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第三章 函数的概念与性质（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将中的最大数记为，则函数的最小值为（ ）
A．1 B．5 C．4 D．6
【答案】B
【详解】作函数的图象如图．令得点，则由图可知函数的最小值为5．
2．对于任意的，函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的个位数字为7
【答案】D
【详解】对于任意的，函数满足，，
对于A，令，得，A错误；
对于B，令，得，即，
则，B错误；
对于C，，则，
令，得，令，得，则，
则，，C错误；
对于D，，由，得，
，
当x是正奇数时，的个位数字依次为：，周期为5，
，，因此的个位数字为7 ，D正确.
故选：D
3．已知函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增.设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以.
所以，.
又因为函数在上单调递增，
且，
所以，即.
故选：D
4．函数的部分图象（虚直线方程为）大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于函数，由可得，故函数的定义域为，
，故函数为奇函数，可排除CD选项，
当时，，可排除B，从而可得A正确.
故选：A.
5．已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】由，用代换，可得，
联立方程组，可得，即，
又由函数为偶函数，且，可得与同号，
所以，可得函数是周期为的函数，
因为，与同号，则，
令，可得，所以，
则.
故选：C.
6．已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，故函数的值域为.
设，若存在，使得成立，即，只需，
即对于，满足成立，
即，
解得.
故选：D
7．对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数的值域为
C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为
【答案】C
【详解】对于A，因为当时，，当时，，
即，即函数不是奇函数，故A错误；
对于B，由取整函数的定义可知，，则，
即函数的值域为，故B错误；
对于C，不妨设函数最小正周期为，则，且，
取，即得，即，则为整数，
又因，，
故函数的最小正周期为1，故C正确；
对于D，由可得：，解得，
而是整数，则得，故，即不等式的解集为，故D错误.
故选：C.
8．已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由可得，即，
设，则有，因，则在上单调递增，
又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数.
由可得，
而，即，
由函数的单调性和奇偶性，可得，解得.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若定义在上的函数满足为奇函数，且对任意，，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上是增函数
C．
D．关于x的不等式的解集为
【答案】BCD
【详解】若定义在上的函数满足为奇函数，
则的图象关于对称，即，A错误，C正确；
因为对任意，，都有，
所以在上单调递增，
根据函数的对称性可知，在上单调递增，B正确；
由可得，D正确.
故选：BCD.
10．设函数，其中表示，，中数值大小排第二的数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的值域为
C．的图象关于轴对称 D．在上单调递增
【答案】ACD
【详解】在同一坐标系中作出函数，，的图象，
所以
对于A，，故A正确；
对于B，由图可知图象的最低点的纵坐标为4，所以的值域为，故B错误；
对于C，由的解析式可知：
当时，，由的解析式可知：，
当时，，由的解析式可知：，
当时，，由的解析式可知：，
当时，，由的解析式可知：，
当时，，由的解析式可知：，
当时，，由的解析式可知：，
即为偶函数，故C正确；
对于D，由图可知在上的解析式为，则在上单调递增，故D正确．
故选：ACD
11．定义在上的函数，且，则（ ）
A．是偶函数
B．的图象关于点对称
C．
D．
【答案】ACD
【详解】令，得，
令，得，
又，所以，所以是偶函数，故A对；
令，
令，得，
，
所以的图象不关于点对称，故B错，C对；
令，得，
令，
令，
同理可得，
所以，故D对；
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设函数存在最小值，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】①当时，，
当时，单调递增，且，
当时，，
因此不存在最小值；
②当时，，
当时，，故函数存在最小值；
③当时，，
当时，单调递减，，
当时，，
而，故函数存在最小值；
④当时，，
当时，单调递减，，
当时，，
因为，
所以，因此不存在最小值．
综上，的取值范围是．
故答案为：．
13．已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】因为，所以在上单调递增，在上单调递增，
且当时，当时，，，，，则的图象如下所示：
若，则，，显然满足，
此时相应的的取值范围为；
若，则，则，，
显然满足，此时相应的的值为；
若，即，则，
显然满足，
此时相应的的取值范围为；
当时，，，
则，，
不等式，即，解得或，
又，所以；
综上可得不等式的解集为.
故答案为：
14．设函数若不等式对恒成立，则实数的值为 .
【答案】
【详解】当，，所以，
若不等式，恒成立，则，所以，
当，，对称轴为，
当时，单调递减，单调递增，
所以，
则，所以，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知是定义在上的偶函数，且当时，，
(1)求函数的解析式；
(2)若，求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，则，
，又，
，
.
（2）当时，则，
由，令，则，
则，对称轴，
，，
所以在上的值域为.
16．已知函数.
(1)若，求不等式7的解集；
(2)若0，在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）当时，由可得，即，
解得或，
所以，不等式的解集为.
（2）由题意，恒成立，
因为二次函数图象开口向上，则，解得，
所以，实数的取值范围是.
（3）由题意，恒成立，又，
所以在恒成立；
由于，当时等号成立.
所以，
即实数的取值范围为.
17．若对定义域内任意，都有，则称函数为“步长”增函数．
(1)已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由；
(2)若函数是“步长”增函数，求的最小值；
(3)若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)3
(3)
【详解】（1）函数是“2步长”增函数．理由如下：
因为的定义域为在上都是单调递增，
所以在上单调递增，所以．
所以是“2步长”增函数．
（2）因为是“步长”增函数，
所以恒成立，
所以
恒成立，
即恒成立，
由，解得或．
因为，所以．
（3）若在上单调递增，则恒成立，符合题意；
若，分以下情况：
①当时，单调递增，则恒成立；
②当时，，单调递增，则恒成立；
③当时，若，则，解得；
④当或时，若，则．
综上，的取值范围是．
18．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：．
(1)讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(3)一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
【答案】(1)讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中
(2)讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟
(3)不能
【详解】（1）因为，
所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中．
（2）当时，是增函数，且．
当时，是减函数，且．
所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟
（3）当时，令，则．
当时，令，则．
则学生注意力在180以上所持续的时间为．
所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题．
19．参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．
(1)①试解释与的实际意义；
②写出函数应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；
(2)现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．
【答案】(1)表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的；定义域为，值域为，在区间内单调递减.
(2)当时，，此时两种清洗方法效果相同；
当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；
当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.
【详解】（1）①表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；
表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上污渍的.
②函数的定义域为，值域为，在区间内单调递减.
（2）设清洗前衣服上的污渍为1，用单位的水，清洗一次后残留的污渍为，
则；
用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，
然后再用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，
因为，
所以当时，，此时两种清洗方法效果相同；
当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；
当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.
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第三章 函数的概念与性质（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将中的最大数记为，则函数的最小值为（ ）
A．1 B．5 C．4 D．6
2．对于任意的，函数满足，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．的个位数字为7
3．已知函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增.设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的部分图象（虚直线方程为）大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知偶函数满足：，且，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
6．已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数的值域为
C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为
8．已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若定义在上的函数满足为奇函数，且对任意，，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在上是增函数
C．
D．关于x的不等式的解集为
10．设函数，其中表示，，中数值大小排第二的数，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的值域为
C．的图象关于轴对称 D．在上单调递增
11．定义在上的函数，且，则（ ）
A．是偶函数
B．的图象关于点对称
C．
D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设函数存在最小值，则的取值范围是 ．
13．已知函数，则不等式的解集为 ．
14．设函数若不等式对恒成立，则实数的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知是定义在上的偶函数，且当时，，
(1)求函数的解析式；
(2)若，求在上的值域.
16．已知函数.
(1)若，求不等式7的解集；
(2)若0，在上恒成立，求实数的取值范围；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
17．若对定义域内任意，都有，则称函数为“步长”增函数．
(1)已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由；
(2)若函数是“步长”增函数，求的最小值；
(3)若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围．
18．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：．
(1)讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？
(2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(3)一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？
19．参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．
(1)①试解释与的实际意义；
②写出函数应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；
(2)现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．
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