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第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“任意实数，都有”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．设集合，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2或
4．已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
5．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个．
A．14 B．16 C．18 D．20
6．已知命题：，，命题：，，则（ ）
A．和均为真命题 B．和均为真命题
C．和均为真命题 D．和均为真命题
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中，真命题是（ ）
A．函数的最小值为3
B．“”是“”的充分不必要条件；
C．“是方程的一个实数根”的充要条件是“”；
D．设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件；
10．下列有关命题的叙述：其中正确的是（ ）
A．若为假命题，则为真命题
B．空集是任何集合的真子集
C．命题：，则
D．命题：“”是“”的充要条件
11．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设，，若，则实数a的值为 .
13．设集合，，则满足且的集合有 个
14．已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合，或．
(1)求，；
(2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围．
16．（15分）已知，，全集．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
17．（15分）设集合，集合，．
(1)若集合是空集，求的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
18．（17分）设全集，集合，集合
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
19．（17分）我们知道，如果集合A S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题:
(1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集);
(2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求;
(3)若集合，集合，且A-B= ，求实数a的取值范围.
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第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“任意实数，都有”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可得出答案.
【详解】命题“任意实数，都有”的否定是:
.
故选：B.
2．设集合，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令或分类讨论即可．
【分析】因为集合，，
若，由集合的互异性知，则或．
当时，，
，有，得，
所以；
当时，集合，，有，
又，所以，得，不满足题意．
综上．
故选：C．
3．已知集合，若，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．2或
【答案】A
【分析】由集合包含关系，分，两类情况讨论即可.
【详解】.
当时，，则，不符合题意；
当时，，则，即，符合题意.
故选：A
4．已知集合若，则a的取值构成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过和两类情况讨论即可.
【详解】由题得，因为，所以.
当时，，满足；
当时，，因为，所以或，解得1或，
综上的取值构成的集合为.
故选：D.
5．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（ ）个．
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可.
【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可，
故满足条件的集合有：，，，，，，
，，，，，，，，
，.
故选：B.
6．已知命题：，，命题：，，则（ ）
A．和均为真命题 B．和均为真命题
C．和均为真命题 D．和均为真命题
【答案】C
【分析】由判别式的正负可判断，由可判断；
【详解】由，，可知方程无解，故为假命题，为真命题；
，
因为，所以成立，即为真命题，为假命题，
故选：C
7．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可求解.
【详解】若“”，则有，可推出“”成立，
若“”，则有或，解得或，推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
8．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据取整函数的定义，结合特列法以及充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】如果，那么和的整数部分是相同的，所以，
即“”是“”的必要条件，
如果，那么和的整数部分不一定相同，
例如，所以“”不是“”的充分条件.
综上，“”是“的必要不充分条件.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题中，真命题是（ ）
A．函数的最小值为3
B．“”是“”的充分不必要条件；
C．“是方程的一个实数根”的充要条件是“”；
D．设，，，，，都不为0，不等式的解集为，不等式的解集为，则“”是“”的充要条件；
【答案】BC
【分析】举反例判断A，D，利用充分不必要条件的定义判断B，利用充要条件的定义判断C即可.
【详解】对于A，令，则，
则函数的最小值不可能为3，故A错误，
对于B，对于充分性，当时，成立，则充分性成立，
对于必要性，令，满足，不满足，则必要性不成立，
得到“”是“”的充分不必要条件，故B正确，
对于C，对于充分性，将代入中，
得到，故充分性成立，
对于必要性，当时，则，
代入方程中，得到，
则，显然是方程的一个根，即必要性成立，故C正确，
对于D，令，，
满足，此时化为，
解得，故，
此时可化为，
解得，故，显然，
则“”不可能是“”的充要条件，故D错误.
故选：BC
10．下列有关命题的叙述：其中正确的是（ ）
A．若为假命题，则为真命题
B．空集是任何集合的真子集
C．命题：，则
D．命题：“”是“”的充要条件
【答案】AC
【分析】由命题及其否定真假相反可判断A，由空集的概念可判断B，由特称命题的否定为全称命题可判断C，通过可得判断D;
【详解】对于A，由命题及其否定一定一真一件可知，故正确；
对于B：空集不是空集的真子集，故错误；
对于C：，则，故正确；
对于D，若，时，则不成立，故错误；
故选：AC
11．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.
【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为，
所以选项AD正确，选项BC不正确.
故选：AD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设，，若，则实数a的值为 .
【答案】或或
【分析】化简集合，讨论，，两种情况，即可求得a的值．
【详解】集合，
由可得，
若，，满足，
若，，若，
则或
得或．
综上，实数a的取值为或0或1．
故答案为：或0或1．
13．设集合，，则满足且的集合有 个
【答案】12
【分析】由集合的包含关系及交集运算即可求解.
【详解】因为且，，．
中一定含有4或5或4、5．当
中含有一个元素时，或，共2个；
当中含有两个元素时，，，，，，共5个；
当中含有三个元素时，，，，，共4个；
当中含有四个元素时，，共1个．
所以满足条件的集合有个．
故答案为：12
14．已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设集合或，或，由题意可得，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】设集合或，或，
若是的必要条件，则，
当时，即时，此时，成立；
当时，即时，若，此时，该不等式组无解.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知集合，或．
(1)求，；
(2)若集合，且“，”为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)或，
(2)或
【分析】（1）求出集合然后求其补集即可，求出集合的补集，再求与集合的交集即可.
（2）由题意可得，讨论集合是否为空集即可.
【详解】（1）集合，或，
则或，，则
（2），为真命题，即，
又，，
当时，，即，此时，符合题意；
当时，由可得或，解得，
综上，m的取值范围为：或．
16．（15分）已知，，全集．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据并集与补集的运算求解即可；
（2）分与由条件列不等式求范围即可.
【详解】（1）当时，，
所以或，又，
所以或；
（2）当时，有，解得；
当时，有，解得，
综上所述a的取值范围为.
17．（15分）设集合，集合，．
(1)若集合是空集，求的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由空集构造不等式求解即可；
（2）由条件确定集合是集合的真子集，再构造不等式求解即可；
【详解】（1）因为集合是空集，所以，
解得，所以的取值范围为．
（2）．
集合不是空集，则，解得．
“”是“”的充分不必要条件等价于集合是集合的真子集，
则，等号不同时取到，解得，
故的取值范围为．
18．（17分）设全集，集合，集合
(1)当时，求和；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）根据集合的基本运算可得结果.
（2）把条件转化为 ，利用集合间的基本关系可求参数的取值范围.
【详解】（1）当时，，或，
∴，或.
（2）∵“”是“”的充分不必要条件，
∴ ，
∴（等号不同时成立），解得，
∴实数a的取值范围为.
19．（17分）我们知道，如果集合A S，那么把S看成全集时，S的子集A的补集为 ，且. 类似的，对于集合A，B，我们把集合，且叫作集合A与B的差集，记作.据此回答下列问题:
(1)在图中用阴影表示出集合(其中U是全集，A，B为U的子集);
(2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求;
(3)若集合，集合，且A-B= ，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3).
【分析】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；
（2）根据差集的概念，求出的结果，进而再一次利用差集的概念求得；
（3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可.
【详解】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示：
（2），，根据差集概念，，
令，再根据差集概念得：
（3）因为，所以.
由可得.
当时，，不等式不成立，此时，满足.
当时，.
因为，所以.
解，因为，此不等式恒成立.
解，两边同乘得，即.
结合，则.
当时，.
因为，所以.
解，两边同乘（不等号变向）得，即.
解，两边同乘（不等号变向）得，即，
结合，取.
综上，的取值范围是
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