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第三章 函数的概念与性质（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（ ）
A． B．m C．2m D．4m
2．已知定义在上的函数满足，且满足为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的周期为2
C．函数关于点中心对称
D．
3．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义域为的偶函数满足，则（ ）
A．3 B．2 C．6 D．10
6．已知函数是以4为周期的偶函数，且当时，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
7．若，其中表示，中的最大者，表示中的最小者，下列说法不正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．当时，有
C．不等式的解集为
D．当时，有
8．已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．是奇函数
D．的单调递减区间为和
10．设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．若，则
D．存在，使得
11．已知函数的定义域为R，对称中心是，且满足，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于轴对称
C．
D．若函数满足，则
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为 .
13．已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为 ．
14．对于函数，若对于任意的，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数对任意的，都有，且当时，.
(1)判断函数的单调性并证明；
(2)若，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
16．已知 ，函数
(1)当 时，直接写出函数 的单调增区间（不需证明）;
(2)当 时，求 在区间 上的最值;
(3)设 ，函数 在上既有最大值又有最小值，请分别求出 的取值范围（用 表示）.
17．函数，满足，且在时恒成立.
(1)求a、c的值；
(2)若，解不等式；
(3)是否存在实数m，使函数在区间上有最小值？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.
18．意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年雅各布.伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案.1961年他的弟弟约翰 伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案.至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下的性质:
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数，）利用上述性质，解决一下问题:
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)证明：有惟一的正零点，并比较和的大小.
19．为预防流感，某学校对教室用药熏消毒法.已知室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的关系近似满足如图所示曲线，根据图中提供的信息，从下列函数中选取恰当的两个函数，完成解答.①②③④
(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的解析式，并简要说明你选取的理由；
(2)据测定，当每立方米空气中的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.
（参考数据：，结果保留2位小数）
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第三章 函数的概念与性质（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义在上的函数满足，若函数与的图象的交点为，，…，，则（ ）
A． B．m C．2m D．4m
【答案】B
【详解】由函数满足，可得函数的图象关于点中心对称，
又由函数，可得，
则，所以的图象也关于点中心对称，
所以两个函数和的图象的交点也关于点对称，
则两个对称点的纵坐标之和为，可得.
故选：B.
2．已知定义在上的函数满足，且满足为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的周期为2
C．函数关于点中心对称
D．
【答案】A
【详解】由为奇函数，则，
又因为，所以有，
由此可得，所以有，故函数的周期为,故B错误；
由函数的周期为，所以有，故函数的图象关于直线对称，故A正确在；
由，可得函数关于点中心对称，故函数不关于点成中心对称，故C错误；
由，令，得，
而，故D错误；
故选：A.
3．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意，
当时，
因为为二次函数，且函数在区间上单调递增，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选：.
4．当时，不等式恒成立，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】①当时，不等式化为，显然恒成立，满足题意；
②当时，令，则在上恒成立，
函数的对称轴为，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则有，解得；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则有，解得.
综上可知，的取值范围是.
故选：A.
5．已知定义域为的偶函数满足，则（ ）
A．3 B．2 C．6 D．10
【答案】A
【详解】因为是定义域为的偶函数，所以.
已知，将换为，可得，又因为，所以.
由和可得.
令，则，那么，又因为，所以，
即，所以函数的周期是，所以.
在中，令，可得，即，解得，所以.
故选：A.
6．已知函数是以4为周期的偶函数，且当时，，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】C
【详解】函数是以4为周期的偶函数，
，
当时，，
，，
故选：C.
7．若，其中表示，中的最大者，表示中的最小者，下列说法不正确的是（ ）
A．函数为偶函数
B．当时，有
C．不等式的解集为
D．当时，有
【答案】C
【详解】若，解得或，
结合二次函数和一次函数知，
若，解得或，
结合二次函数和一次函数知，
所以，
画出的图象如下，
结合图象及，知为偶函数，故A正确；
当时，即，所以，
所以，所以成立，故B正确；
对于C，令，则，
当时，，解得，
当时，，解得或，又，所以，
当时，，解得，
综上，，故，
当时，，解得，
当时，，解得或，
当时，，解得，
综上，不等式的解集为，故C错误；
对于D，当，令，
结合偶函数的性质，时，则等价于，
结合B分析，当时，有成立，故D正确．
故选：C
8．已知奇函数的定义域为，且在上单调递增．若存在，使得，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数为上的奇函数，
则，
又在上单调递增， 则在上单调递增，
则，
则，使得，，使得，
即，在有解，
则，，
令，则，
又，则，，
即，则，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．的定义域为
B．的值域为
C．是奇函数
D．的单调递减区间为和
【答案】ACD
【详解】对于A，函数中，，因此其定义域为，A正确；
对于B，，因此的值域不为，B错误；
对于C，，有，，
函数是奇函数，C正确；
对于D，由对勾函数性质知，在上单调递减，在上单调递增，
又是奇函数，则在上单调递减，在上单调递增，
因此的单调递减区间为和，D正确.
故选：ACD
10．设函数对任意的x，，都有，函数在上单调递增，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．是偶函数
C．若，则
D．存在，使得
【答案】ABC
【详解】，
令，可得：，
所以，
令，可得：，
所以，A正确；
令，可得：，
即，偶函数，B正确；
由，可得：，
由函数是偶函数及已知单调性可得：，
易知恒成立，由，可得：；C正确；
由函数是偶函数且在上单调递增可知其最小值为，D错误；
故选：ABC
11．已知函数的定义域为R，对称中心是，且满足，下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于轴对称
C．
D．若函数满足，则
【答案】AB
【详解】对于A，因为的对称中心是，且在有定义，所以，
因为，所以令，得到，故A正确，
对于B，因为的对称中心是，所以是奇函数，
得到，即，
而，则，
得到，故，
即是偶函数，则函数的图象关于轴对称，故B正确，
对于C，因为，所以，
则，故C错误，
对于D，因为，所以，
故，即是周期为的周期函数，
因为，所以，
则，
故是周期为的周期函数，而，
，，，
故，
，
因为，所以，
故，
即，
故，
，故D错误.
故选：AB
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】因对任意的，且，都有，
则在上单调递减，
又为奇函数及，所以，
则为偶函数，且，故在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，则，
当时，，得，解得或,
故；
当时，，即，
得或，解得或，
综上，不等式的解集为.
故答案为：
13．已知函数在定义域上单调递增，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】分段函数要是单调递增函数，必须每一段都是单调递增函数，
且左边一段的最大值小于等于右边一段的最小值.
所以，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
14．对于函数，若对于任意的，，，为某一三角形的三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知函数是“可构成三角形的函数”，则实数的取值范围 .
【答案】
【详解】由题意知对任意的，恒成立，
则，
因为，
当时，，显然满足；
当时，，，则，
所以，，
所以，即，
此时没有最小值，所以，解得，故；
综上，.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知函数对任意的，都有，且当时，.
(1)判断函数的单调性并证明；
(2)若，不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)函数在上单调递增，理由见解析
(2)
【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下：
由可得，，
当时，，
令，则有，所以，
所以函数在上单调递增.
（2）由，则，所以，
，所以，
所以，
所以对任意的恒成立，
当时，恒成立；
当时，
若，可化为，
即，即，
因为函数在单调递减，所以，
所以，解得与矛盾，舍去；
若，可化为，
即，即，
由对勾函数性质可知，函数在单调递减，单调递增，
所以，
所以，解得，又，所以符合要求；
若，
令函数，
则对任意的恒成立，
当时，，
对称轴为，
由，
故当或时，即或时，即时，符合要求，
当，即，即时，
须有，解得，即符合要求，
即当时，在恒成立；
当时，，
则有对称轴，
故只需，解得，即，
故当时，在恒成立；
综上所述，实数的取值范围是.
16．已知 ，函数
(1)当 时，直接写出函数 的单调增区间（不需证明）;
(2)当 时，求 在区间 上的最值;
(3)设 ，函数 在上既有最大值又有最小值，请分别求出 的取值范围（用 表示）.
【答案】(1)和；
(2)最大值是1，最小值是0；
(3)答案见解析．
【详解】（1）时，，
所以增区间是和；
（2）由（1）知在上递增，在上递减，在上递增，
，，又，，
所以在上的最大值是1，最小值是0；
（3），
①当时，函数的图象如图①所示，
因为函数 在上既有最大值又有最小值，是开区间，
所以最大值，最小值只能在和处取得，，，
由解得（负值舍去），，
所以，；
②当时，函数的图象如图②所示，
因为函数 在上既有最大值又有最小值，是开区间，
所以最大值，最小值只能在和处取得，，，
由解得（正值舍去），，
所以，．
综上，时，，；时，，．
17．函数，满足，且在时恒成立.
(1)求a、c的值；
(2)若，解不等式；
(3)是否存在实数m，使函数在区间上有最小值？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)存在，或.
【详解】（1）由,得，
因为在上恒成立，即在上恒成立，
所以且，所以，所以，所以，
所以.
（2）由(1)得，
因为，
所以，
由得，
所以，
所以，当时，不等式的解为，
当时，不等式无解，
当时，不等式的解为；
综上所述:当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为空集；
当时，原不等式的解集为.
（3）因为，
所以的图象是开口向上的抛物线,对称轴为直线，
假设存在实数，使函数在区间上有最小值，
①当，即时，函数在区间上是增函数，所以，
即，
化简得:，
所以，
解得或，
因为,所以.
②当,即时,函数的最小值为，
即，
化简得:，解得或，
因为，所以或都舍去.
③当，即时，在区间上是减函数，
所以的最小值为，
即，
化简得:，
解得或，
因为，所以.
综上,存在实数,当或时， 函数在区间上有最小值.
18．意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年雅各布.伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案.1961年他的弟弟约翰 伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案.至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数.记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下的性质:
①定义域均为，且在上是增函数；
②为奇函数，为偶函数；
③（常数是自然对数，）利用上述性质，解决一下问题:
(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
(2)证明：对任意实数，为定值；
(3)证明：有惟一的正零点，并比较和的大小.
【答案】(1)双曲正弦函数，双曲余弦函数；(2)证明见解析；
(3)证明见解析；.
【详解】（1）因为为奇函数，所以；
又为偶函数，所以，
由可得；
即，可得；
即可得双曲正弦函数，双曲余弦函数；
（2）证明：将和代入可得：
为定值；
因此可得对任意实数，为定值；
（3）证明：依题意可得，
当时，易知在上单调递增；
且，，即，
由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，即，
可得，两边同时取对数可得，
所以，
因为在上单调递增，所以；
因此，
可得.
19．为预防流感，某学校对教室用药熏消毒法.已知室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的关系近似满足如图所示曲线，根据图中提供的信息，从下列函数中选取恰当的两个函数，完成解答.①②③④
(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）的解析式，并简要说明你选取的理由；
(2)据测定，当每立方米空气中的含药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室.
（参考数据：，结果保留2位小数）
【答案】(1)，答案见解析 (2)0.68小时
【详解】（1）因为随着时间的增加，的值先增后减，由图可知第一段线段为增函数，第二段曲线为减函数，故选①和③.
又线段经过点，则，解得，故图中第一段线段的方程为，
又因为点在曲线上，所以，解得
故从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为
（2）因为药物开始释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.2毫克，学生也不能进入教室，
所以只能当药物释放完后，室内药量减少到0.2毫克以下时，学生方可进入教室，
故，即，两边取以10为底的对数得，
即得，解得.
所以从药物释放开始，至少需要经过0.68小时，学生才能回到教室.
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