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第二章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【详解】因为是正实数，则，
当且仅当即，时取得等号．
故选：A．
2．已知定义在上的函数满足，当时，若，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由得，
即，所以的周期为，
，
，
因为，，所以，，
由基本不等式有：，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【详解】若，，则，则，
反之，若，则，
又，所以，即，此时不一定成立，
比如，此时，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：D
4．若实数 满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】法一：由实数 满足，
设，解得，
则，
当且仅当，及时等号成立，
所以的最大值为.
法二：令，
则，
由得，
故，
当且仅当即即时，取“=”，
故选：D.
5．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知，方程的两个根分别为，且，
则，
又，即，
所以的解集为.
故选：A.
6．若且、 都不为0，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，当满足且、 都不为0，但，故A错误；
对于B，当满足且、 都不为0，
但，故B错误；
对于C，当满足且、 都不为0，
但，故C错误；
对于D，当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
故恒成立.
故选：D
7．已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【详解】不等式对于一切实数恒成立，且，
，.
，使成立，
，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：D.
8．已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：因为
，
当且仅当，即时，等号成立，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
综上，的最小值为4，
此时.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若正实数a，b满足，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】BCD
【详解】A：由题意得，则，当且仅当时取等号，故A项错误；
B：由，则，当且仅当时取等号，故B项正确；
C：由，当且仅当，即时取等号，故C项正确；
D：由，则，
则，
当且仅当时，即时取等号，此时，故D项正确.
故选：BCD.
10．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为 B．
C．的最小值为 D．
【答案】ABD
【详解】对于A, ，则，故，当且仅当时取等号，故A正确，
对于B，，当且仅当时取等号，故B正确，
对于C, ，当且仅当，即时取等号，故C错误，
对于D, ，由于不可能成立，故等号取不到，故，D正确，
故选：ABD
11．下列说法中正确的为（ ）
A．已知，则“”是“”的必要不充分条件
B．若，则的最小值为2
C．若正实数满足，则的最小值为
D．若，且，则的最大值为7
【答案】ACD
【详解】对于A选项，中，，中，所以可以推出，
但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误；
对于C选项，因为，所以
则，
当且仅当时，即时，取“=”，故C正确；
对于D选项，设，，则，且，
则，
其中，
当且仅当时，等号成立，故，故D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．不等式对于恒成立，则m的取值范围 .
【答案】
【详解】因为不等式对于恒成立，
所以不等式对于恒成立，
所以不等式对于恒成立，
所以不等式对于恒成立，
而当时，，等号成立当且仅当，
所以当时，有最小值3，
则m的取值范围为.
故答案为：.
13．记一个长方形的长为，宽为且．若，则该长方形周长的最小值为 ．
【答案】34
【详解】法1：由得，，所以．
又因为，即，，从而，
所以，从而该长方形的周长最小值为．
法2：得，，因为，所以，后面方法同上．
法3：，
当且仅当取得“=”号，此时，故该长方形周长的最小值为34．
故答案为：34.
14．如图所示，在边长为1的正方形中，点、分别在线段、上运动．若的周长为定值2，的面积为，则的大小为 ，面积的最小值为 .
【答案】 / /
【详解】由题意不妨设，，则，，，
则，
空：将绕点顺时针旋转得到，如图，
则，，，，
所以与全等，则，
所以；
空：由题意的面积，
由，令，，
则，，
将代入得
所以，
因为，，，则；
因为，，
由根与系数关系可得：和是方程的实根，
其判别式为非负即，
解二次不等式可得：，因为且，所以，
所以的最小值在时取到，此时.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知关于的不等式的解集为
(1)若求实数取值范围;
(2)求解集
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）由于，所以；
（2）依题意
当时，不等式转化为，解集为空集.
当时，不等式转化为，即不等式的解集为.
当时，不等式转化为，即不等式的解集为.
16．已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B.
(1)求集合A与集合B；
(2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为不等式对于一切实数恒成立，
所以，解得，
即．
因为，所以，
解得，即，
（2）因为是的必要不充分条件，故 ，
即 ，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
17．已知函数
(1)当，求函数的值域
(2)解关于的不等式
(3)当时，，使得，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）当时，
所以
（2）
，得，时，对应方程的两根为
当或时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
综上：当或时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
（3）当，的对称轴方程为，
由图可知，的值域为；
当时，的值域为；
又因，使得，则，
所以，得，又，所以
18．某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为．
(1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值；
(2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？
【答案】(1)，当时，取得最小值
(2)或
【详解】（1）由题图知，
所以，即，
解得，
所以．
因为
，当且仅当时，等号成立，
所以即当时，取得最小值．
（2）因为矩形的面积大于，
所以，化简得，
即，
解得或．
19．已知关于的不等式．
(1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立；
(2)若不等式对于恒成立，求的取值范围；
(3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)不存在实数
(2)
(3)
【详解】（1）原不等式等价于．
当时，，解得，不满足题意，
当时，则，得到，
所以，不存在实数，使不等式对恒成立．
（2）因为，所以，，则，
令，则，得到，
设，，显然在单调递增，
当时，，当时，，所以，则，
所以，即的取值范围是．
（3）设，当时，恒成立．
即成立，即，
由，得到，
由，得到或，
所以，所以实数的取值范围是．
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第二章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
2．已知定义在上的函数满足，当时，若，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
4．若实数 满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．若且、 都不为0，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，不等式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
8．已知，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若正实数a，b满足，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．的最小值是 D．的最小值是
10．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最大值为 B．
C．的最小值为 D．
11．下列说法中正确的为（ ）
A．已知，则“”是“”的必要不充分条件
B．若，则的最小值为2
C．若正实数满足，则的最小值为
D．若，且，则的最大值为7
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．不等式对于恒成立，则m的取值范围 .
13．记一个长方形的长为，宽为且．若，则该长方形周长的最小值为 ．
14．如图所示，在边长为1的正方形中，点、分别在线段、上运动．若的周长为定值2，的面积为，则的大小为 ，面积的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知关于的不等式的解集为
(1)若求实数取值范围;
(2)求解集
16．已知使不等式对于一切实数恒成立的实数取值的集合为A，关于的不等式的解集为B.
(1)求集合A与集合B；
(2)若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
17．已知函数
(1)当，求函数的值域
(2)解关于的不等式
(3)当时，，使得，求实数的取值范围
18．某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为．
(1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值；
(2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？
19．已知关于的不等式．
(1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立；
(2)若不等式对于恒成立，求的取值范围；
(3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围．
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