若函数的定义域为，值域为，则等于（ ）
A． B． C．5 D．6
【变式2】已知函数，记，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】函数，且，则和的不等关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型09：解指数型不等式
【典例1】已知函数为偶函数，为奇函数，且满足.若对任意的，均有不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
利用指数函数的单调性求解．
【变式1】已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且满足．若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知函数，若对任意、、，总有、、为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
题型10：判断函数的奇偶性
【典例1】若函数在其定义域内是奇函数或偶函数，则称具有奇偶性.以下函数中，具有奇偶性的函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
利用奇偶性的性质求解．
【变式1】下列函数中，与函数有相同奇偶性的函数有（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】已知函数.
(1)判断的单调性，并用函数单调性的定义证明；
(2)判断的奇偶性，并用函数奇偶性的定义证明；
(3)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
【变式3】已知函数.
（1）利用函数单调性的定义证明：对任意实数，函数是其定义域上的增函数；
（2）试确定实数的值，使为奇函数，并用函数奇偶性的定义加以证明.
1．若是定义在上的偶函数，对，当时，都有，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设是定义在R上的偶函数，当时，．若对任意，均有，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若奇函数对任意都有，且当时，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
5．已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．设函数则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的定义域为，为偶函数，若对任意的，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
9．函数的最大值和最小值之和为（ ）
A． B． C． D．
10．若函数是定义在上的奇函数，当时，，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．（-1，3）
11．设、都是定义在上的两个函数，若对于任意的，都有，则称与在上是“密接函数”，称为“密接区间”.设与在区间上是“密接函数”，则它们的“密接区间”可以是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，，，则（ ）
A．的单调递减区间为
B．的图象为轴对称图形
C．的图象关于原点对称
D．满足的x的取值范围为
13．双曲函数是数学中一类重要的函数，在工程技术应用等问题中经常用到，已知：双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数 ，且当时有，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．的值域为
C．，则
D．，则
14．已知，且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围为 .
15．已知函数的值域为，则的取值范围是 ．
16．已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则当时， .
17．已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)若在恒成立，求实数的范围
18．已知函数为奇函数.
(1)求实数k的值， 判断函数的单调性（无需证明）， 并求不等式的解集；
(2)若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
19．已知结论：设函数的定义域为，若对恒成立，则的图象关于点中心对称，反之亦然．特别地，当时，的图象关于原点对称，此时为奇函数．设定义在上的函数，满足，．
(1)求函数的解析式；
(2)计算的值，并根据结论写出函数的图象的对称中心；
(3)若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．
20．已知函数是定义域为的偶函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法给出证明；
(3)令，，求不等式的解集.
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